2022-2023學年山東省臨沂市高一年級下冊第二次月考數(shù)學模擬卷（含解析）

2022-2023學年山東省臨沂市高一下冊第二次月考數(shù)學模擬卷

（含解析）

一、單選題

1.在一ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為α,b,C,若2。SinB=??，則A=（）

An,不τ5%cπ'冗-2π

A.-rB.一或:-C.—D.一或二-

666333

【正確答案】D

【分析】由正弦定理得2sinAsinB=VJsinB,化簡即得解.

【詳解】因為20sin8=√?,

所以2sinAsinB=GsinB,:.sinA=^-,:.A=工或M.

233

A=9或4都滿足題意.

故選：D

2.己知ɑ,尸是兩個不同的平面，m,〃是兩條不同的直線，下列四個命題中正確的是（）

A.如果m∕∕α,n/Ia,那么，“〃〃

B.如果/n_La,n//a,那么，〃_L"

C.如果"z_L”,mA.a,n!/β,那么e_L￡

D.如果α∕∕Q,直線與α所成的角和直線〃與戶所成的角相等，那么加〃〃

【正確答案】B

【分析】A.相〃“或利,〃相交或利,〃異面，所以該選項錯誤；

B.如果加_La,nlIa,那么加J_"，所以該選項正確；

C.ɑ///或α/相交，所以該選項錯誤；

D.“〃〃或加，”相交或犯〃異面，所以該選項錯誤.

【詳解】A.如果/?〃a,n//a,那么加〃〃或〃?，”相交或機,“異面，所以該選項錯誤；

B.如果,w_La,nlIa,那么加_L",所以該選項正確；

C.如果m,α,n∕∕β,那么e//夕或α,/相交，所以該選項錯誤；

D.如果α〃萬，直線加與α所成的角和直線〃與夕所成的角相等，那么〃〃?〃或〃〃相交或

加，〃異面，所以該選項錯誤.

故選：B

3.某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法

從該校學生中抽取一個容量為，，的樣本，已知從高中生中抽取70人，則〃為（）

A.100B.150

C.200D.250

【正確答案】A

【詳解】試題分析：根據(jù)已知可得：Wv=故選擇A

35A00+15003500

分層抽樣

4.一個側(cè)棱長為26的直棱柱的底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖為如圖所示

的菱形OAB'C',其中O（A'=2,則該直棱柱的體積為（）

A.4√3B.8√3C.16√3D.32√3

【正確答案】C

【分析】根據(jù)斜二測畫法的定義，求出四邊形OABC的面積，然后根據(jù)棱柱的體積公式計算

即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，四邊形Q4BC為矩形，

因為O'C'=2,O7T=2,所以O(shè)C=4,04=2,

所以矩形。45C的面積為4x2=8,

所以直棱柱的體積為8x2G=I6后.

故選：C.

5.泰山于1987年12月12日被列為世界文化與自然雙重遺產(chǎn)，泰山及其周邊坐落著許多古

塔.某興趣小組為了測量某古塔的高度，如圖所示，在地面上一點A處測得塔頂8的仰角為

60°,在塔底C處測得A處的俯角為45。.已知山嶺高C4為256米，則塔高5C為（）

A.256(√Σ-1)米B.256(石-1)米C.256(G-I)米D.256(24-1)米

【正確答案】B

【分析】一αM中求出AZ),再在AABO中求得80,從而可得BC.

【詳解】在CΩ4中，Af)=Cf)tanNDCA=256tan45°=256,

在zλABO中，DB=ADtanZBAD=256tan600=256√3,

所以BC=Bo-CD=256(75-1).

故選:B.

6.已知.A5C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,下列說法中不正確的是()

A.若“cosA=6cos8,貝ILASC一定是等腰三角形

B.?Cos(A-B)-Cos(B-C)=I,則一ABC一定是等邊三角形

C.若“cosC+CcoSA=c,則,4?。一定是等腰三角形

D.?cos(2B+C)+cosC>0,則一ΛβC一定是鈍角三角形

【正確答案】A

TT

【分析】對于A：利用正弦定理得到A=B或A+B=/,即可判斷；對于B：由余弦函數(shù)的

有界性求出A=B=C=即可判斷；對于C：由余弦定理求出b=c,即可判斷；對于D：

利用三角公式判斷出CoSB<0或CoSA<(),即可得到答案.

