微積分（第三版）課件：函數(shù)

線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分一、實(shí)數(shù)集二、實(shí)數(shù)的絕對值三、區(qū)間與鄰域預(yù)備知識函數(shù)3一、實(shí)數(shù)集整數(shù)集

無理數(shù)

這種無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).有理數(shù)集有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)集記為R.4正無理數(shù)負(fù)無理數(shù)

(無限不循環(huán)小數(shù))正有理數(shù)零負(fù)有理數(shù)實(shí)數(shù)有理數(shù)無理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

實(shí)數(shù)的全體充滿了整個(gè)數(shù)軸，即實(shí)數(shù)不但是稠密的，而且是連續(xù)的.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)形成了一一對應(yīng)的關(guān)系.實(shí)數(shù)系統(tǒng)可表示為：5二、實(shí)數(shù)的絕對值|x|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離.實(shí)數(shù)x的絕對值，記為|x|，它是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù).即|x|=實(shí)數(shù)的絕對值的性質(zhì)：(1)對于任意的，有.

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，才有|x|=0.6(5)設(shè)，則|x|<a

的充要條件是–a<x<a.(6)設(shè)

，則的充要條件是.(7)設(shè)，則|x|>a的充要條件是x<–a或者x>a.(8)設(shè)，則的充要條件是或者.(2)對于任意，有|–x|=|x|.(3)對于任意，有.(4)對于任意，有.7關(guān)于四則運(yùn)算的絕對值，有以下的結(jié)論:對任意的，恒有8三、區(qū)間與鄰域1.區(qū)間：區(qū)間包括四種有限區(qū)間和五種無限區(qū)間，它們的名稱、記號和定義如下9表示分別以為左、右端點(diǎn)的開區(qū)間，區(qū)間長度為.

2.鄰域

稱實(shí)數(shù)集為點(diǎn)a的鄰域，記作a稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑.由鄰域的定義知在中去掉中心點(diǎn)a得到的實(shí)數(shù)集稱為點(diǎn)a的去心鄰域，記作.10線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)第三節(jié)初等函數(shù)第四節(jié)函數(shù)模型一、函數(shù)的概念二、具有特性的幾類函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念函數(shù)

變量：如果一個(gè)量在某個(gè)過程中是變化的,即可以取不同的數(shù)值,則稱這種量為變量.變量通常用x,y,t,表示．常量：如果一個(gè)量在某過程中保持不變,總?cè)⊥恢?則稱這種量為常量.常量通常用a,b,c，表示.

例變速運(yùn)動(dòng)物體的速度、某地區(qū)的溫度、某產(chǎn)品的產(chǎn)量和成本等均為變量．一、函數(shù)的概念第一節(jié)函數(shù)的概念

變量與變量之間的依賴關(guān)系是微積分研究的主要問題．先看下面的例子.

例自由落體運(yùn)動(dòng).設(shè)物體下落的時(shí)間為t,下落的距離為s，假定開始下落的時(shí)刻為t=0，那么s與t之間的依賴關(guān)系式為:其中g(shù)是重力加速度，假定物體著地時(shí)刻為t=T，那么當(dāng)時(shí)間t在閉區(qū)間[0,T]上任取一值時(shí)，由上式就可以確定相應(yīng)的s值.1.函數(shù)的概念

例設(shè)有半徑為的圓,考慮內(nèi)接與圓的正邊形的周長.可得內(nèi)接正邊形的周長與邊數(shù)之間的依賴關(guān)系式為:當(dāng)邊數(shù)在3,4,5,等自然數(shù)中取任意一個(gè)確定值時(shí),由上式都有周長的已相應(yīng)值對應(yīng).

上述例子都表達(dá)了兩個(gè)之間的依賴關(guān)系,這種依賴關(guān)系確定了一種對應(yīng)法則,這種這種對應(yīng)法則所反映的關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系.

