相似三角形常用輔助線

關(guān)于相似三角形常用輔助線相似三角形中的輔助線在添加輔助線時，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)行相關(guān)的計算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：第2頁,共57頁，2024年2月25日，星期天例題：如圖，D是△ABC的BC邊上的點，

BD：DC=2：1，求：BE：EF的值.DABCEFE是AD的中點,連結(jié)BE并延長交AC于F,一、作平行線第3頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEFn2kk解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，P?yyny第4頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEFn解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pn2kkyy4y?y∴BE：EF=5：1.則∴PE=EFBP=2PF=4EF，所以BE=5EF第5頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEFnn2k解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，ykQ?y2y第6頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEFnn解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Q2kk?y2y5yy∴BE：EF=5：1.∴第7頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEF2k解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snnk?k第8頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snn?y5yy2kk第9頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，T?k?k第10頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，Ty?y5y∵BD=2DC，∴∴BE：EF=5：1.第11頁,共57頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)：如圖，D是△ABC的BC邊上的點，

BD：DC=2：1，求AF：CF的值.DABCEFE是AD的中點,連結(jié)BE并延長交AC于F,第12頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEF解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pnn2x2x2kk3xAF：CF=2：3.第13頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEF解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Qnn2x2x2kkxAF：CF=2：3.第14頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snnh2h4hy5y4yAF：CF=2：3.第15頁,共57頁，2024年2月25日，星期天DABCEF解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，Tnnhh4h5y6y4yAF：CF=2：3.第16頁,共57頁，2024年2月25日，星期天作平行線例1.如圖，的AB邊和AC邊上各取一點D和E，且使AD＝AE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證：

證明：過點C作CG//FD交AB于G小結(jié)：本題關(guān)鍵在于AD＝AE這個條件怎樣使用。由這道題還可以增加一種證明線段相等的方法：相似、成比例。第17頁,共57頁，2024年2月25日，星期天例2.如圖，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長線相交于點F，證明：AB·DF=AC·EF。

分析：證明等積式問題常?；癁楸壤?，再通過相似三角形對應(yīng)邊成比例來證明。不相似，因而要通過兩組三角形相似，運用中間比代換得到，為構(gòu)造相似三角形，需添加平行線。

第18頁,共57頁，2024年2月25日，星期天方法一：過E作EM//AB，交BC于點M，則△EMC∽△ABC（兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似）。第19頁,共57頁，2024年2月25日，星期天

第20頁,共57頁，2024年2月25日，星期天方法二：如圖，過D作DN//EC交BC于N第21頁,共57頁，2024年2月25日，星期天

第22頁,共57頁，2024年2月25日，星期天1、在△ABC中，D為AC上的一點，E為CB延長線上的一點，BE=AD，DE交AB于F。求證：EF×BC=AC×DF第23頁,共57頁，2024年2月25日，星期天1、證明：過D作DG∥BC交AB于G，則△DFG和△EFB相似，∴∵BE＝AD,∴

①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴

∴由①②得，∴EF×BC＝AC×DF①

②第24頁,共57頁，2024年2月25日，星期天1、已知點D是BC的中點，過D點的直線交AC于E,交BA的延長線于F,求證：EFBCAD利用比例式夠造平行線，通過中間比得結(jié)論構(gòu)造平行線利用中點”倍長中線”的思想平移線段EC,使得所得四條線段分別構(gòu)成兩個三角形第25頁,共57頁，2024年2月25日，星期天已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求證：BC2=2AC·CDABCD本題的重點在于如何解決“2”倍的問題；讓它歸屬一條線段，找到這一線段2倍是哪一線段。第26頁,共57頁，2024年2月25日，星期天已知：從直角三角形ABC的直角頂點A向斜邊BC引垂線，垂足為D，邊AC的中點為E,直線ED與邊AB的延長線交于F，求證：AB:AC=DF:AFFEABCD利用前兩題的思想方法，借助中點構(gòu)造中位線，利用平行與2倍關(guān)系的結(jié)論，證明所得結(jié)論找到后以比例式所在三角形與哪個三角形相似第27頁,共57頁，2024年2月25日，星期天1、如圖，△ABC中，AD是BC邊上中線，E是AC上一點，連接ED且交AB的延長線于F點.

