高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編：數(shù)列

數(shù)列

一、選擇填空題

1.(江蘇2004年4分)設(shè)數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和為S”，(對(duì)于所有n'l),且—=54,則%

2

的數(shù)值是一

▲.

【答案】2。

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和。

【分析】根據(jù)。4=S4-S3列式求解即可：

.T),“產(chǎn)54,且“FSLS3,

2

...[(3Jl)/(33—1)=54,解得2。

22

2.(江蘇2005年5分)在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，首項(xiàng)％=3,前三項(xiàng)和為21,則%+%+。5=

[]

A.33B.72C.84D.189

【答案】Co

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)。

【分析】根據(jù)等比數(shù)列｛%｝中，首項(xiàng)4=3,前三項(xiàng)和為21,可求得q,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,

分別求得出，4和。5代入。3+。4+。5，即可得到答案：

:在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛凡｝中，首項(xiàng)%=3,前三項(xiàng)和為21,3+3q+3/=21。；.q=2。

_1234

Aan=3x2"oAa3+a4+a5=3x(2+2+2)=3x28=840故選C。

3.(江蘇2006年5分)對(duì)正整數(shù)〃，設(shè)曲線y=x"(l-x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為明,

則數(shù)列[懸]的前n項(xiàng)和的公式是▲

【答案】2,1+1-2o

【考點(diǎn)】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率，數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前"項(xiàng)和的公式。

【分析】?/y=xn(l-x),：.y'=nxn-'-(?+l)x,!?

曲線y=7'(l-x)在x=2處的切線的斜率為左=〃2"T-("+l)2",切點(diǎn)為(2,—2")。

所以切線方程為y+2"=[”2'T—(a+l)2"](x—2)。

把x=0,y=a”代入，得4=(〃+1)2"。；.上一=2"。

〃+]

???數(shù)列[1的前〃項(xiàng)和為2+2?+23+…+2〃=2^i_2。

U+1J

4.(江蘇2008年5分)將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

1

23

456

78910

1112131415

按照以上排列的規(guī)律，第〃行(〃N3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為▲

【考點(diǎn)】歸納推理，等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和。

"2_幾

【分析】前n—1行共有正整數(shù)1+2+…+(H-1)個(gè)，即-----個(gè)，

2

???第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個(gè)，即為^一上二。

22

6.(江蘇2009年5分)設(shè)｛6｝是公比為q的等比數(shù)列，舊|>1,令2+1(〃=1,2,),若數(shù)列抄“｝

有連續(xù)四項(xiàng)在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，則6。=▲.

【答案】-9。

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問(wèn)題的能力。

【分析】??““=q+1(〃=1,2,),數(shù)列也“｝有連續(xù)四項(xiàng)在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，

｛可｝有連續(xù)四項(xiàng)在集合｛-54,-24,18,36,81｝中。

按絕對(duì)值的順序排列上述數(shù)值，相鄰相鄰兩項(xiàng)相除發(fā)現(xiàn)一24,36,-54,81成等比數(shù)列,

3

是｛aj中連續(xù)的四項(xiàng)，比為q=

6q=—9。

7.（江蘇2010年5分）函數(shù)y=x2（x>0）的圖像在點(diǎn)（以，.J）處的切線與無(wú)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為以+「

k為正整數(shù)，4=16,則q+/+%=▲

【答.案】21。

【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)，函數(shù)的切線方程,數(shù)列的通項(xiàng)。

【分析】求出函數(shù)y=x?在點(diǎn)（4,a/）處的切線方程，然后令y=0代入求出x的值，再結(jié)合勾=16得

到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再得到%+%+%的值：

函數(shù)y=/在點(diǎn)（%,）處的切線方程為：y-aj=2%（x—W）,當(dāng)y=0時(shí)，解得》=今。

??a&+j——~o?.q+/+%=16+4+1=21。

8.（江蘇2011年5分）設(shè)1=%<4<—<。7，其中。1，。3，。5，%成公比為4的等比數(shù)列，。2，。4，。6

成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是▲

【答案】V3o

【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的意義和性質(zhì)，不等式的性質(zhì)。

223

【分析】由題意得，a2>1,a3=q>a2fa2+1>q>a2+1,a2-^-2>q,q>a2+2

???要求q的最小值，只要求出的最小值，而。2的最小值為1，

>?2+2>1+2=3o/.<7>V3o

9、（2012江蘇卷6）現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10

個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是.

