競賽題（跑道專項）（專項訓練）-2023-2024學年六年級下冊數(shù)學北師大版

2023-2024年度第二學期北師大版六年數(shù)學競賽題（跑道專項題含詳解）學校：__________班級：__________姓名：__________學號：___________一、選擇題1.一條單線鐵路上有5個車站A，B，C，D，E，它們之間的路線如圖所示，兩輛貨車同時從A，E兩站相對開出，從A站開出的每小時行60千米，從E站開出的每小時行50千米，由于單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道，要使對面開來的列車通過，必須在車站停車，才能讓開行車軌道，那么應安排在某個站相遇，才能使停車等候的時間最短，先到這一站的那一列貨車至少需要停車的時間是().A.10分鐘 B.11分鐘 C.12分鐘 D.15分鐘2.戰(zhàn)士小王從地前往地送信，他每走分鐘就休息分鐘，到達地共需小時分，從地原路返回的速度是去時的倍，若他每走分鐘就休息分鐘．從地返回到地共需（

）分鐘．A. B. C. D.3.小張、小王、小李同時從湖邊同一地點出發(fā)，繞湖行走，小張速度是每小時千米，小王速度是每小時千米，他們兩人同方向行走，小李與他們反方向行走，半小時后小張與小李相遇，再過分鐘，小李與小王相遇，那么繞湖一周的行程為（

）千米．A. B. C. D.4.如圖是一個長為米的環(huán)形跑道，其中為跑道對稱軸上的兩點，且之間有一條米長的直線通道．盛盛和東東同時從點處出發(fā)，東東按逆時針方向以速度沿跑道跑步，當跑到點時繼續(xù)沿原跑道前進；盛盛按順時針方向以速度沿跑道跑步，當跑到點處時立即進入直線通道跑回點處．假設兩人跑的時間足夠長，如果:，那么東東跑了幾圈之后，兩人首次在點處相遇？A. B. C. D.二、填空題1.甲、乙兩人在環(huán)形跑道上跑步，他們的速度均保持不變，如果兩人同時同地出發(fā)相背而跑，分鐘后兩人第一次相遇，已知甲跑一周需分鐘，那么乙跑一周需

分鐘.2.一條環(huán)形跑道的長是米，小東和小明在跑道上同一點沿相反方向同時出發(fā)，小東每秒跑米，小明每秒跑米，那么，除第一次出發(fā)以外，分鐘內兩人在途中相遇

次．3.一個充氣的救生圈（如下圖）．大圓半徑是厘米，小圓半徑是厘米．有兩只螞蟻同時從、兩點出發(fā)，以同樣的速度分別沿小圓和大圓爬行．小圓上的螞蟻爬了

圈后，正好與大圓上的螞蟻第一次同時回到各自的起點處．4.一條環(huán)形跑道的長是米，小東和小明在跑道上同一點沿相反方向同時出發(fā)，小東每秒跑米，小明每秒跑米，那么，除第一次出發(fā)以外，兩人在中途相遇了

次后又相遇在原出發(fā)點．5.甲、乙兩人在米的環(huán)形跑道上賽跑，甲每秒跑米，乙每秒跑米，如果甲讓乙先跑秒，則甲出發(fā)后第

秒后，甲、乙兩人第二次相遇．6.如圖，正方形的邊長為，藍精靈和紅精靈在這里玩追逐游戲．藍精靈在點，紅精靈在點，它們倆同時按逆時針方向繞著正方形轉圈，藍精靈的速度為米分鐘，每跑分鐘就休息分鐘，紅精靈的速度為米分鐘，每跑分鐘就休息分鐘．(1)分鐘后藍精靈和紅精靈的距離是

米．(2)經過

分鐘紅精靈追上藍精靈．7.環(huán)湖健身玄武湖環(huán)湖健身步道全長千米，是南京市的一條“網紅健身步道”．一天，軍軍和爸爸同時從同一個起點出發(fā)沿這條環(huán)湖健身步道反向慢跑，經過一段時間兩人相遇．另一天，軍軍和爸爸還從原來的起點出發(fā)，速度也和上次保持一樣，不過這回兩人同向慢跑，爸爸追上軍軍所用時間是上次相遇所用時間的倍．爸爸的速度是軍軍的

