截長補短模型-2023年中考數(shù)學總復習真題探究與變式訓練全國通

模塊二常見模型專練

專題28截長補短模型

0氟豳回留

硒（2021年?四川廣安?中考真題）在數(shù)學中，我們會用“截長補短”的方法來解決幾條線

段之間的和差問題.請看這個例題：如圖1,在四邊形/8Q）中，AHAD"C/）-9O°,

AB-AD,若4C=5cm,求四邊形48C/）的面積.

解：延長線段C8到E,使得刃，連接力芥，我們可以證明V/M右出V/MC,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得力/:'=/（：=5,NA/8-NC4Q,則

ZLEAC=￡EAB+ABAC=ZDAC+ABAC=ABAD=90°,得

必”=Sv“BC+,MX=&UC+S7AglI=&欣,這樣，四邊形46co的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直

角三角形以（,面積.

⑴根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形N8C7）的面積為cm2.

（2）如圖2,在V48c中，4c8=90°,且4C+8C：4,求線段4B的最小值.

（3）如圖3,在平行四邊形/8C7）中，對角線/C與W）相交于O,且N80C—60。；

+HI）=10,則//）是否為定值？若是，求出定值；若不是，求出//）的最小值及此時平行

四邊形/8CZ）的面積.

甌（2021年?湖北襄陽?中考真題）如圖，四邊形/次：/）是c（）內(nèi)正方形，尸是圓上一點

（點尸與點兒B,C,。不重合），連接P4PB,PC.

備用圖

（1）若點P是弧//）上一點，

①MPC度數(shù)為；

②求證：P"PC=&PB：小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補短法，

請按小明思路完成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）.證明：在，（'的延長線上

截取點E.使（：/，=/",連接8".

⑵探究當點P分別在勤，次，，⑸上，求尸4PB,PC的數(shù)量關系，直接寫出答案，不

需要證明.

模型截長補短

截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一

種思想。截長就是在一條線上截取成兩段，補短就是在一條邊上延長，使其等于一條所求邊。

111

ABCD如圖①，若證明線段AB、CD、EF之間存在

IIEF=AB+CD,可以考慮截長補短法。

EO卜

截長法：如圖②，在EF上截取EG=AB,再

■11證明

卜

EGGF=CD即可。

O

[]......?????,..........J補短法：如圖③，延長AB至H點，使

A&HBH=CD,

再證明AH=EF即可。

模型分析

截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關系。截長，指在長線段中截取一段等于已

知線段；補短，指將短線段延長，延長部分等于已知線段。

該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關鍵詞句，可以采用截長補短法構造全等三

角形來完成證明過程。

概述圖:

【變式1］（2021秋?河北滄州?八年級統(tǒng)考期中）【閱讀】在證明線段和差問題時，經(jīng)常采用

截長補短法，再利用全等圖形求線段的數(shù)量關系.截長法將較長的線段截取為兩段，證明

截取的兩段分別與給出的兩段相等.補短法延長較短兩條線段中的一條，使得與較長線段

相等，證明延長的那一段與另一條較短線段相等.

【應用】把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，NC4/);NCW)-90°,組成一個四邊形

ACBI),以。為頂點作交邊“I、8c'于/、N.

題思路：利用補短法，延長C8到點E,使，連接/)“，先證明V/)/例9V/)肘3

再證明AMDNgAEDN,即可求得結(jié)論.按照小紅的思路，請寫出完整的證明過程;

⑵當N/IQ)+/M/)N—90。時，AM.MN、8N三條線段之間有何數(shù)量關系？(直接寫出你

的結(jié)論，不用證明)

(3)如圖③，在(2)的條件下，若將"、N改在C4、8c的延長線上，完成圖③，其余條件

不變，則4例、MN、8N之間有何數(shù)量關系？證明你的結(jié)論.

【變式2】(2022秋?全國?八年級專題練習)在“教、學、練、評一體化”學習活動手冊中，

全等三角形專題復習課，學習過七種作輔助線的方法，其中有“截長補短”作輔助線的方

法.

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.