定義1

設(shè)D是實(shí)數(shù)集上的一個(gè)非空子集，如果有D到R上的一個(gè)映射（對應(yīng)規(guī)則）f，使得對于每個(gè)，通過映射f都有惟一確定的數(shù)與之對應(yīng)，則稱f為定義在D上的函數(shù)，x稱為f的自變量，y

稱為因變量，函數(shù)記作其中稱D為函數(shù)的定義域，記作D（f），D中的每一個(gè)根據(jù)映射f對應(yīng)于一個(gè)y，記作y=f(x)，稱為函數(shù)f在x的函數(shù)值，全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,對于任意的,通過函數(shù)y=f(x)都可確定一個(gè)點(diǎn)M(x,y),當(dāng)x取遍定義域D中的所有值時(shí)，點(diǎn)M(x,y)描出的圖形稱為函數(shù)y=f(x)的圖形.一個(gè)函數(shù)的圖形通常是一條曲線.因此,又稱函數(shù)y=f(x)的圖形為曲線y=f(x).xxyyy=f(x)

2.函數(shù)的兩個(gè)要素

(1)函數(shù)的定義域函數(shù)定義域的確定就是確定使得函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．對于實(shí)際問題的定義域，通常由實(shí)際問題的性質(zhì)而定.例求函數(shù)的定義域.所以函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.解要使函數(shù)y有定義，應(yīng)滿足

例

已知存款的月利率為k%，現(xiàn)存入銀行a元本金，按復(fù)利計(jì)算，記第n個(gè)月后的存款余額為C（n）則它給出了存款余額與存款時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.其定義域?yàn)?/p>

(2)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系例解

兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是其定義域、對應(yīng)規(guī)則分別相同.若函數(shù)和則

例

說明函數(shù)與是否相同?

解

函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)樗?，函?shù)與不相同.3.函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法通常有表格法,圖象法,公式法三種.

(1)表格法自變量x與因變量y的一些對應(yīng)值用表格列出，這樣函數(shù)關(guān)系就用表格法來表示出來.如對數(shù)表和三角函數(shù)表等都是用表格法來表示函數(shù)的.

例某地區(qū)8天的最高氣溫可以由下面表格表示.

此表格反映溫度與日期之間的對應(yīng)關(guān)系.

(2)圖象法用函數(shù)y=f(x)的圖形直觀地表達(dá)自變量x與因變量y之間的關(guān)系的方法為圖象法.例某河道的斷面圖形如圖所示.此圖形反映了河道深度y與岸邊到測量點(diǎn)的距離x之間的函數(shù)關(guān)系.

這里河道深度y與岸邊到測量點(diǎn)的距離x之間的函數(shù)關(guān)系是用圖形表示的.其定義域?yàn)閰^(qū)間[0,b].xyy=f(x)

(3)公式法用數(shù)學(xué)公式表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)的公式表示法.

例設(shè)半徑為x的圓的面積為S,則面積S與半徑x之間的函數(shù)關(guān)系可由公式表示.函數(shù)的定義域?yàn)槔?/p>

f(x)的定義域是[-1,1].其對應(yīng)關(guān)系為

用兩個(gè)或兩個(gè)以上的公式來表示一個(gè)函數(shù),這類函數(shù)稱為分段函數(shù)

.分段函數(shù)是公式法表達(dá)函數(shù)的一種方式.在理論分析和實(shí)際應(yīng)用方面都是很有用的.需要注意的是,分段函數(shù)是用幾個(gè)公式合起來表示一個(gè)函數(shù),而不是表示幾個(gè)函數(shù).

用公式法來表示一個(gè)函數(shù),通常表達(dá)為y=f(x)的形式稱為顯函數(shù);有時(shí)可以用方程F(x,y)=0來表達(dá)稱為隱函數(shù);有時(shí)也可用參數(shù)方程來表達(dá).

