滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)精講精練 專題06 一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系（知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)串編）-【專題重點(diǎn)突破】(原卷版+解析)

專題06一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系【思維導(dǎo)圖】?知識(shí)點(diǎn)一：根的判別式【技巧】根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．◎考點(diǎn)1根據(jù)判別式判斷根的情況例．(2023·四川涪城·一模）?知識(shí)點(diǎn)一：根的判別式【技巧】根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．◎考點(diǎn)1根據(jù)判別式判斷根的情況A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定練習(xí)1．(2023·四川涼山·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2練習(xí)2．(2023·廣東·東莞市光明中學(xué)九年級(jí)期中）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根練習(xí)3．(2023·湖北荊門·模擬預(yù)測(cè)）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）時(shí)，只抄對(duì)了a＝1，b＝3，解出其中一個(gè)根是．他核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的比原方程的值小2．則原方程的根的情況是（）A．不存在實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．有一個(gè)根是x＝﹣1 D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根◎◎考點(diǎn)2根據(jù)根的情況求參數(shù)例．(2023·海南?？凇ぞ拍昙?jí)期末）若關(guān)于x的方程（k為常數(shù)）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（

）A．﹣4 B．4 C． D．練習(xí)1．(2023·甘肅蘭州·九年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A．k≤-2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2且k≠1練習(xí)2．(2023·四川省榮縣中學(xué)校九年級(jí)期中）若關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限練習(xí)3．(2023·廣東·河源市第二中學(xué)一模）若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且?知識(shí)點(diǎn)二：根與系數(shù)關(guān)系【技巧】根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2=ca．例．(2023·湖北·武漢七一華源中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1?知識(shí)點(diǎn)二：根與系數(shù)關(guān)系【技巧】根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2A．1 B．2 C．4 D．6練習(xí)1．(2023·山東·周村二中九年級(jí)開學(xué)考試）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根為x1，x2，則x12﹣5x1﹣2x2的值為（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5練習(xí)2．(2023·四川省安岳中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+3＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1＝1，x2＝n，則代數(shù)式（m+n）2020的值為（）A．1 B．0 C．32020 D．72020專題06一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系【思維導(dǎo)圖】?知識(shí)點(diǎn)一：根的判別式【技巧】根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．◎考點(diǎn)1根據(jù)判別式判斷根的情況例．(2023·四川涪城·一模）?知識(shí)點(diǎn)一：根的判別式【技巧】根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．◎考點(diǎn)1根據(jù)判別式判斷根的情況A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定答案:A解析：分析：先求出Δ的值，再判斷出其符號(hào)即可．【詳解】解：∵Δ=（-3）2-4×1×(-1)=13＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情況與判別式Δ的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．練習(xí)1．(2023·四川涼山·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2答案:D解析：分析：根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可知k-2≠0，b2-4ac≥0，求出k的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)題意得k﹣2≠0且b2-4ac＝(﹣2k)2﹣4(k﹣2)(k﹣6)≥0，解得且k≠2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，注意一元二次方程ax2+bx+c=0成立的條件是a≠0．練習(xí)2．(2023·廣東·東莞市光明中學(xué)九年級(jí)期中）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根答案:A解析：分析：根據(jù)一元二次方程的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．練習(xí)3．(2023·湖北荊門·模擬預(yù)測(cè)）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）時(shí)，只抄對(duì)了a＝1，b＝3，解出其中一個(gè)根是．他核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的比原方程的值小2．則原方程的根的情況是（）A．不存在實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．有一個(gè)根是x＝﹣1 D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根答案:A解析：分析：首先利用已知的a、b，以及解出的一個(gè)根，求出c，再根據(jù)“所抄的比原方程的值小2”得出正確的c值，最終利用根的判別式判斷根的情況即可．【詳解】解：小剛在解關(guān)于的方程時(shí)，只抄對(duì)了，，解出其中一個(gè)根是，，解得：，故原方程中，則，則原方程的根的情況是不存在實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查的是一元二次方程中根的判別式的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程中的運(yùn)算，以及判別式的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．◎◎考點(diǎn)2根據(jù)根的情況求參數(shù)例．(2023·海南?？凇ぞ拍昙?jí)期末）若關(guān)于x的方程（k為常數(shù)）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（

）A．﹣4 B．4 C． D．答案:D解析：分析：根據(jù)方程x2-x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式△=b2-4ac=0，從而列關(guān)于k的方程求解即可．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=b2?4ac=（-1）2-4k=0，解得：k=．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，當(dāng)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式為0．練習(xí)1．(2023·甘肅蘭州·九年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A．k≤-2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2且k≠1答案:D解析：分析：根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則，再結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)，即可得到關(guān)于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得：且．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，根據(jù)根的判別式，結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)不為0，得出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．練習(xí)2．(2023·四川省榮縣中學(xué)校九年級(jí)期中）若關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案:C解析：分析：先根據(jù)關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根求出的取值范圍，再判斷出一次函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限即可．【詳解】解：關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根，△，解得，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的圖象當(dāng)，時(shí)在一、二、四象限．練習(xí)3．(2023·廣東·河源市第二中學(xué)一模）若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且答案:C解析：分析：根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求得．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴且，解得且，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零是解決本題的關(guān)鍵?知識(shí)點(diǎn)二：根與系數(shù)關(guān)系【技巧】根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2=ca．例．(2023·湖北·武漢七一華源中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1?知識(shí)點(diǎn)二：根與系數(shù)關(guān)系【技巧】根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?ba，x1x2A．1 B．2 C．4 D．6答案:D解析：分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=-，由x2=2x1得出3x1=-，即x1=-，可解出x2，由兩根之積x1x2=可得c=，代入代數(shù)式即可得到4b-3ac==4b-=-（b-3）2+6，從而求得4b-3ac的最大值是6．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1、x2，∴x1+x2=-，x1x2=，∵x2=2x1，∴3x1=-，即x1=-，∴x2=-，∴==，∴9ac=2b2，∴c=∴4b-3ac=4b-3a?=4b-=-（b-3）2+6，∵-＜0，∴4b-3ac的最大值是6，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩根之和和兩根之積，找到a、b、c之間的關(guān)系，再代入所求的式子運(yùn)用配方法配方求出最大值．練習(xí)1．(2023·山東·周村二中九年級(jí)開學(xué)考試）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根為x1，x2，則x12﹣5x1﹣2x2的值為（）A．﹣7 B．﹣3 C．2 D．5答案:A解析：分析：由題意得，，將變形為，進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩根為x1，x2，∴，，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系，將進(jìn)行變形．練習(xí)2．(2023·四川省安岳中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+3＝