【解析】組成滿足條件的數(shù)列為：L—3,9.—27,81,-243,729,-2187,6561,-19683.從中隨機(jī)取出一個(gè)

3

數(shù)共有取法10種，其中小于8的取法共有6種，因此取出的這個(gè)數(shù)小于8的概率為二.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型.在利用古典概型解決問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵弄清基本事件數(shù)和基本事件總數(shù),

本題要注意審題，“一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)”，意味著這兩個(gè)數(shù)不能重復(fù)，這一點(diǎn)要特別注意.

10、（2013江蘇卷14）14.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，%=g，+a7=3,則滿足

（+4+…+4〉為出…。"的最大正整數(shù)〃的值為

答案：14.12

二、解答題

1.（江蘇2004年12分）設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S”.

（I）若首項(xiàng)％=］,公差d=l,求滿足5/=（SQ2的正整數(shù)k;

（II）求所有的無(wú)窮等差數(shù)列｛4｝,使得對(duì)于一切正整數(shù)化都有=（4）2成立.

［答案］解：（I）當(dāng)=1時(shí)，S=na,+―—<7=—n+——=—zz2+n

122222

由%=（Sj,得94+%2=（*2+左）2,即左3（；左—IQ。。

又上中0,所以左=4。

（H）設(shè)數(shù)列｛a.｝的公差為d,則在S）,=（SR）2中分別?。?1,2,得

S_（S）24］=（1）

《，即《4x32x1'。

S=（S）24%+——1=（24+——［尸質(zhì)）

42、22

M或3或〃]=1

解得

小d=2

若q=0,1=0,則a“=0,S“=0,從而S『=(SQ2成立;

若q=0,d=6,貝必“=6("—1),由邑=18,($3尸=324,5“=216知的。(邑了,

故所得數(shù)列不符合題意。

若4=1,4=0,則%=1,5“=〃,從而.=(SJ成立;

若q=l,d=2,貝！=2〃-1,Sn=1+3++(2〃-1)=〃2,從而5=(5")2成立。

綜上，共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列：

①{8}:a=0,即0,0,0,…；

②{4}:a=1,即1,1,1,?--;

③{&}:^=2n—1,即1,3,5,…。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)。

【分析】（I）利用等差數(shù)列的求和公式表示出前n項(xiàng)的和，代入到=（SQ2求得左。

（II）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,在Sn2=（Sn）2中分別取左=1,2求得見(jiàn),代入到前n項(xiàng)的和中

分別求得d,進(jìn)而對(duì)可和d進(jìn)行驗(yàn)證，最后綜合求得答案。

2.（江蘇2005年14分）設(shè)數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為S"，已知％=1,電=6,%=11，且

（5H-8）S?+1-（5/i+2）S?^An+B,n=1,2,3,-??,其中A.B為常數(shù).

⑴求A與B的值；（2分）

⑵證明：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；（6分）

⑶證明：不等式庖二-向%>1對(duì)任何正整數(shù)小,“都成立.（6分）

【答案】解：（1）由已知，得S]=%=1,S2=ax+a2=7,S3—=18,

由(5/7—8)S“+]—(5"+2)S“=An+B,知

—3s2—7S]=A+BA+B=-28

即4

<2S-12S=2A+B解得A=—20,5=—8。

322A+B-48

(2)由(1)得(5〃-8)S,+i—(5〃+2)S“=—20〃一8①

；?(5〃-3)S〃+2-(5n+7)S〃+i=-20H-28②

②—①得，(5〃-3電+2-(10〃-1電+]+(5"+2電=-20③

???(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)S?+1=-20④

④一③得(5九+2電+3一(15〃+6)S“+2+(15n+6)5,i+1-(5n+2)5.=0。

'''%=S"+i—S”,：.(5n+2)an+3-(lOn+4)an+2+(5n+7)an+1=0?