求證：AE：EC=AF：BFACBFDE注意觀察圖形的特殊性，有些像全等中，旋轉(zhuǎn)的基本圖形，因此可以沒有相互關(guān)系的成比例的四條線段轉(zhuǎn)化為成比例的四條線段（通過全等找相等的線段）關(guān)鍵是要把成比例線段放在兩個三角形中練習(xí)第28頁,共57頁，2024年2月25日，星期天2、如圖，平行四邊形ABCD中，E為AB邊中點，點F在AD邊上，且AF：FD=1：2，EF交AC于G，求的值.GEDABCF第29頁,共57頁，2024年2月25日，星期天構(gòu)造線段相等轉(zhuǎn)化比例式1、在?ABC中，AB=AC,AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB,延長BP交AC于E，交CF于F,求證：BP2=PE·PFPEABCFD在同一直線上的三條線段成比例，可以通過中間比轉(zhuǎn)化，也可以通過線段相等，把共線的線段轉(zhuǎn)化為兩個三角形中的線段，通過相似證明。另外在證明等積式時要先轉(zhuǎn)化為比例式觀察相似關(guān)系，有利于證明第30頁,共57頁，2024年2月25日，星期天1、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O點，BA、CD的延長線交于E點，連結(jié)EO并延長分別交AD、BC于N、M求證：BM=CMjADBCEMNO證線段相等的又一方法第31頁,共57頁，2024年2月25日，星期天1、如圖，AD是∠BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，求證：ED2=EB·ECFABCED練習(xí)第32頁,共57頁，2024年2月25日，星期天2、如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連接FC(AB>AE),求證：?AEF∽?ECFECDBAF第33頁,共57頁，2024年2月25日，星期天2、已知，在?ABC中，若AB=BC,∠B=90o,AD為BC邊的中線，過B作直線BP⊥AD于P交AC于E，求證：AE=2EC;∠AEB=∠CED.DABCE第34頁,共57頁，2024年2月25日，星期天二、作垂線3.如圖從ABCD頂點C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：第35頁,共57頁，2024年2月25日，星期天證明：過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥AC于N∴

∽∴∴（1）∽∴

∴

（2）

又

∴AN=CM

又（1）+（2）∴第36頁,共57頁，2024年2月25日，星期天2、中，，AC=BC，P是AB上一點，Q是PC上一點（不是中點），MN過Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求證：第37頁,共57頁，2024年2月25日，星期天2、證明：過P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，則CEPF為矩形∴PFEC∵

∴∽∴

∵EC=PF∴

（1）在和中：CP⊥MN于Q∴

又∵∴∴∽∴

即由（1）（2）得（2）第38頁,共57頁，2024年2月25日，星期天三、作延長線例5.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分線CH⊥AB于點H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求△HBC的面積。分析：因為問題涉及四邊形AHCD，所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。

第39頁,共57頁，2024年2月25日，星期天解：延長BA、CD交于點P∵CH⊥AB，CD平分∠BCD∴CB=CP，且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC第40頁,共57頁，2024年2月25日，星期天例6.如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點，AE的延長線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG=CFBF第41頁,共57頁，2024年2月25日，星期天解析：欲證式即由“三點定形”，ΔBFG與ΔCFG會相似嗎？顯然不可能。（因為ΔBFG為RtΔ），但由E為CD的中點，∴可設(shè)法構(gòu)造一個與ΔBFG相似的三角形來求解。不妨延長GF與AC的延長線交于H則又ED=EC∴FG=FH又易證RtΔCFH∽RtΔGFB

∴FG·FH=CF·BF

∵FG=FH∴FG2=CF·BF第42頁,共57頁，2024年2月25日，星期天四、作中線例7如圖，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC=1，求AC。第43頁,共57頁，2024年2月25日，星期天解：取BC的中點M，連AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC

∴

∴∽

∴

又DC=1MC=BC∴（1）又∽

又∵EC=1∴

由（1）（2）得，∴

（2）∴小結(jié)：利用等腰三角形有公共底角，則這兩個三角形相似，取BC中點M，構(gòu)造與相似是解題關(guān)鍵第44頁,共