例半徑為r的上半圓其方程分別可以由下述形式表達(dá).顯函數(shù)形式隱函數(shù)形式參數(shù)方程形式1.函數(shù)的有界性三、函數(shù)的特性定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,數(shù)集，如果存在正數(shù)M,使得對于任意的,都有不等式成立,則稱f(x)在X上有界,如果這樣的M不存在,就稱函數(shù)f(x)在X上無界.

注:如果M為f(x)的一個(gè)界,易知比M大的任何一個(gè)正數(shù)都是f(x)的界.如果f(x)在X上無界,那么對于任意給定的正數(shù)M,X中總有相應(yīng)的點(diǎn),使

有界函數(shù)圖象特征:當(dāng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有界時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖形恰好位于直線y=M和y=–Ｍ之間.

例函數(shù)f(x)=sinx在內(nèi)有界.這是因?yàn)閷τ谌我獾亩加?Ｍ=1)成立.函數(shù)y=sinx的圖形位于直線y=1與y=–1之間.注:

函數(shù)的有界性與自變量的變化范圍Ｘ相關(guān).2.函數(shù)的單調(diào)性

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義.如果對于任意的,當(dāng)時(shí),均有成立,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上單調(diào)增加

(或單調(diào)減少).如果對于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)，當(dāng)均有則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少).嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向上升的；嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向下降的；單調(diào)函數(shù)圖形特征:xxyy例函數(shù)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加.

例函數(shù)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的，在區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)增加的,而在區(qū)間內(nèi)則不是單調(diào)函數(shù).xyxy

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間I上有定義.如果對于任意的,均有成立.則稱f(x)為偶函數(shù).偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱.3.函數(shù)的奇偶性

如果對任意的,均有成立,則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱.例討論下列函數(shù)的奇偶性:解

若T是周期函數(shù)f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期(k=1,2,3),通常周期函數(shù)的周期是指其最小周期.4.函數(shù)的周期性

定義設(shè)函數(shù)y=f(x),如果存在正常數(shù)

T,使得對于定義域內(nèi)的任何x均有f(x+T)=f(x)成立，則稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，T為f(x)的周期.例函數(shù)y=sinx及y=cosx都是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)y=tanx及y=cotx都是以為周期的周期函數(shù).例函數(shù)的周期為函數(shù)第二節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)二、復(fù)合函數(shù)37第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)閃,如果對每一個(gè),都有確定的且滿足的使得與之對應(yīng),其對應(yīng)法則記為.這個(gè)定義在W上的函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù).或稱其為互為反函數(shù).反函數(shù)的定義域?yàn)閃值域?yàn)镈.習(xí)慣上將改寫為38函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是變量x與y互換,所以它們的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的.

例設(shè)函數(shù)y=2x–3，求它的反函數(shù).解39二、復(fù)合函數(shù)

定義設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u)，,而u是x的函數(shù)并且的值域包含f(u)的定義域,即,則y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù),稱此函數(shù)是由y=f(u)及復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作并稱x為自變量,稱u為中間變量.變量之間關(guān)系為因變量中間變量自變量40所以可以復(fù)合,復(fù)合函數(shù)為的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)樗允箍梢詮?fù)合,應(yīng)滿足其復(fù)合函數(shù)為例求下列函數(shù)的復(fù)合函數(shù)解

