2023年高三數(shù)學(xué)高考模擬試卷七附參考答案

2023年高三數(shù)學(xué)高考模擬試卷(7)

一、填空題

1.已知集合4=｛%,/+1,-1｝中的最大元素為2,則實(shí)數(shù)％=.

2.函數(shù)y=2cosx的嚴(yán)格減區(qū)間為.

3.若函數(shù)y=/(%)為偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí):/(x)=2x-l,則/(1)=.

4.若某圓錐高為3,其側(cè)面積與底面積之比為2：1,則該圓錐的體積為.

5.已知樣本數(shù)據(jù)2、4、8、m的極差為10,其中m>0,則該組數(shù)據(jù)的方差為.

6.在財(cái)務(wù)審計(jì)中，我們可以用“本?福特定律”來(lái)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否造假.本?福特定律指出，在一

組沒(méi)有人為編造的自然生成的數(shù)據(jù)(均為正實(shí)數(shù))中，首位非零的數(shù)字是1?9這九個(gè)事件不是等

可能的.具體來(lái)說(shuō)，隨機(jī)變量X是一組沒(méi)有人為編造的首位非零數(shù)字，

則P(X=k)=1g罕,k=1,2,,9.則根據(jù)本?福特定律，首位非零數(shù)字是1與首位非

零數(shù)字是8的概率之比約為(保留至整數(shù)).

7.若(1一2%產(chǎn)23=%++…+。2023%2。23,則號(hào)+||+…+翔轉(zhuǎn)=,

8.若向量五與石不共線也不垂直，且c=a-(^)b,則向量夾角(2？)=.

9.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是A,其共扼復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是B,0是坐標(biāo)

原點(diǎn)，若A在第一象限，且OAJ.OB,則|±|=.

10.已知雙曲線r：次一/=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為廣、F2,r的漸近線與圓

x2+y2=a2在第一象限的交點(diǎn)為M,線段MF2與廠交于點(diǎn)N,0為坐標(biāo)原點(diǎn).若

MFJ/ON,則r的離心率為.

11.若項(xiàng)數(shù)為10的數(shù)列｛即｝,滿足1S|%+iW2(i=1,2,…，9),且的=。1()6

[-1,0],則數(shù)列｛an)中最大項(xiàng)的最大值為.

12.若實(shí)數(shù)a使得存在兩兩不同的實(shí)數(shù)力y、z,有安=擊=史?=一3，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

二、選擇題

13.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有善走男，日增等里，首日行走一百

里，九日共行一千二百六十里，問(wèn)日增幾何?”，該問(wèn)題中，“善走男”第5日所走的路程里數(shù)為

A.110B.120C.130D.140

2

14.“(loga2)/+(logb2)y=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的一個(gè)充分非必要條件是()

A.0<a<bB.1<a<bC.2<a<bD.1<b<a

15.若干個(gè)能確定一個(gè)立體圖形的體積的量稱(chēng)為該立體圖形的“基本量”，已知長(zhǎng)方體ABCD-

&B1QD1,下列四組量中，一定能成為該長(zhǎng)方體的“基本量”的是()

B.AC、BrD、&C的長(zhǎng)度

C.BiC、AXD、BXD的長(zhǎng)度D.4G、BD、CC1的長(zhǎng)度

16.設(shè)關(guān)于x、y的表達(dá)式F(x,y)=cos2x+cos2y—cos(xy),當(dāng)x、y取遍所有實(shí)數(shù)

時(shí)，F(xiàn)(x,y)()

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值，無(wú)最小值

C.無(wú)最大值，有最小值D.既無(wú)最大值，也無(wú)最小值

三、解答題

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，火孝，孝)在以原點(diǎn)0為圓心半徑等1的圓上，將射線0A繞

原點(diǎn)。逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a后交該圓于點(diǎn)B,設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為/(a),縱坐標(biāo)g(a).

(1)如果sina=m,0<m<l,求/(a)+g(a)的值(用zn表示);

(2)如果怒=2,求f(a)-g(a)的值.

18.如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC,MN1MB.

D

（1）求證：平面AMB//平面DNC；

（2）若MCLCB,求證：BC±AC.