(5"+2)H0，an+3-2an+2+an+1=0oan+3-an+2-an+2-an+1,n>l?

又：%—電=。2-%=5，，數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列。

(3)由(2)可知”氏=1+5(〃-1)=5〃一4,

要證庖二->1，只要證5ami>1+aman+

因?yàn)?m=5nm-4,aman=(5m-4)(5〃-4)=25rm-20(加+n)+16,

故只要證5(5加〃-4)>1+25mn-20(m+n)+16+2^aman,

即只要證20m+20〃-37>2ja,,4。

因?yàn)?/p>

2^Jaman<am+an=5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)=20/n+20n-37,

由于以上過(guò)程是可逆的，所以命題得證。

【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用。

—3s2—7S]=A+B

【分析】(1)由題意知,從而解得A=—20,B=-8o

2s3-12S2=2A+B

(2)由(I)得(5〃—8)S.+i—(5〃+2)S,=—20〃—8,所以在式中令〃="+l,可得

(5H-3)S〃+2—(5〃+7)S〃+i=-20n-28.

由此入手能夠推出數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列。

(3)由(2)可知，％=1+5("-1)=5〃—4,然后用分析法可以使命題得證。

3.(江蘇2006年14分)設(shè)數(shù)列｛%｝、也J、｛c“｝滿足：bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2

(n=l,2,3,

證明｛為｝為等差數(shù)列的充分必要條件是｛c,｝為等差數(shù)列且6“(〃=1,2,3,…)

【答案】證明：必要性：設(shè)｛%｝是公差為4的等差數(shù)列，則

2+1-2=(%-an+3)一(?！?4+2)=(%一?)-(%+3-4+2)=4-4=0。

bn<bn+l(n=l,2,3,?--)成立。

又c〃+i一%=(4+1一?！?+2(?！?2-%)+3(/+2-4+2)=4+24+3&=64(常數(shù))

(n=l,2,3,,,,)

???數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列。

充分性：設(shè)數(shù)列｛%｝是公差為4的等差數(shù)列，且(”1,2,3,…),

c=a+

,nn2"”+i+3?！?2①，??cn+2=a?+2+2a鵬+3an+4②，

①一②得cn-cn+2=(a?-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)=bn+2bn+l+3bn+2。

又?:c”~c?+2=(cn-%+J)+(c“+|-g+2)=一2心，'-bn+2bn+l+3bn+2=-2d2③。

從而有bn+l+2a+2+3bn+3=-ld2④。

...④一③得(2+]-〃)+2(4+2-2+1)+3(4+3-2+2)=。⑤。

??.一%]，即%"o,bn+2-bn+l>G,bn+3-bn+2>Q,

，由⑤得*i=0(n=l,2,3,…)。

由此不妨設(shè)d=〃3(〃=1,2,3,…)則%-4什2=/(常數(shù))。

由此cn=an+2an+i+3an+2=4a“+2a/l+I-3d3@,

從而c?+1=an+l+2%+2+3a,+3=4a?+1+2a?+2-34=4a?+1+2%-5d3⑦。

.?.⑦一⑥得cn+1-cn=(4%+2an-5J3)-(4a?+2a,用-3/)=2(an+l-an)-2d3?

a〃+i—a”=5(cc+1—Cc)+d3=—d2+4(常數(shù),=1,2,3,,,,)°

所以數(shù)列｛a.｝是等差數(shù)列。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)，必要條件、充分條件與充要條件的判斷。

【分析】本題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題

的能力，理解公差d的涵義，能把文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為符號(hào)關(guān)系式.利用遞推關(guān)系是解決數(shù)列的重要方法，，