請用這兩種方法分別解決下列問題：

已知，如圖，在ZU8C中，AB>AC,41=42,P為/。上任一點，^iiEAB-AOPB-PC

【變式3】（2022?貴州遵義?統(tǒng)考三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：學完垂徑定理后，小紅對弧的中點與

弦的關系再次做了研究，如圖甲，c。中，點C是劣弧的中點，。點在8c弧之間，過

點C作C。！//）,垂足為點E,小紅在電腦上用幾何畫板的度量功能度量了線段E。、DB、

/E的長度如下表所示，小紅發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)量關系，這個關系是（用瓦入NE的

式子表示）

（圖甲）

EDDBAE

1.372.233.60

1.512.073.58

1.631.933.56

1.911.603.51

(2)探索結(jié)論：

怎么完成(1)中關系的證明呢？小紅根據(jù)學習經(jīng)驗想到了“截長補短”中的“截長”思想，如

圖乙，在線段/E上截取點尸，使得/，我=/)?，連接CRCD.小紅試圖構造關于/尸、DB

所在的三角形，通過全等完成證明，請接著小紅的想法完成證明.

(3)結(jié)論應用：

如圖丙，等邊三角形/8C內(nèi)接于C。，點。在c。上，連接8。、CD,過點C作

CE1AD,垂足為點E,若8〃=6-1,478/)=45。，求cO的半徑.

【變式4】(2022?全國?九年級專題練習)【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一

種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條

短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題.

⑴如圖1,2U8C是等邊三角形，點。是邊下方一點，ABDC=120°,探索線段D4、

DB,。。之間的數(shù)量關系.

解題思路延長DC到點E,使連接NE,根據(jù)N8/C+4Z)C=180。，可證乙4雙)=

入4CE易證得MBD三MCE,得出ZUDE是等邊三角形，所以從而探尋線段。4、

DB、0c之間的數(shù)量關系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出D4、DB、0c之間的數(shù)量關系

是:

【拓展延伸】

(2)如圖2,在凡A/BC中，4847=90°,AB=AC.若點。是邊8C下方一點，^BDC=90°,

探索線段D4、DB、。。之間的數(shù)量關系，并說明理由；

【知識應用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角

頂點之間的距離PQ的長為cm.

4=^022席匕由表煙臺?七年級統(tǒng)考期末)閱讀材料：

“截長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關系.截長,

即在長線段上截取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段補

短，即延長其中一條短線段，使延長部分等于另一條線段，再證明延長后的線段等于長線

段.

依據(jù)上述材料，解答下列問題：

如圖，在等邊V48C中，點E是邊/C上一定點，點。是直線8c上一動點，以。E為邊作

等邊連接CF.

(1)如圖，若點。在邊8c上，試說明C￡+C/J=CD;(提示：在線段C。上截取CG=(萬，

連接EG.)

(2)如圖，若點。在邊8c的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE,CF與CZ)之間的數(shù)量關系并說明

理由.

AF

2.(2022秋?全國?九年級專題練習)問題：如圖1,C。中，是直徑，/C'=5C',點。

是劣弧8c上任一點(不與點8、C重合)，求證：佇處為定值.

CD

M

圖3

思路：和差倍半問題，可采用截長補短法，先證明v/c￡sv8a).按思路完成下列證明過

程.

證明：在/。上截取點E,使4*=即),連接CE.

運用：如圖2,在平面直角坐標系中，c?與x軸相切于點4(3,0),與y軸相交于8、C兩

點,且*'=8,連接N8、00.

(1)08的長為.

(2)如圖3,過4、8兩點作C。與y軸的負半軸交于點“，與Q8的延長線交于點N,連接

AM.MN,當?shù)拇笮∽兓瘯r，問8M-8N的值是否變化，為什么?如果不變，請求出

的值.

3.(2022秋?北京?八年級統(tǒng)考期末)如圖，在等邊2U8C中，點尸是8C邊上一點，乙BAP=

a(30。<a<60。)，作點B關于直線AP的對稱點D,連接DC并延長交直線AP于點E,

連接BE.

(1)依題意補全圖形，并直接寫出乙4EB的度數(shù)；

(2)用等式表示線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關系，并證明.

分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與

性質(zhì)……

②通過截長補短，利用60。角構造等邊三角形，進而構造出全等三角形，從而達到轉(zhuǎn)移邊的

目的.

請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程.

4.(2021秋?湖南永州?九年級?？茧A段練習)【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題

中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在

一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題.

(1)如圖1,V/*'是等邊三角形，點/)是邊8C下方一點，ZBIX'120°,探索線段DA、

DB、之間的數(shù)量關系.

解題思路：延長。C到點E，使CE=BD,連接4E,根據(jù)WC+Z2tfK=18O0,可證

ZABDZACE,易證得V/8OmV/CA,得出V//)〃是等邊三角形，所以//)-/)*，從而

探尋線段/)/、DB、/X】之間的數(shù)量關系.