19.某科技公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的研發(fā)費(fèi)，需了解年研發(fā)費(fèi)x（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷(xiāo)售

量y（單位：百件）和年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的影響，現(xiàn)對(duì)近6年的年研發(fā)費(fèi)%,.和年銷(xiāo)售量先

（1=1,2,6）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

6666

加6W?一元）優(yōu)-⑷（匕

口i=li=l-口）2i=li=l

1=1

-x）2-y）2-y）-y）

157.5168004.51254270

12.52223.5

一1

表中心=Inx；,G=氏.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷？=a+與y=c+dlnx哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類(lèi)

型；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z=0.5y—x,根據(jù)（2）的結(jié)果，當(dāng)年研發(fā)費(fèi)為多少時(shí)，年利潤(rùn)z

的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（卬1，%），（iv2,v2），…，（Wfi，V?），其回歸直線V-

a+^w的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為6=--------1,a=v-pw.

〉（Wj-W）

?i=l

20.貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線.法國(guó)數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對(duì)貝塞爾曲

線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了DeCasteljau算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推

畫(huà)法，可以畫(huà)出地物線.反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論.

如圖所示，拋物線r：x2=2py,其中p>0為一給定的實(shí)數(shù)..

(1)寫(xiě)出拋物線r的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

(2)若直線Z：y=kx-2pk+2p與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值；

(3)如圖，A,B,C是H上不同的三點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D,E,F,

證陽(yáng)四一四一幽

比力：西一兩一面7,

21.設(shè)y=/(%)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，如果對(duì)任意的Xi、x2e/?(%i^x2),|/(xi)~/(x2)I<

%一%2I均成立，則稱(chēng)y=/(K)是“平緩函數(shù)

⑴若fi(x)=/，/2(%)=sinx，試判斷y=A(X)和y=似乃是否為“平緩函數(shù)”？

并說(shuō)明理由；(參考公式：x>0時(shí)，sinx<x恒成立)

(2)若函數(shù)y=/(%)是“平緩函數(shù)"，且y=f(x)是以1為周期的周期函數(shù)，

證明：對(duì)任意的打、X2&R,均有1/(X1)-/(x2)|；

(3)設(shè)y=g(%)為定義在R上函數(shù)，且存在正常數(shù)A>1使得函數(shù)y=A-g(x)為“平緩

函數(shù)

現(xiàn)定義數(shù)列｛%“｝滿足：=0,xn=g(xn-i)(n=2,3,4,...)，

試證明：對(duì)任意的正整數(shù)n,g(%n)W嬰第.

—k

參考答案

L【答案】1

2.【答案】(2kn,兀+2/OT),kEZ

3.【答案】—義

4.【答案】37r

5.【答案】挈

6.【答案】6

7.【答案】-1

8.【答案】J

9.【答案】T

10.【答案】V2

1L【答案】8

12.【答案】(一2,0)U(0,2)

13.【答案】D

14.【答案】C

15.【答案】A

16.【答案】D

17.【答案】(1)解：由題設(shè)知：/.AOx=2，貝UNBO%=J+a,

4,—

.71^271\[2

??g(a)=sinzBOx=sinQ+a)=-(sina+cosa)?/(a)=cosZ-BOx—cosQ+a)=-(cosa—

sina),

*'?/(a)+g(a)=V2cosa，而sina=m,。<mV1，貝Ucosa=±V1-m2,

2/OT<a<2kn+]，kEN時(shí),/(a)+g(a)=y/2(l—m2);

2kli+*<aV2kn+TT,kEN時(shí),f(a)+g(a)=-y/2(l-m2).

⑵解：由題設(shè)，播=黑篇器=2，可得tana=V，

又/(?)-g(a)=|(cos2a-sin2a)=|?(；；；：：；：)，

2

?*?/(?),g(a)=5?

18.【答案】（1）證明：因?yàn)镸B//NC,MB0面DNC,NCu面DNC,

所以MB//面DNC.因?yàn)锳MND是矩形，所以MA//DN,又MAC面DNC,

DNu面DNC,所以MA//面DNC.又MAClMB=M,且MA、MBu平面AMB,所以面AMB//

面DNC.

(2)證明：因?yàn)锳MND是矩形，所以AM_LMN.

因?yàn)槊鍭MND，面MBCN,且面AMNDCI面MBCN=MN,AMuffiAMND,

所以AMJ_平面MBCN,而B(niǎo)Cu平面MBCN,所以AM_LBC.

因?yàn)镸CJ_BC,MCDAM=M,MC、AMu面AMC,所以

因?yàn)锳Cu面AMC,所以BC_LAC.

19.【答案】（1）解：由散點(diǎn)圖可以判斷y=c+d\nx更適宜作為年研發(fā)費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型;

a=——-----------270

（2）解：令〃=lnx，先建立y關(guān)于n的線性回歸方程，因?yàn)?T=

60,

備=》一力7=222—60x3.5=12,所以y關(guān)于日的線性回歸方程9=60〃+12,

因此，丫關(guān)于x的回歸方程為『二601nx+12；

(3)解：由(2)可知z=0.5y—x=301nx—%+6,z'=^—1=,

當(dāng)0V%V30時(shí)，z'>0;當(dāng)%>30時(shí)，z<01

所以當(dāng)研發(fā)費(fèi)為30萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值最大.