倍．8.一條環(huán)形跑道長米，強仔和楊綿綿兩人同時同地反向出發(fā)，第一次相遇時兩人的路程和是

米．9.題圖中，外圓的周長為米，陰影部分是個“逗號”．小明和小強分別從，同時出發(fā)跑步．小明從出發(fā)，按箭頭方向沿“逗號”四周每秒跑米；小強從出發(fā)，按順時針方向沿外圓周每秒跑米．當小強第一次追上小明時，小強共跑了

米．10.如圖，大圈是米跑道，由到的跑道長是米，直線距離是米。父子倆同時從點出發(fā)逆時針方向沿跑道進行長跑鍛煉，兒子跑大圈，父親每跑到點便沿直線跑。父親每米用秒，兒子每米用秒。如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第

圈時，第一次與父親相遇。三、應用題1.甲、乙兩人以勻速繞圓形跑道相向跑步，出發(fā)點在圓直徑的兩端，如果他們同時出發(fā)，并在甲跑完米時第一次相遇，乙跑一圈還差米時兩人第二次相遇，求跑道的長度是多少米？2.小兵和小月一起去操場散步．小兵走一圈要分鐘，小月走一圈要分鐘．如果兩人同時同地出發(fā)，相背而行，多少分鐘后兩人相遇？3.一條環(huán)形跑道長米，小青每分鐘跑米，小蘭每分鐘跑米，兩人同時同地同向出發(fā)，經過多少分鐘兩人相遇？4.如圖，在一個正方形環(huán)形跑道上，甲乙丙三人同時從點出發(fā)，逆時針環(huán)行．已知，甲、乙、丙跑一圈的時間分別為、、分鐘．(1)出發(fā)后多少分鐘后，甲乙丙第一次同時經過點？(2)出發(fā)后多少分鐘（分鐘數(shù)為整數(shù)）后，以甲乙丙所在的位置為頂點所組成三角形的面積第一次恰好為正方形面積的一半？5.某一運動場的米環(huán)型跑道上，小王從點，小李從點同時出發(fā)反向而行，分鐘后小王與小李相遇，再過分鐘，小王到達點，又再過分鐘，小王與小李再次相遇，問小王與小李每分鐘各走多少米？6.在一個米的環(huán)形跑道上，兄弟兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔分鐘相遇一次，若兩個人速度不變，還是在原來出發(fā)點同時出發(fā)，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？7.甲、乙二人在同一條橢圓形跑道上作特殊訓練：他們同時從同一地點出發(fā)，沿反方向跑，每人跑完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙速度是甲速度的，甲跑第二圈時速度比第一圈提高了，乙跑第二圈時速度提高了．已知甲、乙二人第二次相遇點距第一次相遇點米，問：這條橢圓形跑道長多少米？8.甲、乙在橢圓形跑道上訓練，同時從同一地點出發(fā)反向而跑，每人跑完第一圈回到出發(fā)點立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈時速度比第一圈提高，乙跑第二圈時速度比第一圈提高了，已知甲、乙二人相遇點距第一次相遇點米，問這條橢圓形跑道長多少米?9.如圖，長方形跑道中，，為邊的三等分點，在上且，甲、乙兩人從點同時出發(fā)，反向而行，在點相遇；如果甲的速度提高米秒，而乙的速度降低米秒，則兩人在點相遇；如果甲的速度提高米秒，而乙的速度降低米秒，則兩人在點相遇，求甲、乙兩人原來的速度和．10.如下圖所示的三條圓形跑道，每條跑道的長都是千米，、、三位運動員同時從交點出發(fā)，分別沿三條跑道跑步，他們的速度分別是每小時千米，每小時千米，每小時千米．問：從出發(fā)到三人第一次相遇，他們共跑了多少千米？