根據(jù)上述解題思路，請寫出/必、DB、0C之間的數(shù)量關系是,并寫出證明過程；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在用V48C中，ABAC=90°,AB=AC,若點。是邊8(：下方一點，

N8/X〕=90。，探索線段/〃、DB、/X〕之間的數(shù)量關系，并說明理由；

【知識應用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直

角頂點之間的距離。。的平方為多少？

5.(2022秋?河北石家莊?八年級?？计谀?【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中

一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一

條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題.

(1)如圖①，△/8C是等邊三角形，點/)是邊8c'下方一點，連結(jié)。4DB、DC,且

4/JC—12O。，探索線段/)/、DB、/)(：之間的數(shù)量關系.

解題思路：延長/X1到點使CE=BD,連接/內(nèi)，根據(jù)4/C+MC=l8O°,則

ZABD+ZACD-180°,因為ZACD+/LACE=180°可證ZABD=ZACE,易證得△AHI)

ACE,得出△//)”是等邊三角形，所以//)=〃*，從而探尋線段/M、。氏ZX：之間的數(shù)量

關系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DB、之間的數(shù)量關系是；

【拓展延伸】

(2)如圖②，在Rs/以:中，N從"1=90。，ABAC.若點。是邊8c下方一點，

/8/W：=90°,探索線段Z)4DB、/)(〕之間的數(shù)量關系，并說明理由；

【知識應用】

(3)如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30。所對直角

邊等于斜邊一半，則的長為cm.(結(jié)果無需化簡)

6.（2021秋?新疆烏魯木齊?八年級烏魯木齊市第70中校考期末）閱讀下面文字并填空:

數(shù)學習題課上李老師出了這樣一道題：”如圖1,在38（：中，AD平分/從（C,

Zfl=2ZC.求證：AB+BD-AC.

（圖1）

李老師給出了如下簡要分析：“要證/8+肘）-4（：就是要證線段的和差問題，所以有兩個方

法，方法一：‘截長法，如圖2,在AC上截取柢=所，連接DE,只要證肘）=即

可，這就將證明線段和差問題為證明線段相等問題，只要證出

V,得出=及BD=，再證出/

Z,進而得出口）=A。，則結(jié)論成立.此種證法的基礎是，已知AD平分

/BAC,將△48。沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處，成為可能.

（圖2）

方法二：“補短法”如圖3,延長AB至點F,使8"HI）.只要證即可.此時先證

/=ZC,再證出V則結(jié)論成立.”

“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法.

7.（2022秋?浙江?八年級專題練習）閱讀材料并完成習題:

在數(shù)學中，我們會用截長補短”的方法來構造全等三角形解決問題.請看這個例題：如圖1,

在四邊形ABCD中，ZBAD=Z.BCD=9O°,AB=AD,若AC=2an,求四邊形ABCD的面積.

解：延長線段CB到E,使得BE=CD,連接AE,我們可以證明ABAE三ADAC,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得AE=AC=2,ZEAB=ZCAD,則

ZEAC=ZEAB+ZBAC=ZDAC+ZBAC=ZBAD=9O°,得S

=S+S=S+S=S

ARCDAARr-AAnrAARrAARI.AAFe-這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角

形EAC面積.

(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2.

(2)請你用上面學到的方法完成下面的習題.

如圖2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,zG=zN=90°,求五邊形FGHMN的面積.

8.(2023?全國?九年級專題練習)例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，

也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短

就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,AABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點,^BDC=120°,探索線段加、

DB、0c之間的數(shù)量關系.

解題思品隹將△18。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得至△/(?￡?,可得AE=AD,CE=BD,乙4BD=UCE,

〃>/E=60°,根據(jù)AB/C+NB￡?C=180°,可知乙48。+乙48=180°,則Z-ACE+Z-ACD=\^°,易

知A/DE是等邊三角形，所以從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段。4、DB、DC之間的等量關系是；

(2)如圖2,RtAABC中,N8/C=90。，AB=AC.點。是邊8c下方一點，48。。=90。，探

索三條線段D4、DB、OC之間的等量關系，并證明你的結(jié)論.

AA

ffi1ffi2

9.（2021秋?山東濟寧?八年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：

截長補短法，是初中數(shù)學幾何題中一種常見輔助線的做法.在證明線段的和、差、倍、分等

問題中有著廣泛的應用.截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩

余的線段與另一段線段相等.補短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部

分等于另一條線段.

