微積分函數(shù)連續(xù)性

一、函數(shù)的連續(xù)性的概念二、函數(shù)的間斷點第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量注意：這樣就把函數(shù)的改變量表示為自變量的改變量的函數(shù).2.連續(xù)的定義即：函數(shù)在某點連續(xù)等價于函數(shù)在該點的極限存在且等于該點的函數(shù)值.例1證由定義知例2證3.單側(cè)連續(xù)定理例2解右連續(xù)但不左連續(xù),4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.5.基本初等函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點1.可去間斷點兩種可能例4解注意

可去間斷點只要改變或者補充可去間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如例4中,2.跳躍間斷點例5解跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點左右極限相等，則為可去間斷點；左右極限不相等，則為跳躍間斷點．3.第二類間斷點例6解無窮間斷點例7解這時也稱其為振蕩間斷點．間斷點的分類：（左右極限都存在）（左右極限中至少有一個不存在）可去間斷點（左右極限都存在且相等）跳躍間斷點（左右極限都存在但不相等）第一類間斷點第二類間斷點間斷點

無窮間斷點（左右極限中至少有一個為無窮大）振蕩間斷點(第一類可去)（第二類無窮）（第二類振蕩）練習(xí)解定理1例如,三、初等函數(shù)的連續(xù)性1.

連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性定理2嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)遞增（遞減）的連續(xù)反函數(shù)．例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2.

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理３例9定理４一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.３.

初等函數(shù)的連續(xù)性1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點的去心鄰域內(nèi)沒有定義.注意例10解注意2.初等函數(shù)在連續(xù)點求極限可用代入法.例11解注：也可用等價無窮小代換.四、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點4.初等函數(shù)的連續(xù)性（1）初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)；（2）初等函數(shù)的連續(xù)性在求極限時的應(yīng)用：代入法。練習(xí)題一二一