熟練掌握等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其由來(lái)。

5.(江蘇2007年16分)已知｛a“｝是等差數(shù)列，｛a｝是公比為q的等比數(shù)列,見(jiàn)=配出=dN見(jiàn)，

記乂為數(shù)列｛"｝的前八項(xiàng)和，

(1)若為=m(加,女是大于2的正整數(shù))，求證：Sj=(〃z—l)q；(4分)

(2)若&是某一正整數(shù))，求證：q是整數(shù)，且數(shù)列｛4｝中每一項(xiàng)都是數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)；(8

分)

(3)是否存在這樣的正數(shù)q,使等比數(shù)列｛么｝中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫(xiě)出一個(gè)q的值，并

加以說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4分)

【答案】解：設(shè)｛4“｝的公差為d,由％=4，4=dw%，知d=G](q—1)(qw0)

(1)證：4=am,

qq'T=%+(m—l)q(q—1),qk~'=l+(m—1)(^—1)=2—m+(m—1)^?

?=--1—w—i)q)/

i-qq

(2)證：:A=qq2,〃,=q且&=4，

q1=l+(z-1)(^-1),q1-(z-1)+(z-2)=0,

解得，q=1或q=1一2,但w1,q=i-2o

??,i是正整數(shù)，???i—2是整數(shù)，即q是整數(shù)。

+

設(shè)數(shù)列｛"｝中任意一項(xiàng)為bn=q/i(neN),

設(shè)數(shù)列｛a“｝中的某一項(xiàng)a?,=q+(加一1)。1(q-l)(機(jī)eN*｝

現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù)機(jī),使得仇=味，即在方程%"T=%+(加—i)%(q—1)中

m有正整數(shù)解即可。

H-11

c〃一2

.*qn1=1+(m—1)(^—l),m—1=--------=1+qq2+q

qt

n2

:?iri=2+q+夕2+qo

右i=1,則q——1,那么Z?2W-i=b、=4，b2rl—b?—a?。

當(dāng)i23時(shí)，:q=4，a2=b2,只要考慮〃N3的情況,

:&=q,iN3,，q是正整數(shù)。，加是正整數(shù)。

數(shù)列｛々｝中任意一項(xiàng)為a=adi("wN+)與數(shù)列｛4｝的第2+q+/+0-2項(xiàng)

相等，從而結(jié)論成立。

(3)設(shè)數(shù)列｛。〃｝中有三項(xiàng)勾，2,Z?p<〃v租，川,pwN+)成等差數(shù)列，則有

nlmxp

2axq-=aiq-+axq-\

設(shè)〃一加=羽P_〃=y,(x,y￡N+),貝U2=二+。

令X=l,y=2,則，_2q+]=0,(夕一1)(d+g_1)=0。

x/5-1

丁qW1,?，?/+q—1=0,解得q=—-—(舍去負(fù)值)o

1+

即存在q=宮二使得｛bn｝中有三項(xiàng)bm,bm+l,bm+3(meN)成等差數(shù)列。

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)

【分析】(1)設(shè)｛4｝的公差為d，由。1=白，把仇=(代入?；?'?"，即可表示出S-,題設(shè)得

證。

1

(2)禾!1用i>3=aiq,a1=(\+(z-l)a1(^-1),可得

=1+(i—1)(q—1),即d—?—1)q+(i—2)=0,整理即可求得“=i—2,從而可判定『一2是整數(shù),

即q是整數(shù)。設(shè)數(shù)列｛以｝中任意一項(xiàng)為勿=a0i(“eN+),設(shè)數(shù)列｛4｝中的某一項(xiàng)

+

am=a1+(m-l)o1(^-1)(me7V),只要證明存在正整數(shù)機(jī)，使得仇=勺，即在方程

%q"T=4+(m—l)4(q—1)中加有正整數(shù)解即可。

(3)設(shè)數(shù)列｛4｝中有三項(xiàng)0,2,女(m<〃<p,m,”,pwN+)成等差數(shù)列，利用等差中項(xiàng)的

性質(zhì)建立等式，設(shè)=x,p—九=y,(x,yeN+),從而可得以2=4+(7>,令x=l,y=2”求

得qo

6.(江蘇2008年16分)(1)設(shè)4,出，?,％是各項(xiàng)均不為零的〃(〃三4)項(xiàng)等差數(shù)列，且公差d20,

若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列(按原來(lái)的順序)是等比數(shù)列.