1、【答案】B【解析】安排在D站相遇.A，E總路程兩車速度之和4.5(小時)也就是說4.5小時后會相遇.4.5小時時從E出發(fā)的車還沒有到D站，還差5千米，而從A出發(fā)的車過了D站5千米，所以A出發(fā)的車只能在D站等從E出發(fā)的車經過.A在D站等小時時E車還沒到D站，還差5千米，E車再走5千米到達D站，用時小時，此時等待時間短，即:(分鐘)，所以選B.2、【答案】C【解析】去的過程中一共花了分鐘，說明走路時間一共是分．回來過程中速度為原來的倍，走路的時間則為原來的，即分鐘，即一共走了次，第次走完之后不用休息，則一共花了分鐘．3、【答案】C【解析】圓周上的二次相遇．方法一：如圖，小王和小張的路程差：（千米）小王與小李的速度和：（千米/分）小李的速度：（千米/分）全程：（千米）方法二：設小李每小時行千米，由題意得解得（千米）．4、【答案】C【解析】設東東跑了圈后，兩人首次在點處相遇．再設甲乙兩人的速度分別為，．由題意可得，在處相遇時，他們跑步的時間是，盛盛跑的路程為．因為盛盛跑通道回到處，所以應為的整數(shù)倍，從而得知的最小值應為．所以東東跑了圈（即米）后，兩人首次在點相遇．5、【答案】【解析】看成工程問題，我們設總路程為，速度和為，甲速為，乙速為，乙跑一周用分鐘.6、【答案】【解析】兩人共跑圈米時會相遇一次．（米），（次）（米）．7、【答案】【解析】由于兩只螞蟻的速度相同，所以大、小圓上的螞蟻爬一圈的時間的比應該等于圈長的比．而圈長的比又等于半徑的比，即：．要問兩只螞蟻第一次相遇時小圓上的螞蟻爬了幾圈，就是要找一個最小的時間它是大、小圓上螞蟻各自爬行一圈所需時間的整數(shù)倍．適當?shù)剡x取時間單位，使小圓上的螞蟻爬一圈個單位的時間，而大圓上的螞蟻爬一圈用個單位的時間．這樣一來，問題就化為和的最小公倍數(shù)的問題了．和的最小公倍數(shù)是，（圈）答：小圓上的螞蟻爬了圈后，再次碰到大圓上的螞蟻．8、【答案】【解析】（秒）（每經過秒兩個相遇一次），（米）（每相遇一次小東比小明多跑米），（次）（一共相遇次再次在原點相遇），（次）（中途相遇了次）．9、【答案】【解析】賽跑即兩人同向而行，屬于追及問題，（秒），故甲出發(fā)后第秒后甲、乙兩人第二次相遇．10、【答案】(1)(2)【解析】(1)根據題意，藍精靈每分鐘休息分鐘，，就是分鐘內只休息次，（分鐘）．所以藍精靈跑的距離為（米）．紅精靈每分鐘休息分鐘，，就是分鐘內只休息次，（分鐘）．所以藍精靈跑的距離為（米）．所以藍精靈和紅精靈的距離是（米）．(2)根據題意，藍精靈每跑分鐘就休息分鐘，紅精靈每跑分鐘就休息分鐘，因為藍精靈和紅精靈相隔距離為米，所以紅精靈追上藍精靈時，紅精靈比藍精靈多跑了米.所以紅精靈跑米花費分鐘，米花費分鐘，米花費分鐘，米花費分鐘，米花費分鐘藍精靈跑米花費分鐘，米花費分鐘，米花費分鐘，米花費分鐘，所以在第分鐘時，紅精靈在休息，藍精靈休息結束時，紅精靈剛好追上藍精靈，在點相遇.答：分鐘．11、【答案】【解析】爸爸追上軍軍所用時間是相遇所用時間的倍，那么速度和是速度差的倍，，所以．12、【答案】【解析】13、【答案】【解析】兩人初始相距米，追米需要（秒），此時小明在圓內的弧線上，小強在外圓周上，兩人遇不到．此時，小強需要再追米才能追上．（秒），這時小強能在外圓周追上小明．因此小強一共跑了（米）．14、【答案】3【解析】父親和兒子只能在由沿逆時針方向到這一段跑道上相遇，兒子比父親跑得快，相遇時為兒子追上父親。兒子跑一圈用時，即兒子每過秒到達點一次。同理，父親跑一圈用時，即每過秒到達點一次。在從到逆時針方向的一段跑道上，兒子要跑，父親要跑。因此，只要在父親到達點后的秒之內，兒子也到達點，兒子就能從后面追上父親。①兒子跑完一圈回到點，用時，此時父親已經離開點，所以兒子無法追上父親；②兒子跑完兩圈回到點，用時，此時父親離開點，兒子剛好能追上父親。