江蘇省金陵中學、海安中學2022-2023學年高三年級上冊10月第二次聯(lián)考數(shù)學試題

金陵中學、海安中學2023屆高三10月第二次聯(lián)考

數(shù)學

2022.10

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.設集合/={—1,1,2,3,6},5={2,5},C={x|l<x<3},則(/口。川5=()

A.{1,2}B.{2,5}C.{1,2,5)D.{1,2,3,5)

2.i為虛數(shù)單位，則3-2i滿足的方程是()

A.x~—6x一13—0B.x"+6x+13=0C.x~+6x—13=0D.

x2-6x+13=0

3.(x—y)(x+y)8的展開式中爐力的系數(shù)為(

A.28B.-28C.56D.—56

4.設。為△ABC所在平面內一點，且滿足CO=38。，貝I()

——3——1————3——1————4——1——

A.AD=-AB——ACB.AD=-AB+-ACC.AD=-AB——ACD.

222233

AD=-AB+-AC

33

5.己知數(shù)列{4},若p：數(shù)列{氏}是等比數(shù)列;q：

(a；+Q；+…+Q；一+Q；+…+a；)=(〃必2+。2。3H-----^~an-ian)2'則P是g的

()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也

不必要條件

2"'0一'<2其中〃/￡火，給出下列四個結論:

6.關于函數(shù)/(x)=<

b-x,x>2

甲：6是該函數(shù)的零點;乙：4是該函數(shù)的零點；

T：方程/(x)=g有兩個不等的實根

丙：該函數(shù)的零點之積為0；

若上述四個結論中有且只有一個結論錯誤，則該錯誤的結論是()

A.甲B.乙C.丙D.T

7.設常數(shù)a使方程sin2x+Gcos2x=a在區(qū)間［0,2句上恰有五個解

5

x,(i=l,2,3,4,5),則()

i=i

7%25?！?3%14萬

A.——B.——C.---D.

363亍

8.設xeR,[x]表示不超過X的最大整數(shù)，若存在實數(shù)t,使得口=1,[r]=2,??

口[=〃同時成立，則正整數(shù)〃的最大值是()

A.4B.5C.6D.7

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

平+x

9.已知函數(shù)/(x)=cos2%-2sin,則()

(2J(2

A./(x)的最大值為3B./(x)的最小正周期為乃

3兀71

C./(X)的圖象關于直線對稱D./(X)在區(qū)間上單調遞減

8T，-8

10.已知實數(shù)a,b,c滿足a〉b>c且abc<0,則下列不等式關系一定正確的是

()

A.—>—B.—+—>2C.ac2>he2D.<721<b2c

abab

11.已知［與5均為單位向量，其夾角為。，則()

A.0<|a+^|<2B,-\<ab<\

C.若卜+?>1,則與)D.若則卜一可>1

12.連接正方體每個面的中心構成一個正八面體.甲隨機選擇此正八面體的三個頂點構成三

角形，乙隨機選擇此正八面體三個面的中心構成三角形，且甲、乙的選擇互不影響，則

()

2

A.甲選擇的三個點構成正三角形的概率為一

5

2

B.甲選擇的三個點構成等腰直角三角形的概率為一

5

C.乙選擇的三個點構成正三角形的概率為,

7

D,甲選擇的三個點構成的三角形與乙選擇的三個點構成的三角形相似的概率為口

35

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(x)=ax2+(x2_2x+2)e、，不論。為何值，曲線y=/(x)均存在一條固

定的切線，則這條切線的方程是.

14.已知函數(shù)/(乃=2X3一2/+6,若存在。，b,使得/(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為一

11且最大值為1,則符合條件的一組a,6的值為.

15.在數(shù)列｛%｝中,%=1,4=2,數(shù)列低｝滿足4=。的+(—1)%“，〃eN*.若

b2n~b2n_x=0,b2ll+l+b2n=,neN*,則數(shù)列｛a,｝的前2022項和為.