【詳解】對于A：因為αcosA=bcos8,由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB,

所以sin2A=sinZB.

因為A,B為二ABC的內(nèi)角，所以24=25或2A+2B=π,

TT

所以A=B或A+8=7?

J2

所以ABC是等腰三角形或直角三角形.故A錯誤;

對于B：由余弦函數(shù)的有界性可知：若-l≤cos(A-B)≤l,-l<cos(3-C)≤l.

因為COS(A-B)?cos(B-C)=1,所以CoS(A-3)=1,CoS(B-C)=I或

cos(A-B)=-l,cos(B-C)=-l.

當COS(A-3)=LCOS(B—C)=l時，有A=B且B=C,所以A=B=C=I,所以.ABC是等邊

三角形.

當COS(A-3)=—LCOS(B-C)=-I時，有A-B=π且B-C=π,不符合題意.

所以一ASC一定是等邊三角形.故B正確；

對于C：因為αcosC+CCoSA=c,由余弦定理得：a?a———+c?c———=c,

2ab2bc

所以2/=2歷，所以。=C

則一ABC一定是等腰三角形.故C正確；

對于D：在ABC中，A+B+C=π,所以CoS(23+C)=cos(3+π-A)=-CoS(3-A),

cosC=∞s(π-A-B)=-COS(A+B).

所以CoS(2B+C)+cosC=-COS(3-A)-CoS(B+A)>0,

所以CoS(B-A)+COS(B+A)<0,即2cos3cosA<0,所以CoS8<0或COSAC0.

所以ABC一定是鈍角三角形.

故選:A

二、多選題

7.已知圓錐的頂點為S,底面半徑為6,高為1，A,8是底面圓周上兩個動點，下列說

法正確的是()

A.圓錐的側(cè)面積是2√?r

TT

B.SA與底面所成的角是￡

C.ZSSAB面積的最大值是百

D.該圓錐內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值為叵

2

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)圓錐的性質(zhì)，計算基本量，判斷AB選項，根據(jù)aS4B的面積公式，計算頂角

的取值范圍，計算面積的最值，利用圓錐和內(nèi)接圓柱的軸截面，計算側(cè)面積的最大值.

【詳解】圓錐的母線∕=J(√5)'+1=2,則圓錐的側(cè)面積S=萬H=τrx√Jx2=2√^r,故A

正確；

設(shè)與底面所成的角是e,Sin。=；,即。=￡,故B正確；

26

軸截面的頂角是2xg=4,當頂角等于g時，面積的最大值是gx2x2XSinW=2,

33222

故C錯誤；

下圖是圓錐和圓柱的截面圖，設(shè)圓柱底面半徑『，則高是g(G-r)，則圓錐內(nèi)接圓柱的側(cè)

面積S=2萬4=2…X今G-r)=-竿乃卜唱+字，當r=亭時，側(cè)面積取得最

大值叵，故D正確.

2

故選：ABD

三、單選題

8.過球。表面上一點A引三條長度相等的弦43、AC、AD,且他、AC、AZ)兩兩夾角都為

60°,若BD=&，則該球的體積為()

.邪)πo^3?∣3>πCHiπC3下)兀

?----------D?------------C?-------------D?------------

2234

【正確答案】A

將幾何體A-38補形成正方體，根據(jù)5。求得正方體的邊長，從而求得正方體的體對角線

長，也即求得球的直徑，由此可求得球的體積.

【詳解】依題意，將幾何體A-BC。補形成正方體，如下圖所示，由于BO=所以正方

體的邊長為1,其體對角線長為￠2+F+『=百,也即球的直徑為6,半徑為半，所以球

的體積為篝惇[坐

本小題主要考查球的體積計算，考查球與內(nèi)接幾何體，考查空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化

的數(shù)學思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

四、多選題

9.設(shè)Z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若z∈R,則5∈RB.若Zl^=∣z∣,貝!]∣z∣=l

C.若z=5,則z=∣5∣D.若z+2=0,則言=i

IZl

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念結(jié)合復(fù)數(shù)的運算逐項分析運算.