(i)當(dāng)"=4時(shí)，求色的數(shù)值；

(ii)求〃的所有可能值.

(2)求證：對(duì)于給定的正整數(shù)“524),存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列3%,bn,

其中任意三項(xiàng)(按原來(lái)的順序)都不能組成等比數(shù)列.

【答案】解：(1)(i)當(dāng)n=4時(shí)，％,4，%，%中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)

成等比數(shù)列，則推出廬0。

若刪去4，則即(q+2d尸=%?(q+3d)化簡(jiǎn)得q+4d=0,得以=-4。

一d

若刪去生，則即(q+1了=%,(4+3d)化簡(jiǎn)得%—d=0,得」*=1。

一d

綜上，得&=-4或色=1。

dd

(ii)當(dāng)77=5時(shí)，％,生,％,。4，。5中同樣不可能刪去“1，。2，。4，。5，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。

若刪去?，則q?%=。2，即%(%+4d)=(q+d>(q+3d)化簡(jiǎn)得3d2=0,因?yàn)閐，0,

所以為不能刪去；

當(dāng)時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列%,出,%，「a”-，4」為中，由于不能刪

去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去自，則必有％,，an-2，這與dwO矛盾；同樣若刪去也有

a

-an這與d/0矛盾；若刪去名，，，。“_2中任意一個(gè)，則必有,n-i>這與d#0

矛盾。(或者說(shuō)：當(dāng)〃》6時(shí)，無(wú)論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))。

綜上所述，n=4o

(2)假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)〃，存在一個(gè)公差為d的〃項(xiàng)等差數(shù)列仇力2,……bn,

其中2+i，4+i，么+「(0Kx<y<z<"-l)為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，

222

則%+i=-+i也+i,即也+yd)=.+xd)?(偽+zd),化簡(jiǎn)得(y-xz)d=(x+z-2y)brd

(*)

由々dwO知，產(chǎn)-xz與x+z-2y同時(shí)為0或同時(shí)不為0。

當(dāng)一雙與x+z-2y同時(shí)為0時(shí)，有x=y=z與題設(shè)矛盾;

故丁―亞與x+z—2y同時(shí)不為0,所以由(*)得勾=上士_

dx+z-2y

V0<%<y<z<n—1且x.、y、z為整數(shù)，，上式右邊為有理數(shù)，從而4為有理數(shù)。

d

???對(duì)于任意的正整數(shù)九（"24）,只要上為無(wú)理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。例如〃項(xiàng)

數(shù)列1,1+5/2,1+272,……，1+5-1）也滿足要求。

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)，等比關(guān)系的確定，等比數(shù)列的性質(zhì)

【分析】（1）根據(jù)題意，對(duì)〃=4,〃=5時(shí)數(shù)列中各項(xiàng)的情況逐一討論，利用反證法結(jié)合等差數(shù)列的性

質(zhì)進(jìn)行論證，從而推廣到"24的所有情況.

（2）利用反證法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行論證即可。

7.（江蘇2009年14分）學(xué)設(shè)｛〃“｝是公差不為零的等差數(shù)列，S,為其前”項(xiàng)和，滿足

出2+？2=%2+%2,S7=7。（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式及前"項(xiàng)和S“

（2）試求所有的正整數(shù)相，使得43為數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)。，

am+2

【答案】解：（1）設(shè)公差為d,則國(guó)—由性質(zhì)得—3d（〃4+々3）="（。4+。3）。

dw0,?\/+%=°，即2%+5d=0。

又由S7=7得7〃]H—-—d=7,解得4=-5,d=2。

???數(shù)列｛“〃｝的通項(xiàng)公式為=2〃一7；前〃項(xiàng)和=n2-6n0

（2）:=（”“，+2―4）（冊(cè)+2—2）=2〃?_9+為數(shù)列（a1中的項(xiàng)，

a

m+2?m+22機(jī)一3"

