2021版高考數(shù)學(人教A版理科)一輪復習攻略核心素養(yǎng)測評十七

核心素養(yǎng)測評十七

導數(shù)與函數(shù)零點

(30分鐘60分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.函數(shù)f(X)4X3+X2+X+1的零點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【解析】選B.因為f'(X)=X2+2X+1=(X+1)2^0,

所以f(x)在R上單調遞增，

因為f(0)=1>0,f(-3)=-2<0,

所以f(x)在R上有且只有一個零點.

【變式備選】

函數(shù)f(x)」X3-4x+4的零點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【解析】選D.因為f'(x)=X2—4=(x-2)(x+2),

令&(x)=0/￥x=±2.

當X變化時，f'(x),f(x)的變化情況如下表:

X(-8,—2)-2(-2,2)2(2,+8)

f'(X)+0—0+

28_4

f(X)//

a

由此可得到f(x)的大致圖象(如圖).

由圖可知f(x)有3個零點.

2.已知函數(shù)f(x)=X3-12x+a,其中a》16,則f(x)的零點的個數(shù)是()

A.0或1B.1或2C.2D.3

【解析】選B.方法一：因為*(x)=3x2-12,

令f'(x)=3x2-12=0Jfx=±2,

當X變化時，(x),f(x)的變化情況如下表:

X-2)-2(-2,2)2(2,+8)

f7(X)+0—0+

f(x)/a+16a-16/

由此可得到f(x)的大致圖象(如圖),

由a"16得，a+16>0,a-1620,

當a=16時,f(x)的圖象與x軸有2個交點；當a>16時,f(x)的圖象與x軸只有1

個交點.

所以f(x)的零點個數(shù)為1或2.

-2-

方法二：f(x)=X3-12x+a的零點個數(shù)u>方程X3-12x二-a的解的個數(shù)Qg(x)=X3-12x

與h(x)=~a的交點個數(shù).畫出g(x)=X3-12x與h(x)=~a的圖象.

由g'(x)=3x2-12=0,得x=±2,

當x變化時，g‘(x),g(x)的變化情況如下表:

X(—8,一2)-2(-2.2)2(2,+8)

g'(x)+0—0+

g(x)/16~16/

所以g(x)的圖象如圖所示:

因為a216,所以y=-aW76.

由圖可知直線y=-a與y=X3-12x的圖象有1個或2個交點.

3.若函數(shù)f(x)=『入。戸5恰有2個零點，則a的取值范圍為

*+2x~a,x<0

()

-3-

【解析】選D.當x>0時，令f(x)=0,可得X3-X2-a=0,設g(x)=X3-X2,貝》gz(x)

-x(3x-2),

當0<x<±g'(x)<0,

當x*時,g，(x)>0,g(x)=gf^=-±.

凡m<n"丿?7

當xWO時，令f(x)=0,可得X2+2x-a=0,

設h(x)=X2+2x,h(x)=-1,

min

X3—丫？—n#>D

所以函數(shù)千(x)斗丿'恰有2個零點，則a的取值范圍為

+2x-a,x<Q

(T,$)U(O,+a).

4.函數(shù)f(x)=ex+a-x3+2x2在(0,+8)上只有一個零點，則a的值為()

A.4B.41n2-3

C.2D.51n2-4

［解析］選D.函數(shù)f(x)=65X3+2X2在(0,+8)上只有一個零點,

32

可得ea=x-2x’在(0,+8)上只有一個解.

令g(x)T主，可得g，(X)戸3+5X—X

pXdX

_K2-5x+4

--X.-----------

ex

-4-

在(0,+8)有2個極值點,x=1和x=4；

xe(0,1)時函數(shù)是減函數(shù)，x￡(1,4)時，函數(shù)是增函數(shù)，

xe(4,+8)時函數(shù)是減函數(shù),g(0)=0,

所以函數(shù)g(x)的最大值為g(4)=笆％①，

1P4

函數(shù)f(x)=e、+a-X3+2X2在(0,+8)上只有一個零點，可得ea笆所以a=5ln2-4.

P4

二、填空題(每小題5分，共20分)

5.設X3+ax+b=0,其中a,b均為實數(shù),下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根

的是.(寫出所有正確條件的編號)

①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;

④a=0,b=2;⑤a=l,b=2.

【解析】令f(x)=X3+ax+b,

貝If'(x)-3x2+a.

當a20時，f'(x)20,f(x)單調遞增，④⑤正確；

當a<0時，若a--3,

則f'(X)=3X2-3=3(X+1)(X-1),

所以f(x)=f(-1)=7+3+b=b+2,

極大

f(x)=f(1)=1-3+b=b-2,

極小

要使f(x)=0僅有一個實根，

需f(x)<0或f(x)>0,

極大極小

所以b<-2或b>2,

①③正確，②不正確.