【詳解】設(shè)z=α+為mS∈R,但。*不同時為0,則1=4一萬，可得IZl=Il^∣=Ja2+從，

對于A：若z=α+biwR,則Z?=0,

故5=α∈R,A正確；

對于B：*/z?z=(α+?i)(α-?i)=a2+?2=]z∣2,

若療=∣z∣,則IZF=IZ∣,

解得:IZl=I或IZI=O(舍)，B正確；

對于C：若z=5,BPa+bι-a-h?,解得6=0,

故z=α(α*0),則IZl=Ia

ll.l{a=z,a>0

可得Z=HXλ,C不正確；

1[-a=-z,a<O

對于D：z+z=0,則(α+力i)+(α-bi)=O,解彳導(dǎo)4=0,

即Z為純虛數(shù),此時IZR丘|=忖,五0,

,,zzbi[i,?>0

故〕=E=HJ=I.八，D不正確.

IZlIZIWz<O

故選：AB.

10.已知向量α=(2,l),ft=(-3,1),則()

A.(α+?)±a

B.向量d在向量人上的投影向量是-叵b

2

C.?a+2b|=5

D.與向量&共線的單位向量是(華，冬)

【正確答案】AC

【分析】由向量垂直的坐標表示，數(shù)量積的定義，模的坐標表示，共線向量的坐標表示及單

位向量的定義計算后判斷.

【詳解】解：因為向量。=(2,1),1=(-3,1),故α?5=-5,

對于A,a+b=(-1,2),所以(α+b)?+=2x(-l)+2xl=0,所以(〃+b)_L。，故A正確;

對于B,向量值在向量b上的投影向量是

⑷CoSe上=∣α∣?"?=詈■.0=?Ib=-,(注是向量G/的夾角)，故B錯誤；

?b?I。IWw?b?-(-3)^+12

對于C,67+2/?=(-4,3),所以Iα+2〃I=J(-4)?+3?=5,故C正確；

對于D,4共線的單位向量是±看，即(手，《)或(一竽，-半)，故D錯誤.

故選：AC.

11.(多選)已知/U)=g(l+cos2x)sin2χ(x∈H),則下面結(jié)論正確的是()

TT

A.y(x)的最小正周期T=5B.yu)是偶函數(shù)

c?yu)的最大值為:D.火外的最小正周期T=Z

【正確答案】ABC

【分析】利用二倍角余弦公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得式X)=J(I-cos4x),再結(jié)合

8

所得三角函數(shù)的性質(zhì)及各選項的描述判斷正誤.

【詳解】:於)=—(1÷cos2x)(1—cos2x)=?(l—COS22Λ)=—sin22x=L(I-cos4x),

4448

??Λ-x)=?[l—cos4(—x)]=∣(I-COS4x)=於)，

OO

-2ππ

/=—=—，

42

tΛX)的最大值為：χ2=。,

o4

故A、B、C正確，D錯誤.

故選：ABC

12.正方體A88-A4GA棱長為1,若尸是空間異于G的一個動點，且PG_LBA，則下

列正確的是()

A.PC"/平面ACBl

B.存在唯一一點、P,使PDj/B。

C.存在無數(shù)個點P,使PDIBC

D.若以_LPC,則點P到直線AG的最短距離為亞

【正確答案】ACD

【分析】點尸為動點，確定尸點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵，將條件的異面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂

直，找到8。的垂面，即可確定P點的軌跡，對于A,由面面平行進行判斷，對于B,利用

反證法和平行的傳遞性進行判斷，對于C,將異面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，找到BC的垂面進

行判斷，對于D,由B4JLPC得到P點也在球面上，所以P點是球面與平面的并線，考查球

截面的問題，類比圓的問題進行解決

【詳解】解：對于A,因為BO,，平面OAG，所以點P在平面OAG上，又因為平面DAG〃

平面ABC,所以PC"/平面4C4,所以A正確，

對于B,假設(shè)存在點P,使得PR"BC，因為A?！啊?，所以尸?！ˋQ,這與A在平面

DAG外矛盾，所以假設(shè)不成立，即點P不存在，所以B錯誤，

對于C,如圖，因為80，平面4RG8,平面ARGB平面AGO=C7,所以當點P在直

線CIF上時，恒有PDjB0,所以C正確,

如圖，若E4LPC,則點P在以。為球心，OA（OA=立）為半徑的球面上，設(shè)8RI平面

2

DA1G=E,則B點到平面。AG的距離為BE=gBR=苧，所以。點到平面》4G的距離

為LBE=B,所以平面DAIG被球面截得的圓的半徑為r=J［變］且］=—>且圓心

23K2J3J6

為。E中點，設(shè)為0∣,則在等邊三角形QAG中，。倒直線AC的距離為亞χ2=亞，所

233

以點P到直線4G的距離的最小值為""-逅=亞，所以D正確，

3366

故選：ACD

五、填空題

13.己知i為虛數(shù)單位，若Z=(Iy]I),則IZl=.

