專題02平方根重難點題型專訓（9大題型15道拓展培優(yōu)題）（原卷版）

專題02平方根重難點題型專訓（9大題型+15道拓展培優(yōu)題）【題型目錄】題型一平方根與算術平方根概念理解題型二求一個數的算術平方根題型三利用算術平方根的非負性解題題型四求算術平方根的整數部分與小數部分題型五與算術平方根有關的規(guī)律探索題題型六求一個數的平方根題型七已知一個數的平方根，求這個數題型八利用平方根解方程題型九平方根的應用【知識梳理】知識點一：平方根、算術平方根1.（1）定義：如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根．2.求一個數a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數a的正的平方根表示為“a”，負的平方根表示為“﹣a”．正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作a．零的算術平方根仍舊是零．3.算術平方根正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“”。正數和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零?！窘浀淅}一平方根與算術平方根概念理解】【例1】（2023秋·安徽蕪湖·八年級?？奸_學考試）下列說法正確的是（）A．是的平方根 B．是的平方根C．的平方根是 D．的平方根是【變式訓練】1．（2023春·河北邢臺·七年級校考期中）若2023的兩個平方根是和，則的值是（

）A．0 B．2023 C． D．40462．（2022秋·浙江·七年級期中）若x是最大的負整數，y是最小的正整數，z是平方根等于本身的數，則的值是．3．（2023秋·山西臨汾·八年級統考期末）閱讀與理解閱讀學習過程，完成“步驟二”中的填空和“步驟三”的求值．我們在華東師大版八年級上冊，學習了平方根的意義和兩個乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一節(jié)課的探究學習片斷：步驟一：再探公式，猜想規(guī)律，，．發(fā)現這兩個公式中包含了兩數和、兩數差、兩數積、兩數平方和、兩數平方差，在這五個數量中，是否存在“知二求三”的一般性規(guī)律呢？步驟二：推導變形，得出公式由可得，．由也可得______，______．綜合這兩個公式還可得出：______，______．進一步綜合變形推導可得：或（依據是______）或，同理可得：求的公式為______．步驟三：遷移運用，提升能力若，，請運用“步驟二”中推導出的變形公式，求，，的值．【經典例題二求一個數的算術平方根】【例2】（2023春·江蘇淮安·八年級統考期末）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022上·廣東河源·八年級統考期中）已知，那么下列結論正確的是（）A． B．C． D．2．（2023下·山西呂梁·七年級?？计谥校┤襞c的和是單項式，則的算術平方根是．3．（2024上·湖南衡陽·七年級校考期末）已知的平方根為，且的平方根為，求的算術平方根．【經典例題三利用算術平方根的非負性解題】【例3】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級?？茧A段練習）關于代數式的說法正確的是（

）A．時最大 B．時最小C．時最大 D．時最小【變式訓練】1．（2023上·陜西西安·七年級統考期末）已知，滿足，則的值是（）A． B． C． D．2、（2023上·湖南株洲·八年級校聯考期末）若實數，滿足，則．3．（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習）已知：，求：的平方根．【經典例題四求算術平方根的整數部分與小數部分】【例4】（2022春·山東日照·七年級校考期末）關于“”，下面說法不正確的是（）A．它是數軸上離原點個單位長度的點表示的數B．它是一個無理數C．若a<<a+1，則整數a為3D．它表示面積為10的正方形的邊長【變式訓練】1．（2023上·遼寧遼陽·八年級階段練習）已知m是的整數部分，n是的小數部分，則的值是（）A． B． C． D．2．（2023上·安徽宿州·八年級統考期末）已知m是的整數部分，n是的小數部分，則m2﹣n2=．3．（2022下·甘肅隴南·七年級?？茧A段練習）閱讀下面的文字，解答問題：大家都知道是無理數，而且，即，無理數是無限不循環(huán)小數，因此的小數部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理，因為的整數部分是，將這個數減去其整數部分，差就是小數部分．又例如：①∵，即，∴的整數部分為，小數部分為．②∵，即，∴的整數部分為，小數部分為．請解答：如果的小數部分為，的整數部分為，求的值；【經典例題五與算術平方根有關的規(guī)律探究題】【例5】（2021秋·廣東茂名·八年級校聯考期中）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數陣，按圖中數陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個數是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2022下·貴州遵義·七年級統考期末）如下表，被開方數a和它的算術平方根的小數點位置移動符合一定的規(guī)律，根據規(guī)律可得m，n的值分別為（