Q

為整數(shù)，且加為正整數(shù)，，優(yōu)=1,2。

2m-3

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有m=2。

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，等差數(shù)冽的性質(zhì)。

【分析】（1）先把已知條件用q及d表示，然后聯(lián)立方程求出q,d代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前〃

項(xiàng)和公式可求。

（2）先把已知化簡(jiǎn)可得殳％a=2m-9+」一，然后結(jié)合數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式可尋求加滿

限2m-3

足的條件。

8.（江蘇2010年16分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛??｝的前n項(xiàng)和為S）,，已知2%=%+%，數(shù)列店）

是公差為d的等差數(shù)列。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式（用〃，△表示）；

(2)設(shè)c為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足加+〃=3左且加的任意正整數(shù)機(jī),“次，不等式S,“+S”〉cSk都成立。

9

求證：c的最大值為

2

【答案】解：(1)由題意知：d>0,卮=店+(〃一1)4=冊(cè)+(〃-1)4

2a2=4+/=>3?2=$3=>3(52-51)=53,3[(^a^+d)~-a^=(y[a^+2d)~,

22

化簡(jiǎn)，得：a｛--d+d=0,=d,al=d

yJ~S^=d+(n—V)d=nd,Sn=rrd~>

當(dāng)2時(shí)，%=s“—S,i=/?d2—(〃—1)2/2=(2〃—1)/2,適合”=1情形。

故所求4=(2"-1)儲(chǔ)。

22

222222222m

(2)Sm+Sn>cSk=>md+nd>c-kd=>m+n>c-k,c<+〃恒成

rnTIKi2.

立。

"廣+"29

又加+”=3左且機(jī)￥n,2(療+“2)>(m+n)2=9k2=>-----——>—,

k2

故cK‘9，即c的最大值為9二。

22

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式。

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知，列出關(guān)于％、d的方程，求出生,從而推出S“，

再利用可與S“的關(guān)系求出％。

(2)利用(1)的結(jié)論，對(duì)S,“+S”>cS尢進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為基本不等式問(wèn)題求解，求出c的最

大值的范圍。

9.(江蘇2011年16分)設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列｛氏｝的首項(xiàng)為=1,前n項(xiàng)和為S.，

已知對(duì)任意整數(shù)上屬于M,當(dāng)">左時(shí)，S"+&+S,』=2(S“+SQ都成立.

(1)設(shè)舊｛1｝,%=2,求生的值；(2)設(shè)后｛3,4｝,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

【答案】解：(1)由題設(shè)知，當(dāng)“22時(shí)，Sn+1+S,i=2(S,+SI即(Sn+1-Sn)-(Sn-S,7)=21,

?,an+\~an~2al—2O

又&=2,...當(dāng)“之2時(shí)，an-a2+2(n-2)=2H-2,%的值為8。

(2)由題設(shè)知，當(dāng)左e"={3,4},

且〃〉上時(shí)，Sn+k+Sn_k=2(S"+SQ且Sn+M+Sn+l_k=2(S"+i+Sk),

兩式相減得an+1+k-an+1_k=2an+1,即an+1+k-an+1=an+l_k-an+l,

.?.當(dāng)—8時(shí),a.6，%,an,an+3,an+6成等差數(shù)列,且an_6,an_2,an+2,an+6也成等差數(shù)

列。

二當(dāng)〃-8時(shí),2an=an+3+an_3=an+6+an_6(*),且an+2+an_2=an+6+an_6。

.,.當(dāng)—8時(shí),2an=an+2+an_2,^an+2-an=an-an_2.