【正確答案】1

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法公式求出z=-i,再由復(fù)數(shù)模的公式即可求出答案.

r洋槌】「=(1-2i)?(2+i)2+ii-2i2"4-3i)(3-4i)_25i=

【÷ffl+l'3+4i3+4i(3+4i)(3-4i)9+16

IzI=H=1

故1

14.己知向量α=(2,l),α?6=10,卜+0=50,則M=.

【正確答案】5

【分析】卜+W=5a兩邊平方后，結(jié)合W=5,ab=10,求出答案.

2

【詳解】卜+0=50兩邊平方得，a+2a-b+b=50

BP|?|+2α??+1/?|=50,

因為,「=22+F=5,α??=10,

故4=25,解得M=5.

故5

15.為了了解我國13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個男孩，平均身高L60m；從

南方抽取了200個男孩，平均身高1.50m,由此可推斷我國13歲男孩的平均身高為

【正確答案】1.56m

【分析】根據(jù)平均數(shù)的計算公式，準確計算，即可求解.

300xlxl5

【詳解】根據(jù)平均數(shù)的計算公式，我國13歲男孩的平均身高為：3^^θθ?°=1.56

米.

故答案為?1.56〃？

六、雙空題

16.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.古希臘歷史

學家希羅多德記載：胡夫金字塔的每一個側(cè)面三角形的面積等于金字塔高的平方，則其側(cè)面

三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為;側(cè)面與底面所成二面角的余弦值

【分析】畫出圖形，設(shè)正四棱錐的底面邊長為α=2,高為/?,斜高為〃，E為CO的中點,

可得

h2=-×2h'

-2,求出"，從而可求出答案

H=A2+1

【詳解】解：如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長為α=2,高為〃，斜高為"，E為8的中點,

則由題意得

h1=-×2h,

<2,得/I?_]=/?,

h'2=A2+1

解得方=逅±'或"=*1i（舍去），

22

所以2=在±1,

24

所以側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為回?,

因為依_LCQ,OE，8,所以/PEO是側(cè)面與底面所成二面角的平面角,

OE1√5-l

cos/.PEO=——=—?=——=

因為PE√5+l2

2

所以側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為避二?，

故叵L叵≤

42

P

七、解答題

17.已知復(fù)數(shù)Z=(W+l)(〃L2)+(w-2)i(〃?eR),其中i為虛數(shù)單位.

(1)若Z是純虛數(shù)，求實數(shù)”的值；

(2)若相=3,Z是關(guān)于X的實系數(shù)方程χ2+αχ+z,=o的一個復(fù)數(shù)根，求實數(shù)”，匕的值.

【正確答案】(1)1

(2)a=—8,?=17

【分析】(1)根據(jù)題意列方程組，即可求出機；

(2)判斷出z=4+i和1=4.i是方程的根，以根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)因為復(fù)數(shù)z=(m+l)(∕n-2)+(“一2)i(∕n∈R)是純虛數(shù),

所以［叫叫.2)=0,解得：i

∕H-2≠0

(2)當m=3時，z=(,x+l)(w-2)+(m-2)i=4+i.

因為Z是關(guān)于X的實系數(shù)方程f+αr+"=o的一個復(fù)數(shù)根，所以Z的共軌復(fù)數(shù))=4T也是實

系數(shù)方程/+5+6=0的根，

所以(4+i)+(4-i)=—α,(4+i)*(4-i)=。，解得.α=-8,b=17

18.如圖是古希臘數(shù)學家特埃特圖斯(刀7"*仙心，約公元前417年一公元前369年)用來

構(gòu)造無理數(shù)血，G，出，…的平面圖形.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)解決下列問題.

4

1

d1C

（1）計算圖中線段8。的長度；

（2）求/D4B的余弦值.

【正確答案】ɑ）BD=h+亞;（2）2由二技.

3TT

【分析】⑴由題知BC=Co=I,NBCDF進而在利用余弦定理求解即可；

（2）結(jié)合（1）得AB=I,AD=如,BD=?∣2+y∣2?進而在aABO中利用余弦定理求解

即可.