因為兒子之前已經跑完圈，所以是正在跑第圈時，第一次與父親相遇。15、【答案】．【解析】方法一：到第二次相遇,甲一共跑了米,即跑道長米.方法二：從開始出發(fā)到第一次相遇，兩人合走半圈，其中甲跑了米；從開始出發(fā)到第二次相遇，兩人合走一圈半，路程是第一次相遇時的倍，因此甲跑了（米），相當于半圈多了米，因此半圈的長度為（米），一圈的長度為（米）．方法三：注意分析：①兩人起跑到第一次相遇一共跑了半圈，到第二次相遇又一起跑了一圈，因此“第一次相遇到第二次相遇”的時間是“開始跑到第一次相遇”的時間的二倍．倆人跑的總時間為．②兩人跑的路程：先跑了半圈，后來又跑了圈，共圈；乙跑的路程圈米；則甲跑的路程：圈米．設倆人一起跑了半圈的時間為（即到第一次相遇倆人跑的時間），跑道長為．所以有：甲的速度：乙的速度：方法一：根據前面的分析，利用甲列方程：解得：方法二：同理利用乙列方程，有：解得不用方程的話：（米）．式子的意義：甲跑的總路程(，倆人能夠跑了三個半圈，所以甲跑了個)除去乙少跑的米剩下的剛好為半圈的路程，因此有上式．16、【答案】分鐘．【解析】（分鐘）．答：相背而行，分鐘后兩人相遇．17、【答案】分鐘.【解析】小青每分鐘比小蘭多跑米一圈是米，（分鐘），所以跑分鐘．18、【答案】(1)．(2)．【解析】(1)分鐘．(2)引理：長方形的內接三角形面積不超過此長方形面積的一半，等號成立的條件是三角形某兩個頂點恰在長方形的兩個相鄰頂點處，第三個頂點在長方形的對邊上．證明如下：①若此三角形只有個頂點在長方形頂點上，適當割補圖形，能證明面積必然小于一半；②若此三角形有某兩點在同一條邊上，易見面積不超過一半，且等號成立條件恰如上述條件：③若此三角形的個頂點分屬長方形的三條邊，則可轉化成情形①，面積一定小于一半；④若此三角形某有兩個頂點恰在長方形的兩個對頂點上，而此三角形的第個頂點不在長方形頂點處，也易見面積小于一半；⑤若此三角形某有兩個頂點恰在長方形的兩個相鄰頂點處，則第個頂點若不在對邊上，則面積小于一半；若在對邊上（含頂點處）則面積等于一半；綜合以上幾種情況，引理得證．下面求解原題．根據引理的等號成立條件，可知甲、乙、丙必須有某兩人站在相鄰的頂點處，第三人在對邊上時，才能滿足“三角形面積恰為正方形一半”這個條件．甲、乙、丙的速度比為，下面以甲乙、乙丙、甲丙站在相鄰頂點的時刻來分類討論：尋找甲乙站在相鄰頂點處的時刻：由于甲乙速度比為，故甲跑個邊長時，乙必然跑了個邊長，兩人之間的路程差距是個邊長，但，故知甲站在頂點處時，乙要么站在頂點處，要么和甲站在同一位置，故知不可能有甲乙站在相鄰頂點處的時刻．尋找乙丙站在相鄰頂點處的時刻：由于乙丙速度比為，故乙跑個邊長時，丙必然跑了個邊長，兩人之間的路程差距是個邊長，解同余方程，得，，，當乙跑個邊長在點，丙跑個邊長在點時，甲跑了個邊長在上，不符引理要求；當乙跑個邊長在點，丙跑個邊長在點時，甲跑了個邊長在點上，不符引理要求；當乙跑個邊長在點，丙跑個邊長在點時，甲跑了個邊長在上，符合引理要求，用時（分鐘）．尋找甲丙站在相鄰頂點處的時刻：由于甲丙速度比為，故甲跑個邊長時，丙必然跑了個邊長，兩人之間的路程差距是個邊長，解同余方程，得，，，當甲跑個邊長在點，丙跑個邊長在點時，乙跑了個邊長在上，不符引理要求；當甲跑個邊長在點，丙跑個邊長在點時，乙跑了個邊長在上，符合引理要求，用時（分鐘）．綜上，由于，故第一次符合條件的時刻是在分鐘之后．19、【答案】小王：米/分

小李：米/分【解析】根據題意：小王與小李的速度比是，設小王的速度是米/分，小李的速度是米/分，根據題意可得方程：，解得，所以小王的速度是：（米/分），小李的速度是：（米/分）．答：小王的速度是米/分，小李的速度