）a0.06250.6256.2562.56256250625006250000.250.791mn2579.1250791A．， B．， C．， D．，2．（2023下·北京豐臺·七年級北京豐臺二中?？计谥校祵W解密：若第一個式子是，第二個式子是，第三個式子是，…，觀察以上規(guī)律并猜想第五個式子是．3．（2023下·廣西南寧·七年級南寧市天桃實驗學校?？计谀╅喿x下面材料，解答問題：【問題情境】數學活動課上，老師帶領同學們開展“運用規(guī)律求一個正數的算術平方根”的實踐活動．【實踐探究】同學們利用計算器計算出下表中的算術平方根，整理數據如下：………0.250.7912.57.912579.1250…(1)根據上述探究，可以得到被開方數和它的算術平方根之間小數點的變化規(guī)律是：若被開方數的小數點向右或向左移動___________位，則它的算術平方根的小數點就相應地向右或向左移動___________位；(2)已知，請運用、上述規(guī)律直接寫出各式的值：___________，___________．(3)你能根據的值說出的值是多少嗎？請說明理由．【經典例題六求一個數的平方根】【例6】（2023春·浙江杭州·七年級校聯考階段練習）已知，則的平方根是（

）A．2 B． C． D．【變式訓練】1．（2024上·遼寧遼陽·七年級統考期末）若，，且，則（

）A．1或7 B．或 C．或7 D．1或2．（2023下·湖南長沙·七年級統考期末）若，則的平方根是．3．（2023上·遼寧丹東·八年級統考期中）已知實數，滿足，求的平方根．【經典例題七已知一個數的平方根，求這個數】【例7】（2023春·山西大同·七年級大同市第三中學校?？计谀┤绻粋€正數的平方根是a+3及2a﹣15，那么這個正數是(

)A．441 B．49 C．7或21 D．49或441【變式訓練】1．（2021上·四川樂山·八年級統考期末）已知與是一個正數的平方根，則這個正數的值是（

）A．1或9 B．3 C．1 D．812．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學?？茧A段練習）若一個正數a的兩個平方根分別是和，那么a等于．3．（2023上·浙江杭州·七年級?？计谥校┙獯鹣铝袉栴}：(1)已知a，b互為倒數，c是最小的正整數，d是絕對值最小的數，，求的值；(2)已知的平方根是，的算術平方根是4，求的平方根．【經典例題八利用平方根解方程】【例8】（2023春·江蘇南京·七年級校聯考期中）若，，則的值是（

）A．0 B．4 C．0或4 D．2或4【變式訓練】1．（2023下·重慶永川·八年級統考期末）若，則的值是（）A．0 B．2 C．3 D．2或32．（2023上·甘肅平涼·九年級校考階段練習）在實數范圍內定義一種運算“※”：※，按照這個規(guī)則，的結果剛好為0，則x的值為．3．（2023下·福建福州·七年級?？计谥校┮阎龑崝祒的兩個平方根是m和．(1)當時，求m；(2)若，求x的值．【經典例題九平方根的應用】【例9】（2023秋·河南三門峽·八年級統考期末）如圖是用4個相同的長方形與1個正方形鑲嵌而成的正方形圖案．已知該圖案的總面積為m，小正方形的面積為n．若用x、y表示長方形的兩邊長（），請觀察圖案，指出下列關系式：①、②、③、④若，則．這四個結論中正確的有（

）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）交通事故統計發(fā)現，每年的汽車追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是剎車距離把握不當，研究發(fā)現，在柏油路面上，剎車距離s與車速v的關系式是s＝（其中），當剎車距離增加一倍時，車速增加（