請用截長法解決問題（1）

（1）己知：如圖1等腰直角三角形48c中，?B90?,//）是角平分線，交8（：邊于點

I）.求證：AC^AB+BI）.

圖】

請用補短法解決問題（2）

（2）如圖2,已知，如圖2,在A/48C中，Zfi=2ZC,是A48C的角平分線.求證:

AC^AH+H1）.

10.（2022秋?八年級課時練習）數(shù)學課上，小白遇到這樣一個問題：

如圖1,在等腰K/AJ8C中，WC=90。，ABAC,AD-AE，^.ZABE-ZACD；

在此問題的基礎上，老師補充：

過點A作力”18月于點G交8。于點“，過“作”，1(力交融:于點交C/)于點〃，試探

究線段力〃，/平，之間的數(shù)量關系，并說明理由.

小白通過研究發(fā)現(xiàn)，ZAFB與NHPC'有某種數(shù)量關系：

小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進一步

推理，可以得出結(jié)論.

閱讀上面材料，請回答下面問題：

圖1圖2

(1)求證/48"=乙〃刀；

(2)猜想/〃十與〃〃的數(shù)量關系，并證明；

(3)探究線段BP,FP,彳〃之間的數(shù)量關系，并證明.

11.(2021秋?江蘇無錫?八年級宜興市實驗中學?？计谥?【初步探索】

截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策

略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩

條短邊拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,ZUBC是等邊三角形，點。是邊8c下方一點，N8OC=120。，探索線段。/、

DB、DC之間的數(shù)量關系；

【靈活運用】

(2)如圖2,A/8C為等邊三角形，直線a||/8,。為8c邊上一點，乙交直線a于點

E,且々。E=60。.求證：CD+CE=CA^

圖2

【延伸拓展】

(3)如圖3,在四邊形48co中，乙48C+zADC=180。，AB=AD.若點E在C8的延長線

上，點尸在CD的延長線上，滿足E尸請直接寫出N"尸與ND48的數(shù)量關

系.

圖3

12.(2023秋?山西呂梁?九年級?？茧A段練習)綜合與實踐

問題情境已知在等邊W8C中，尸是邊4。上的一個定點."是8c上的一個動點，以產(chǎn)例

為邊在PM的右側(cè)作等邊VPMN,連接CN.

猜想證明：

⑴如圖1,當點M在8(〕邊上時，過點P作PH〃/B交BC于點H,試猜想CP,CN,CM

之間的數(shù)量關系.并說明理由.

(2)問題解決：如圖2,當點M在CB的延長線上時，已知CQ5,CM=\2.請直接寫出CN

的長.

⑶如圖3,當點M在BC的延長線上時，(1)中的猜想是否依然成立？若成立，請說明理曲

若不成立，請寫出正確的猜想并說明理由.

13.(2023秋?河南南陽?八年級?？计谀?【問題初探】

(1)如圖1,在V48C中，N8/C=90。，AB=4(：,點D是BC上一點,連結(jié)//),以//)

為一邊作V4)A，使N/)4￡=90。，ADAE,連結(jié)"，猜想8萬和C/)有怎樣的數(shù)量關系，

并說明理由；

【類比再探】

(2)如圖2,在W8C中，ZBAC-900,48=/C,點M是上一點，點。是8c上一

點，連結(jié)”/),以MD為一邊作VM/足,使NDA"'—90°,M/)-ME，連結(jié)如"貝U

Z_EBD-(直接寫出答案，不寫過程)；

【方法遷移】

（3）如圖3,在W8C是等邊三角形，點。是8C上一點，連結(jié)//）,以//）為一邊作等邊

三角形//）*，連結(jié)w?:,則用），BK,8C之間有怎樣的數(shù)量關系？答案：

（直接寫出答案，不寫過程）；

【拓展創(chuàng)新】

（4）如圖4,W8C是等邊三角形，點M是上一點，點。是8（：上一點，連結(jié)

Ml）,以"/）為一邊作等邊三角形M/m，連結(jié)力匚.猜想/五肘）的度數(shù)，并說明理由.

圖1圖2圖3圖4

14.（2023秋?重慶沙坪壩?九年級重慶市鳳鳴山中學校聯(lián)考期末）如圖，V48C和△////）分

別位于4B兩側(cè)，點少為//）中點，連接8斤，CE.

(1)如圖1,若44(1=48。=90。，AC=3,AB=81)=4>求C4的長;

（2）如圖2,連接CD交彳臺于點尸,在C