.,.當(dāng)—9時(shí),a.3,%_],an+1,限成等差數(shù)列,從而an+3+j=an+l+an?。

?1?由(*)式知2%=an+l+%,即an+1-an=an-an_x。

???當(dāng)時(shí)，設(shè)d=一?！╰，當(dāng)2W根<8時(shí)，m+6>8,從而由(*)式知

2。冽+6=4機(jī)+am+n

aa2

**?2am+7=m+l+m+13，從而(^?+7-%+6)=。冽+1-+(〃m+13一〃根+12，

〃加+1—〃加—2d—d=do—d,對(duì)任意都nN2成立。

又由Sn+k+s…-2Sn=2SkUe{3,4})可知(SM-SJ-(Sn-Sn_k)=2幾,

7

，9』=253且16〃=254。解得%=]d。

._3,_L

??—afcii—cio

2212

數(shù)列{氏}為等差數(shù)列，由%=1知d=2,所以數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式為%=2〃—1。

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式，數(shù)列與函數(shù)的綜合。

【分析】(1)由集合M的元素只有一個(gè)1,得到左=1,所以當(dāng)“大于1即”大于等于2時(shí)

S田+S」=2⑸+S4),都成立，變形后，利用％=1化簡(jiǎn)，得到當(dāng)〃大于等于2時(shí)，此數(shù)列除去

首項(xiàng)后為一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)第2項(xiàng)的值和確定出的等差寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，因?yàn)?大于2,

所以把九=5代入通項(xiàng)公式即可求出第5項(xiàng)的值；

⑵由S3+S〃Y=2⑸+，)，利用數(shù)列遞推式得到(S〃+&-S〃)—S,一*)=2S一從

而求出d=2,得到數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式。

10.（江蘇2011年附加10分）設(shè)整數(shù)〃24,尸（。乃）是平面直角坐標(biāo)系%Oy中的點(diǎn)，其中

a,bw｛1,2,3,…，〃>a>b.

（1）記4為滿足5=3的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求4；

（2）記紇為滿足g（a-?是整數(shù)的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，求用.

【答案】解：（1）???點(diǎn)尸的坐標(biāo)滿足條件l〈b=a—3W〃—3,A“=〃—3。

（2）設(shè)左為正整數(shù)，記/，（左）為滿足條件以及a-3=3左的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)。只要討論

工,伏）21的情形。

由1<Z?=。一3左<〃一3左，知力（左）=〃一3左，且左V

設(shè)〃-1=3"+廠，其中加￡N*/￡｛0,1,2｝,則上《加,

m(2n—3m—3)

B?=￡于4k)=f(〃-3k)=mn-'嗎+1)

k=lk=TL2

n-l-r（?-l）（n-2）r（r-l）

將m=-------代入上式，化簡(jiǎn)得Bn=----------------------，

366

〃（〃―3）,.是整數(shù)

Bn=<6八3。、。

（〃―1）（〃-2）,不是整數(shù)

163

【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理，數(shù)列遞推式。

【分析】（1）.4〃為滿足a-8=3的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，顯然尸（。力）的坐標(biāo)的差值，與4中元素個(gè)數(shù)有關(guān),

直接寫(xiě)出4的表達(dá)式即可。

（2）設(shè)左為正整數(shù)，記力，（左）為滿足題設(shè)條件以及a—6=3左的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)，討論力（左））1

〃一1

的情形，推出力（幻=”一3左，根據(jù)左的范圍左W亍，說(shuō)明〃-1是3的倍數(shù)和余數(shù)，然后求出紇。

an+b1

11.（2012年江蘇省16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列｛&｝和｛〃｝滿足：an+｝=',

A/+bn

nGN*,

(.1)設(shè)2+1=1+%,neN*,求證：數(shù)列田是等差數(shù)列；

a”[⑷

(2)設(shè)么+]=、/，?%,MN*,且｛?｝是等比數(shù)列，求4和4的值.

b猴+%

【答案】解：（1）???6,+1=1+2,.*5“+]=

d+b,

樂(lè)+1

=l（zzeN*）

b\

.??數(shù)列”是以1為公差的等差數(shù)列。

\an)