22

16.已知橢圓C：二r+二v=乂.〉/?〉。）的右焦點為尸（2,0）,經(jīng)過原點。且斜率

ah

的直線與橢圓C交于4,B兩點,的中點為M,8尸的中點為N.若

OM1ON,則橢圓C的離心率e的取值范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

已知數(shù)列｛4｝是公比為4的等比數(shù)列，前”項和為S“，且滿足％+%=2q+l,

S3—3。2+1-

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

為+「為，〃為奇數(shù)

(2)若數(shù)列｛〃｝滿足bn=3a.求數(shù)列也｝的前2〃項和耳.

，〃為偶數(shù)

.4a：-5a“+l

18.（12分）

在檢測中為減少檢測次數(shù)，我們常采取“”合1檢測法”，即將〃個人的樣本合并檢測，若

為陰性，則該小組所有樣本均未感染病毒；若為陽性，則改需對本組的每個人再做檢測.現(xiàn)

有10k（keN）人,已知其中有2人感染病毒.

（1）若左=5,并采取“10合1檢測法”，求共檢測15次的概率；

（2）設采取“5合1檢測法”的總檢測次數(shù)為X,采取“10合1檢測法”的總檢測次數(shù)

為丫，若僅考慮總檢測次數(shù)的期望值，當人為多少時，采取“10合1檢測法”更適宜？請

說明理由.

19.（12分）

在△ZBC中，內角力，B,。所對的邊分別為a,b,c,D為邊BC上一點,若

ABDB

~AC~~DC'

(1)證明：(i)AD平分NBAC；

(ii)AD?=AB?AC-DB?DC；

(2)若(l+sin5)sinN5/C=cos8(l+cos/5ZC),求的最大值.

c

20.(12分)

在一張紙上有一個圓C：(x+后『+/=4,定點”(后,0),折疊紙片使圓。上某一

點好與點M重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕P0,設折痕尸0與直線

的交點為T.

(1)求證：||7。|一|770||為定值，并求出點T的軌跡C方程；

(2)設/(-1,0),〃為曲線。'上一點，N為圓x2+j?=i上一點(〃，N均不在x

軸上).直線/M,NN的斜率分別記為占，k2,且左2=-(占，求證：直線過定

點，并求出此定點的坐標.

21.(12分)

已知底面/8CZ)為菱形的直四棱柱，被平面NEFG所截幾何體如圖所示，若

TT

AB=DG=2,CF=3,Z.BAD=—.

(1)求點。到平面6尸G的距離；

(2)求銳二面角/一EC—8的余弦值.

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=2xlnx,g(x)=x2+ox-l,awR.

(1)若尸(x)=g(x)-/(X)在[1,+8)存在極小值點，求Q的取值范圍；

(2)若函數(shù)=卜2a有3個零點七,x2,x3(<x2<x3),求證：

(i)x3>y/l+2a；(ii)4>'+2.

%2e—2

金中、海安2023屆高三年級10月第二次聯(lián)考

數(shù)學參考答案

一、單選題

1-5：CDBAA6-8：BCA

8.【答案】A

【解析】=[產(chǎn)]=2=>/"&,6),[z3]=3=>ze[V3,V4),

[/4]=/=>re[V4,V5),[『]=5=/€[痣,浜)(73?1.732,^4?1.587,

痣*1.495,V6?1.431<1,495)

當〃=4時，可以找到.使其在區(qū)間［i,2)n［J5,石)n［孫，孤)n［正，痣)上，

當〃=5時，無法找到/使其在區(qū)間［1,2)n［①⑹n［獨啊n［痣至)n［痣,澗

上，

即正整數(shù)〃的最大值為4,故選A.

二、多選題

9.【答案】BC

【解析】

/(x)=cos2x_2sin(m-jcos(m+x)=cos2x+sin2x=A/^sin(2x+￡

A錯，/(X)max=6，

C對，/")=缶嗚=/，

D錯，一旦4x4工0一工42》+工4工，故函數(shù)單調增.

88242

10.【答案】AC

【解析】由題意得Q>b>0>c或0>Q〉b>c,

acc(11、c(b—a).

A對，_>_=>c----=-------->0,

ah\ab)ah

B錯，c<0時與選項矛盾，

C對，ac2>be2nct>b,

2C62C6

D錯，a=-\9b=-2fc=—3時，^=(-1)->Z?=(-2)-,與選項矛盾.