TTTT3乃

【詳解】解：（I）在488,BC=CD=1,ZBCo=—+—=一

244

由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcosNBCD

=12+12-2×1×1×∣∣=2+√2,

,?BD=??∣2+?∣2■

(2)在AABO中，AB=I,AD=Λ∣3,BD=?∣2+血，

由余弦定理得COSNDAB=ABrAQ--Bq

IAB-AD

產(chǎn)+(后一μ+后26-顯

2×l×?β6

?/…2√3-√6

??cosZ.DAB=-----------.

6

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，E,F分別為AC,BC的中點.

P

AC

R

(1)求證：EF〃平面PAB；

(2)若平面PACl.平面ABC,且PA=PC,ZABC=90o,求證：平面PEFi.平面PBC.

【正確答案】見解析

【詳解】試題分析：(1)利用E,F分別是AC,BC的中點，說明EF〃AB,通過直線與平

面平行的判定定理直接證明EF〃平面PAB.

(2)證明PELAC,利用平面與平面垂直的判定定理證明PE_L平面ABC,通過證明

PE±BC.EFlBC,EF∩PE=E,證明BCJ_平面PEF,然后推出平面PEFJ_平面PBC.

證明：(1)VE,F分別是AC,BC的中點，.?.EF"AB.

又EFC平面PAB,

ABU平面PAB,

,EF〃平面PAB.

(2)在三角形PAC中，VPA=PC,E為AC中點，

ΛPE±AC.

：平面PAC_L平面ABC,

平面PACn平面ABC≈AC,

.?.PE，平面ABC.

ΛPE±BC.

又EF〃AB,ZABC=90o,ΛEF±BC,

又EF∩PE=E,

BCl5PffiPEF.

，平面PEFL平面PBC,

平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定.

20.已知向量α=(G,T)，?=(1,Λ)(Λ∈R).

(1)若4與b的夾角為銳角，求實數(shù)，的取值范圍;

⑵已知A8=nuz+b,AC=a+mb,其中A,B,C是坐標平面內(nèi)不同的三點，且A,B,

C三點共線，當2=%時，求機的值.

【正確答案】(1)∕l<G且2*-理；(2)/?=-1.

3

【分析】(1)根據(jù)”與6的夾角為銳角可知，〃為>0且“與b不共線，將坐標代入求解即可；

(2)由A,B,C三點共線可得益〃泥，根據(jù)向量平行的坐標表示列出方程再結(jié)合∕l=”,

即可求出機的值.

【詳解】(1)因為“力=6-∕l,α與分的夾角為銳角，

所以"力>0，即JJ-∕l>0,解得；l<JL

當α∕∕b時,G>l=-1,B∣Jλ=--,此時，b==-^(>∕3,-l)=,

3I?J33

α與b的夾角為0,也滿足am>。，但不滿足題意，所以/1聲-立，

3

綜上，λ<?/?.S./≠—.

3

(2)由題知，AB=ma+b=(y∕3m,-m)+(l,λ)=(x∕3m+?,λ-m),

AC=a+mb=(?/?,-1)+(/?/,λm)=(?∣3+m,λm-?)

UUUUUU

因為A,B,C三點共線，所以43//AC，

所以(yβιn+l)(Λzn-l)-(?/?+m){λ-〃7)=0.

當/1=加時，y∣3m+1=0或>一1=0.

當6〃+1=0時，A3=0，點A與點8重合，與題意矛盾；

當加一1=0時，〃7=1或機=-L

若帆=1,AB=AC,點B與點C重合，與題意矛盾；

若加=-1,AB=-AC滿足題意.

綜上，m=-↑.

21.在ABC中，角4B,C的對邊分別為“,仇c,已知二AfiC的面積為3sin4,周長為4(至+1).

-B.sinB÷sinC=V2sinA.

(1)求。及CoSA的值；

（2）求cos（2A-qJ的值.

【正確答案】（1）。=4；cosA=∣.

（2）必I

18

【分析】（1）由己知及三角形面積公式可求bc=6,進而可求a,利用余弦定理即可得解CosA

的值；（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求s%A,利用二倍角公式可求S加2A,cos2A的

值，進而利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可得解.

【詳解】（1）S=LheSirL4=3sinΛ/.be=6

2

h+c=?[2a?，