答案:①③④⑤

6.(2019?安陽模擬)已知函數(shù)f(x)支+Q與g(x)=6x+a的圖象有3個不同的交

32

點，則a的取值范圍是.口

【解析】原問題等價于函數(shù)h(x)=二+二-6x與函數(shù)y=a的圖象有3個不同的交

點，

由h'(x)=X2+x-6=(x-2)(x+3)=0,得x-2或x--3,

當x￡(-8,-3)時,h'(x)>0,h(x)單調遞增;

當x￡(-3,2)時，h'(x)<0,h(x)單調遞減;

當x￡(2,+8)時,h'(x)>0,h(x)單調遞增.

且h(-3)二衛(wèi),h⑵=-三，

73

數(shù)形結合可得a的取值范圍是(-日，

答案：(號，7)

7.已知函數(shù)f(x)=X3+mx+l,g(x)=-lnx.min{a,b}表示a,b中的最小值,若函數(shù)

h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)恰有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍是.

口

【解析】f'(x)=3x2+m,

因為g(1)=0,所以要使h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)恰有三個零點，需滿足

f(1)>0,f|j<0,m<0,

-6-

解得/z2L>—=>.

Ay3244

答案：（q,

8.若函數(shù)f(x)=lnx-x-mx在區(qū)間［1,ea］內有唯一的零點,則實數(shù)m的取值范圍是

【解析】函數(shù)f(x)=lnx-x-mx在區(qū)間［1,ez］內有唯一的零點，

得-x+1nx=mx,又x>0,所以,

r

要使方程Inx-x-mx=O在區(qū)間［1,e2］上有唯一實數(shù)解，只需有唯一實數(shù)

T

解，

令g(X)匹-1,(x>0),所以g'(x)=上空，

Y丫2

由g'(x)>0,得0<x<e;g'(x)<0得x>e,

所以g(x)在區(qū)間［1,e］上是增函數(shù)，在區(qū)間［e,e2］上是減函數(shù).

g(1)=-1,g(e)=--1,g(e2)二二-1,

ee2

故一1Wm〈二一1或m=i-1.

P.

答案

三、解答題(每小題10分,共20分)

9,設函數(shù)f(x)=x：3+ax2+bx+c.

⑴求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程.

⑵設a=b=4,若函數(shù)f(x)有三個不同的零點,求c的取值范圍.

-7-

【解析】⑴由f(x)=X3+ax2+bx+c,

得f'(x)=3x2+2ax+b.

因為f(O)=c,f'(0)=b,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=bx+c.

⑵當a=b=4時,f(x)=X3+4X2+4X+C,

所以f'(x)=3X2+8X+4.

令f'(x)=0,得3X2+8X+4=0,

解得x=~2或x=~—.

當X變化時，f(x)與f'(x)在區(qū)間(-8,+8)上的變化情況如下:

X(-°0,-2)-2-|；卜|,

f

+0—0+

(x)

32

f(x)/CC--/

27

所以，當c>0且C--<0時，存在xG(-8,一2),

771

+8),使得f(x)=f(x?)=f63)=0.

由f(x)的單調性知，當且僅當c￡(0,%)時，函數(shù)f(x)有三個不同零點.

【變式備選】

設函數(shù)f(x)=xex+a(1-ex)+1,a￡R.

(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.

(2)若方程f(x)=0在(0,+8)上有解,證明：a>2.

-8-

【解析】(1)因為f'(x)=[x-(a-l)]ex.

所以x>a-1時，f'(x)>0,

函數(shù)f(x)在(a-1,+°o)上單調遞增，

當x<a-1時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(-8,a-1)上單調遞減.

(2)函數(shù)千(x)在(0,+8)有零點，可得方程千(x)=0有解.

2厘夕港7丿+上+&+*,有解

q2―1￡*-1e*-1

令…斗("啓等限箋薩

設函數(shù)h(x)=ex-x_2,h'(x)=ex-1>0,

所以函數(shù)h(x)在(0,+8)上單調遞增,

5Lh(1)=e-3<0,h(2)=er-4>0,

所以存在xe(1,2),使h(x)=0,

0

故當x￡(0,x)時，g'(x)<0;

0

當x￡(x,+8)時,g'(x)>0,

0

所以函數(shù)g(x)存在唯一最小值X,

0

滿足/0=*。+2,

所以g(x)=x+2o±￡-x+1金⑵3),

0060一10

因為a=g(x)=x+^^有解，

-1

所以a2g(x)>2,所以a>2.

0

10.(2020?龍巖模擬)已知函數(shù)f(x)=(xT)Inx,g(x)=xTnx--

p

-9-

(1)求證：函數(shù)y=f(x)的圖象恒在函數(shù)y=g(x)圖象的上方.

⑵當m>0時，令h(x)=mf(x)+g(x)的兩個零點x,x(x<x).求證:x-x<e-i.

121221p

【證明】(1)構造函數(shù)p(x)=f(x)-g(x)=xlnx-x+-(x>0).