20.【答案】⑴解：焦點(diǎn)為(0,1),準(zhǔn)線為%=-1

(2)解：將y=kx—2pk+2p代入x2=2py,

化簡(jiǎn)得x2+2pkx+4P2(k—1)=0(*),

方程(*)的判別式4=4P2k2-4(4p2k-4P2)-o,化簡(jiǎn)得/c2-4/c+4=0，即k=2.

(3)證明：設(shè)A(xAfyA)9Bg,如)，C(xc,yc),D(XD,如)，E(XE,yF),F(XF,yF)，

2XX

設(shè)拋物線x=2py在A點(diǎn)處的切線方程為y-yA=/^A(-A)，

由I'"2卜，"消去y并化簡(jiǎn)得％2-2p/cA%+2p%4-2口力=0,

(=2py

2

A=4P2雄-4(2pkAxA-2pyA)=4pk^-8pkAxA+8pyA=0,

22

k

PA-2%血+2yA=0,pkl-2xAkA+2朗=p超一2xAkA+y=0>

立

孫

解得心=秘，故切線方程為y——-p-P,

d%—

2-

x-23-

py-PVA-XAX-竭，py-px^=xx一混，

卬A

同理可求得拋物線x2=2py上過(guò)點(diǎn)B,C的切線方程分別為：

，，

2py=2XBX—xj2py=2xcx—

由過(guò)4,B,C的切線方程兩兩聯(lián)立，可以求得交點(diǎn)D,E,F的橫坐標(biāo)分別為：

和=中，%￡=中，孫=中，

注意到結(jié)論中線段長(zhǎng)度的比例可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比例，

得點(diǎn)!=牒｝=悔|=|沼勺，命題得證?

\Uc||rC|\Dr|

21.【答案】(1)解：針對(duì)①：/式%)="，有定義得到

|另+」-

1^______1|1-1?_,_|X9_X|.|_,

'xj+1xj+11-1(x2l)2I-II-1^2*11I(*+1)(城+1)1

+(x+1)(X2+1)(X2+1)

,,Xo+Xi,IXol+IXiIc

又因?yàn)楹贸?"(好(，且巧+之，

1(+1)(1)+1)W+1)12|%1|,Xi+1>2\X2\

所以產(chǎn)2l+lql<-i<1所以有|------~|<|%111一%2I21

物"(W+1)(蛀+1)-4，歷以的晨孑+1窈+J

針對(duì)②：設(shè)(p(x)=x—sinx，則(pr(x)=1—cosx>0，貝Ucp(x)=x—sinx是實(shí)數(shù)集

R上的增函數(shù)，

設(shè)，則)(，即％，貝一

Xj<%20<p6c2)i—sinXi<%2—sinx2Usinx2—sinxx<x2

(1),

又也是上的增函數(shù)，貝(

y=%+sinxRijxx4-sinx1<x2+sinx2sinx2—sinx1>Xx—x22),

由(、(得—因此，

1)2)(x2—%i?V^2—\sinx2—sinx^<\x2-%i|

對(duì)的實(shí)數(shù)都成立，同理當(dāng)時(shí)，亦有—x成立，

<%2x1>X2\sinx2—sinXil<|%2i\

且當(dāng)時(shí)，不等式。故對(duì)任意的實(shí)數(shù)外€均有

=x2\sinx2~sinx1\=%-111=R

-x，因此是上的“平緩函數(shù),故②正確

\sinx2-sinx11<|x2iIg(%)=sin%R

(證明：由，可以構(gòu)造函數(shù)九式%)=/(%)-%,。)=/(%)+

2)-/(x2)|<|%i-x2l%2

x,

則殳口)=

h/(x)=f(x)-l<0,f(x)+1>0,

故=月(%)是嚴(yán)格減函數(shù)，是嚴(yán)格增函數(shù)

yy=h2(x)

所以九101)>九1(%2)，無(wú)2(%1)V九2(%2)即/(X1)-Xi>/(%2)-x2,f(%1)+<f(%2)+%2

所以1/(^1)-f(%2)lV1%2-%11

設(shè)函數(shù)y=/(x)的最大值為M,最小值為m,則存在Q,bE[0,1]且f(a)=M,f(b)=

m,

則l/(%i)-/(%2)1<M-m=/(a)-