???4>0,bn>0,.?.（—/）<。：+片<@+2

V應(yīng)。(*)

設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為q,由4>0知q>0,下面用反.證法證明4=1

n

若q>1,則q二"<。24虎，，當(dāng)〃）logg——時(shí)，an+1=axq>yfl,與

n

若0<q<l,則白二">七>1,，當(dāng)〃>log,時(shí)，an+i=axq<1,與(*)矛盾。

q,色

，綜上所述，4=1。?,?冊(cè)=%(neN*),\<ax<42o

又???么+i=行?%=克?0(〃￡N*),???｛bn｝是公比是變的等比數(shù)列。

冊(cè)ai

若見(jiàn)于近,則^^>1,于是4</?2<0。

%一

2

%+么即可=,得匕fl±fl2g

又由4+1q+4,iiv-i

an+bn?i2+V'”『T

:?如b2,巴中至少有兩項(xiàng)相同，與許vb2Vb3矛盾。，凡二立。

=^2o

：?bn=

%=b2=y[lo

【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。

T7,I/,\2

【解析】⑴根據(jù)題設(shè)%+i=a”和么+i=i+—,求出口=/+組，從而證明

qa：+b：anan+lV\any

/,\2/\2

_生=1而得證。

a

l%+17\nJ

（2）根據(jù)基本不等式得到1〈/+i=%："V垃,用反證法證明等比數(shù).列｛q｝的公比

擊j+必

q=lo

從而得到an=aAneN*）的結(jié)論，再由2口=0?%=正.，知也｝是公比是也的等比數(shù)列。最后

用反證法求出ax=b2=^2o

12、（2013江蘇卷19）19.本小題滿分16分。設(shè)｛〃〃｝是首項(xiàng)為。，公差為d的等差數(shù)列（dw0）,S〃

是其前〃項(xiàng)和。記％=孚」，neN*,其.中c為實(shí)數(shù)。

n+c

（1）若c=0,且%用，印成等比數(shù)列，證明：.S"&=/s&（k,〃eN*）；

（2）若｛々｝是等差數(shù)列，證明：c=0o

13.本小題滿分16分。

設(shè)函數(shù)/(x)=lnx-ox,g(x)=e*-ax,其中a為實(shí)數(shù)。

(1)若/'(X)在(1,+8)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(l,+oo)上有最小值，求。的取值范圍；

(2)若g(x)在(-1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，試求/Xx)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。

19.證明：???{4}是首項(xiàng)為以，公差為d的等差數(shù)列(d/0),S”是其前幾項(xiàng)和

"(〃一1)

?.S=naH-------a

n2

O1

(1)*.*c=0b=--—a+——d

nn2c

箝2

1293

Vbvb2,“成等比數(shù)列b2=b?4(a+—d)=a(a+—d)

**?—ad——0**?—d(ad)-0***d0ci——d：?d=2cl

24222

0n(n-1)7n(n-1).

S=na-\----------a=na-\-----------2a=n2a

n22

二?左邊二S成=(nk)2a=n2k2a右邊二Ms4-〃2k2a

：.左邊二右邊原式成立

(2)???{b〃}是等差數(shù)列.??設(shè)公差為4,???〉=4+(〃—1)4帶入第=等匚得:

n+c

nS]]

+

b]+(72—1)4——2~~~二(4—d)/+(b]—d]—ciH—d)"+cd1九—c(&-)對(duì)nGN恒成

n+c22

d[——d=0

<b>—d、—ci—d=0

2

cd】=0

c(4-4)=0

由①式得：4=gd*.*dw04w0

由③式得：c=0

、工一、十/八什八e/八7cn[(n-l)d+2a].(n-V)d+2a

法一，：證：⑴右則=〃+(〃一

c=0,axl)d,Sn=---------2----------,h〃=--------2--------.

當(dāng)bpb2,b4成等比數(shù)列,及=bh,

即：+