11.【答案】ABD

【解析】A對，1+q=1+1+2^7-^=2+2cos0G［0,4］,

B對，a-B=cos，e［-1,1］,

C錯，,+=2+2cose>l=cose>-；=6e

D對，ee(/,〃)=>cosew(一l,g)=>卜=2-2cos6e(1,4).

12.【答案】ACD

【解析】甲總有Cl=20種情況，乙總有C；=56種情況.

A對，甲為正三角形則在上下頂點選一且中間四個頂點選二，即8種；

B錯，甲為等腰直角三角形則分三種情況：中間選三個點即4種；上下都選加中間一點,

即4種,上下選一中間選二即4種，共12種；

C對，乙為正三角形即一方(上方或下方)四個中心選一，且另一方選擇兩個相對的中

心，即8種；

D對，相似則都為正三角形或等腰直角三角形，即都為正三角形時由A,C得概率為

都為等腰直角三角形時，乙的情況共有24種，結合B得概率為二一=一，

57355735

即總概率為U.

35

三、填空題

13.【答案】y=2

[解析】f(x)=ax2+(工2-2x+2)ex=>f'(x)=2ax+x2ex

要滿足題意，則取x=0,即切點為(0,2),所以切線方程為y=2.

b=1

14.【答案】\

a=4

【解析】/(x)=2x3—ax2+bn/'(x)=6x2—2ax=2x(3x—4),為簡單，則令:>1,

f/(O)=l仿=1

即讓函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，此時要滿足題意則4；;，解得4

/1=-1。=4

（11°°9

15.【答案】5-1-

af

【解析】由已知得b2n=a2n+l+a2n,%,+]=a2n+2-2n+\所以

b2ll+b2ll+i=%,+2+4“=卷，即前2022項中偶數(shù)項的和為：

外+(%+&)+…+(42020+42022)=2+卷+…+；

又由已知得力,=。2.+|+%“，62,1=%“_%1，所以仿“=&_|=>%,+]=_々,1，即奇

數(shù)項為公比為一1的等比數(shù)列，即々1=(-1丫1,即前2022項中奇數(shù)項和為1;

（]V009

綜上所述，前2022項和為5-].

（歷'

16.【答案】,V3—1

、2.

【解析】設4（2加,2〃）（不妨設〃?〉0,〃〉0）,則/（加+1,〃），同理

N（-m+T,-n）,

OMJ.ON=>OMON=0=>1—m~—=0=>TH2+/?2=1

22

k>>/3=>—>V3=>n>=>n>3m~=1-zw?>37M?=>m<—

m4

477724/?24—4加2

所以由點在橢圓上得F+F=1,結合上述條件可得：-^+―——=1,

a2b2a2a2-4

a2(8-a2a2(8-a2)

化簡得“2=」-----，即0<二-----<-,解得4+2GW/<8,

16164

c2

所以e=±=*e與g.

aa

四、解答題

q+%=2,+1q+qg2=2q+i%=1

17.【解析】（1）《=><即?！?2"T；

S[=3a?+1q(l+g+/)=36q+l

2"T,〃為奇數(shù)

（2）由已知得〃=<

11，〃為偶數(shù)'

,2,,+1-1

所以n"=("+%+…+&-|)+e2+4+…+%)

111111

-------------------+--------------------+■??+--------------------------

23-12,-125-123-122W+1-122W-1-1

4"-41

=---------------F—-------.

322,,+1-1

18.【解析】（1）現(xiàn)共有50人，由題意先平均分為5組，檢測5次，因為共檢測15次，所

以兩個感染者必定分在同一組中，所以共檢測15次的概率有兩種算法，第一種是分組分配

思想，第二種是算一組己經(jīng)有一名感染者的情況下，選中另一名感染者，即兩種算法結果

「8「10「10「10「10

―48?（40*?5（）?