）．A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍2．（2023春·浙江·七年級期末）如圖，正方形ABCD和正方形EFGH分別由兩張相同的長方形紙片無縫拼接而成，現將其擺放在桌面上，如圖所示，重合部分為甲、乙、丙，其中乙為正方形，記甲、丙的面積分別為，，若，且桌面被所有紙片覆蓋區(qū)域的面積為，則乙的面積為．3．（2023春·廣西南寧·七年級南寧二中?？计谀┚C合與實踐【問題發(fā)現】如圖1，把兩個面積都為的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼成一個大正方形，則該大正方形的邊長為cm．【知識遷移】若一個圓與一個正方形的面積都是，設這個圓的周長為，這個正方形的周長為，則（填“＝”或“”或“”）．【拓展延伸】李明想用一塊面積為的正方形紙片（如圖2所示），沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長寬之比為．李明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請說明理由．【重難點訓練】1．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）已知，則的平方根是（

）A． B． C． D．2．（2023上·四川達州·八年級?？计谥校┫铝懈魇剑孩伲?，③，④，⑤，⑥，其中表示一個數的算術平方根的是（

）A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤3．（2023下·浙江嘉興·七年級統考期末）如圖，在一個正方形的內部放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形的面積為11，較小的正方形的面積為4，中間重疊部分的面積為1，則圖中三角形的面積為（

）A．11 B．10 C．6 D．54．（2023下·湖北黃石·七年級統考階段練習）設，，，…，，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023下·河北邢臺·七年級?？计谀┤鐖D1，一個邊長為5的正方形被分割成四個完全相同的直角三角形和一個陰影小正方形（無縫隙、不重疊），現將這四個直角三角形分別沿著正方形的四條邊向外翻折，翻折后得到圖2所示的大正方形．對于結論I和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）結論I：若陰影小正方形的邊長為2，則大正方形的邊長為；結論Ⅱ：若大正方形的邊長為正整數，則陰影小正方形的邊長是A．I和Ⅱ都對 B．I和Ⅱ都不對 C．I不對Ⅱ對 D．I對Ⅱ不對6．（2024上·甘肅酒泉·八年級統考期末）若x，y為實數，且，則=.7．（2023上·河南南陽·九年級統考階段練習）實數，在數軸上的位置如圖所示，化簡：．8．（2023上·浙江麗水·七年級統考期中）如圖1，一個邊長為6的正方形被分割成四個完全相同的直角三角形和一個陰影小正方形（無縫隙、不重疊），現將這四個直角三角形分別沿著正方形四條邊向外翻折，翻折后得到圖2所示的大正方形．（1）若陰影小正方形的邊長為1，則圖2中大正方形的面積為．（2）若圖2中大正方形的邊長為正整數，則陰影小正方形的邊長為．9．（2023上·浙江溫州·七年級校考期中）中國古代有一種求算數平方根的方法，稱為開方術，該方法的原理是利用二項式定理，對根式逐位估值．假設N為被開方數，a為首根，b為次根，若將根記為，則．以為例：（1）分節(jié)定位：以小數點為基準，每兩位分一節(jié)得7，89，61；（2）估首根a：考慮被開方數的首節(jié)7，由于，故首根為2，由于，故繼續(xù)開方；（3）估次根b：考慮余數的第一、二節(jié)389，考慮，嘗試估出次根；（4）重復如上操作．則的算術平方根為．10．（2023上·北京石景山·八年級?？计谥校┬∶饔糜嬎闫髑罅艘恍┱龜档钠椒?，記錄如下表.下面有四個推斷：①②一定有個整數的算術平方根在之間③對于小于的兩個正數，若它們的差等于，則它們的平方的差小于④比大所有合理推斷的序號是.11．（2023下·七年級課時練習）已知正數x的平方根是m和m＋b．(1)當b＝8時，求m的值；(2)若，求x的值．12．（2021下·浙江臺州·七年級統考期末）我們知道，負數沒有算術平方根，但對于三個互不相等的負整數，若兩兩乘積的算術平方根都是整數，則稱這三個數為“完美組合數”，例如：，，這三個數，，，，其結果6，3，2都是整數，所以，，這三個數稱為“完美組合數”．(1)，，這三個數是“完美組合數”嗎？請說明理由，(2)若三個數，m，是“完美組合數”，其中有兩個數乘積的算術平方根為12．求m的值．13．（2023上·浙江衢州·七年級校聯考期中）設x，y都表示有理數，定義一種新運算“”；當時，；當時，．(1)請根據這種新運算定義計算：________，________．(2)若實數a，b滿足．①請直接寫出a，b的值．②求的值．14．（2023上·安徽宿州·八年級校考階段練習）歸納與探究：(1)計算：_______