(1)由于的定義域?yàn)?/p>

(2)由于的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)橹涤驗(yàn)?1例下列函數(shù)是由哪幾個(gè)函數(shù)復(fù)合而成.解所討論的復(fù)合函數(shù)由下列函數(shù)復(fù)合而成復(fù)合函數(shù)的復(fù)合與分解關(guān)系函數(shù)復(fù)合函數(shù)分解函數(shù)由里到外函數(shù)由外到里42例解函數(shù)第三節(jié)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)二、初等函數(shù)44一、基本初等函數(shù)(一)常函數(shù)y=C(C為常數(shù))常函數(shù)的定義域?yàn)?無論x取何值，y都取值常數(shù)C.第三節(jié)初等函數(shù)常函數(shù)的圖象為平行于x軸且與x軸間距為C的水平直線.y=C45(二)冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨的不同而不同.46指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)a>1時(shí)，它嚴(yán)格單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時(shí)，它嚴(yán)格單調(diào)減少.對于任何的a,的值域都是，函數(shù)的圖形都過(0,1)點(diǎn).在高等數(shù)學(xué)中，常用到以e為底的指數(shù)函數(shù)這里e=2.7182818，是一個(gè)無理數(shù).47對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),它的定義域?yàn)?當(dāng)a>1時(shí),它嚴(yán)格單調(diào)增加;當(dāng)0<a<1時(shí),它嚴(yán)格單調(diào)減少.對于任何限定的a，的值域都是,函數(shù)的圖形都過(1,0)點(diǎn).在微積分中,常用到以e為底的對數(shù)函數(shù)(記作lnx),lnx稱為自然對數(shù).48(五)三角函數(shù)正弦函數(shù)

y=sinx;余弦函數(shù)y=cosx;y=sinx與y=cosx

的定義域均為，它們都是以為周期的函數(shù),都是有界函數(shù).sinx

是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù).49正切函數(shù)y=tanx;余切函數(shù)y=cotx;50(六)反三角函數(shù)反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)51二、初等函數(shù)定義由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算經(jīng)過有限次復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)

.函數(shù)第四節(jié)函數(shù)模型一、實(shí)際問題函數(shù)模型舉例二、幾種常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)模型53

第四節(jié)函數(shù)模型函數(shù)模型是一種反應(yīng)變量之間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型．它是一種最基本的數(shù)學(xué)模型形式.

一、實(shí)際問題函數(shù)模型舉例函數(shù)模型通常可以通過解析式進(jìn)行表示，用解析式表示實(shí)際問題的過程是：

(1)分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示；

(2)根據(jù)所給條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)、物理等知識規(guī)律確定等量關(guān)系；

(3)具體寫出解析式，并指明定義域．54

例欲建一個(gè)容積為V的長方體游泳池，它的底面為正方形，如果所用材料單位面積的造價(jià)池底是池壁的3倍，試將總造價(jià)表示為底面邊長的函數(shù).

解設(shè)底面邊長為x，總造價(jià)為P

，池壁單位面積的造價(jià)為a

，底面單位面積造價(jià)為3a，則游泳池的高為，側(cè)面積為，故總造價(jià)函數(shù)模型為55例某運(yùn)輸公司規(guī)定貨物的噸公里運(yùn)價(jià)為:在a公里以內(nèi)每公里k元;超過a公里,超出部分每公里為0.8k元,秋運(yùn)價(jià)P與里程s之間的函數(shù)關(guān)系.解根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系為這里運(yùn)價(jià)與里程之間的函數(shù)關(guān)系為分段函數(shù).定義域?yàn)?6

例指數(shù)函數(shù)模型是實(shí)際問題中廣泛應(yīng)用的一類模型，很多自然現(xiàn)象可以通過指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行描述.

（1）衰減記憶模型假設(shè)t周后你能記住所學(xué)知識的百分比是P（t），則其中Q是難以忘記的百分比，k是一個(gè)常數(shù)，它依賴于所要記憶的知識.

（2）赫爾學(xué)習(xí)模型一個(gè)打字員學(xué)習(xí)打字，t周后每分鐘打的英語單詞數(shù)W的函數(shù)模型為57二、幾種常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)模型

1．需求函數(shù)與供給函數(shù)設(shè)商品的需求量與供給量分別用Q和S表示，商品價(jià)格為p，若忽略市場其它因素的影響，只考慮反映該商品的價(jià)格因素，則Q和S分別為p的函數(shù)，即有（價(jià)格取非負(fù)值），稱為需求函數(shù).（價(jià)格取非負(fù)值），稱為供給函數(shù).通常需求函數(shù)是價(jià)格的單調(diào)減少函數(shù)，商品供給函數(shù)是商品價(jià)格的單調(diào)增加函數(shù).5