C89

為-10-----[o---------[7-------[7)-------和-，結果均為；

「io.「io.「io.「io.「io「949

^50^40^30^20L]0J9

（2）當感染者在同一組時，X=2左+5,Y=k+W,

此時尸（X）=0f^=」一，p（y）=￡^.=._9

CM10^-1喘j10左-1

當感染者不在同一組時，X=2k+\0,Y=k+20,

49

此時尸（x）=i------,P（Y）=I--------,

10人—110左一1

4+(2左+10)/1———=3。/

所以E(X)=(2k+5)-前工

(10%-1

9+(左+20)/1———32。-品

”)=(左+10).—-—

10^-1(10%-1

由題意E（y）>E（X）=>10左2一10bt+80<0=1<左（9,

答:當1W左W9時，采取10合1檢測法更適宜.

ABDB

19.【解析】(1)(i)在三角形中，由正弦定理得

sinNADBsin/.BAD

ACDC

在三角形48中，由正弦定理得———

sinZ.ADCsinNCAD

因為乙4DB與ZADC互補，所以sinZADB=sinNADC，

由題意得上=上:，所以sin/C4D=sin/A4D,即NC4D=N氏4。，

ACDC

所以〃。平分/切C得證；

(ii)因為NC/O=NA4。，所以cosNCNO=cosN84。，

4B?+心-DB)AC2+AD2-DC2

由余弦定理得

2ABAD2ACAD

化簡得。一/8)=一/8)+DC?AB-DB2AC,

由(i)得AC?DC=AC-DB,

代入上式有：AD2(AC-AB)=ABAC(AC-AB)+DC-AC-DB-DB-AB-DC,

即AD2=AB?AC—DB?DC得證；

(2)由已知得(l+sin8)sin/8/C=cos5(1+cosZ.BAC)

(.B,(B.,5V.ABAC

=>sin—+cos—?2sinZ.BACcosZ.BAC-cos2---sin--2cos-------

<22)V22)2

B

ntan^=\ntan^=tan仔-馬+

21+tai2142)2

2

所以△NBC是直角三角形，即,2=/+〃，

所以土吆=1+—^-<V2,當且僅當a=b時取等，

c儲三a+h

\ba

所以空2的最大值為

C

20.【解析】(1)由題意得17M卜|77%],所以

|阿砌=||7,C|-|?,||=2<2V5=\CM\,

即T的軌跡是以C,M為焦點，實軸長為2的雙曲線，即C'：/-匕=1；

4

(2)由已知得乙用：y=K(x+l),IAN：y=A：2(x+l)，

尸匕(x+1)

2222

聯(lián)立直線方程與雙曲線方程｛,y2=>(4-^)X-2^X-^-4=0,

X----=1

4

_斤2_4"2+4Rk

由韋達定理得xx=1,所以X"=-1―，即y=k、+1)='2―’

AjVf4-A14一41M4一叫

(424

所以〃

14-好'

聯(lián)立直線方程與圓方程W(l+孫0,

22

由韋達定理得k—所1以乙=1-k^+1,即6=左式/+1)=丹7k

1+化21+左21+左2

因為eW=_LeM，即左2=_,占，所以N

Z1*■Z1/KI4116+后)6+%：/

若直線所過定點，則由對稱性得定點在x軸上，設定點T&0),

由三點共線得女MT

8.

即:一片二?—產(chǎn)+占——=>左；+4+(左:-4).=左：一16+(左：+16)/=>/=1,

釗一

—L+,-t

4一后16+左；

所以直線"N過定點7(1,0).

21.【解析】(1)設ZCn8D=。，由已知易得CO=G，BF=岳,GF=亞,

BG=2y[2,

且CO_L面BDG,設點D到平面BFG的距離為d,則VD_BFG=VE_BDG,

即卜￡"G=；C"S△皿，即"=罕—=零=粵；

JJ、4BFGV10，

(2)以。為原點，。4所在直線為x軸，05所在直線為y軸，過。平行于C9的直線為

z軸建立空間直角坐標系，

由已知得/(G,0,0),5(0,1,0),C(-V3,o,o),￡(0,1,1),

即就=126,0,0),CE(73,1,1)，5C=(-V3,-l,0),

[?.JC=0-24=0

設面NEC法向量為7=(a,b,c),則___=>,

n-CE=Q6a+b+c=0

設6=1,則3=(01,—1),

n-BC-0-〃=o

設面BEC法向量為m=(a',b；c'),則｛_____=>

M-CE=0Ga'+b'+c'=0

設6’=1,則加=*4