中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《全等三角形》專項(xiàng)測試卷(附答案)

第第頁中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《全等三角形》專項(xiàng)測試卷(附答案)（考試時(shí)間：90分鐘；試卷滿分：100分）學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1.熟悉全等三角形?？?種模型2.掌握全等三角形性質(zhì)，并運(yùn)用全等三角形性質(zhì)解答?？键c(diǎn)1：全等三角形的概念及性質(zhì)概念兩個(gè)能完全重合的三角形叫做全等三角形．性質(zhì)1.兩全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．2.全等三角形的對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)角的平分線相等．3.全等三角形的周長、面積相等．考點(diǎn)2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一組邊共線或部分重合，另兩組邊分別平行，常要在移動(dòng)的方向上加（減）公共線段，構(gòu)造線段相等，或利用平行線性質(zhì)找到對應(yīng)角相等.模型示例模型二：軸對稱模型模型分析:所給圖形可沿某一直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)，解題時(shí)要注意隱含條件，即公共邊或公共角相等.模型三：旋轉(zhuǎn)型模型解讀：將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形．旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形存在兩種情況：①無重疊：兩個(gè)三角形有公共頂點(diǎn)，無重疊部分，一般有一對隱含的等角②有重疊：兩個(gè)三角形含有一部分公共角，運(yùn)用角的和差可得到等角.模型四：一線三垂直型模型解讀：一線：經(jīng)過直角頂點(diǎn)的直線；三垂直：直角兩邊互相垂直，過直角的兩邊向直線作垂直，利用“同角的余角相等”轉(zhuǎn)化找等角【題型1：平移型】【典例1】（2023?廣州）如圖，B是AD的中點(diǎn)，BC∥DE，BC＝DE．求證：∠C＝∠E．1．（2022?淮安）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、F在一條直線上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求證：∠B＝∠E．2．（2022?柳州）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個(gè)條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）請?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）（只需選一個(gè)條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．【題型2：對稱型】【典例2】（2023?福建）如圖，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求證：AB＝CD．1．（2023?長沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長．2．（2022?西藏）如圖，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求證：△ABD≌△ACD．【題型3：旋轉(zhuǎn)型】【典例3】（2023?大連）如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長線與DE相交于點(diǎn)F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．1．（2023?樂山）如圖，已知AB與CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，AO＝BO，求證：AC＝BD．2．（2023?瀘州）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求證：AD＝EB．3．（2023?西藏）如圖，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求證：∠1＝∠2．【題型4：一線三等角】【典例4】（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)E．求證：CE＝AB．1．（2021?南充）如圖，∠BAC＝90°，AD是∠BAC內(nèi)部一條射線，若AB＝AC，BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F．求證：AF＝BE．一．選擇題（共8小題）1．下列各組圖案中，不是全等形的是（）A． B． C． D．2．已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠1等于（）A．50° B．58° C．60° D．72°3．如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)E在AB邊上，∠B＝70°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°4．如圖，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，則CD的長度為（）A．10 B．6 C．4 D．25．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列選項(xiàng)中的條件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF6．如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如圖，BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，若BE＝CF，則Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA8．如圖所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于點(diǎn)E，若∠B＝28°，則∠AEC＝（）A．28° B．59° C．60° D．62°二．填空題（共4小題）9．如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，那么∠1的度數(shù)為．10．已知：如圖，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一個(gè)條件就可以判斷△ABC≌△BAD．11．請仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意圖．請你根據(jù)所學(xué)的三角形全等的有關(guān)知識，說明畫出∠A'O'B'＝∠AOB的依據(jù)是．12．如圖，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于點(diǎn)E，BC＝13cm，CD＝7cm，則BE＝．三．解答題（共4小題）13．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大?。?4．如圖，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的長．15．如圖，點(diǎn)A，B，C在一條直線上，△ABD、△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點(diǎn)M，P，CD交BE于點(diǎn)Q．（1）求證：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度數(shù)．16．如圖，AC＝DC，E為AB上一點(diǎn)，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求證：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度數(shù)．一．選擇題（共7小題）1．如圖，任意畫一個(gè)∠A＝60°的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD，BE和CD相交于點(diǎn)P，連接AP，有以下結(jié)論：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正確的個(gè)數(shù)是（）個(gè)．A．5 B．4 C．3 D．22．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD為△ABC的角平分線．BE與CD相交于點(diǎn)F，F(xiàn)G平分∠BFC，有下列四個(gè)結(jié)論：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CEF．其中正確的是（）A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④3．如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF，下列結(jié)論：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中結(jié)論正確的序號是（）A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤4．如圖，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE與AC相交于點(diǎn)M，與CF相交于點(diǎn)D，AB與CF相交于點(diǎn)N，∠EAC＝∠FAB．有下列結(jié)論：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6 B．8 C．10 D．126．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，B，C，D三點(diǎn)在一條直線上，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC、BE相交于點(diǎn)M，AD、CE相交于點(diǎn)N，則下列四個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．47．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于D，DE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，現(xiàn)有下列結(jié)論：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠EDF；④若AE＝3，則AB+AC＝6．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．填空題（共5小題）8．如圖，以△ABC的每一條邊為邊，在邊AB的同側(cè)作三個(gè)正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知這三個(gè)正三角形構(gòu)成的圖形中，甲、乙陰影部分的面積和等于丙、丁陰影部分的面積和．則∠FCE＝°．9．如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣8，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是．10．如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，則下列結(jié)論中，正確的是（填序號）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．11．如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等邊三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四邊形AOCP，其中正確的是．（填序號）12．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，E、F在射線AC與射線CB上運(yùn)動(dòng)，且滿足AE＝CF，則在運(yùn)動(dòng)過程中△DEF面積的最小值為．三．解答題（共4小題）13．如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．（1）如圖1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求證：AD＝BE；（2）如圖2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF為△DCE中DE邊上的高，試猜想AE，CF，BE之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．14．如圖所示，等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求證：AP＝AQ；（2）試判斷△APQ是什么形狀的三角形？并說明你的理由．15．（1）【模型啟迪】如圖1，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，連接AD并延長至點(diǎn)H，使DH＝AD，連接BH，則AC與BH的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為．（2）【模型探索】如圖2，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，連接AD，E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，且BF＝AC．求證：AE＝EF．16．如圖1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于點(diǎn)M，連接CM．（1）求證：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；（3）當(dāng)α＝90°時(shí)，取AD，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．1．（2023?甘孜州）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，只添加一個(gè)條件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023?北京）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，連接DE．設(shè)AB＝a，BC＝b，DE＝c，給出下面三個(gè)結(jié)論：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2022?黑龍江）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，請你添加一個(gè)條件，使△AOB≌△COD．4．（2023?成都）如圖，已知△ABC≌△DEF，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)依次在同一條直線上．若BC＝8，CE＝5，則CF的長為．5．（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD．過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為3．6．（2023?南通）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，則AD+BC的最小值是．7．（2023?淮安）已知：如圖，點(diǎn)D為線段BC上一點(diǎn)，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求證：DE＝BC．8．（2023?吉林）如圖，點(diǎn)C在線段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求證：AC＝DC．9．（2022?蘭州）如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大?。?0．（2022?安順）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC邊上的一點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°時(shí)，求BD的長．參考答案與解析1.熟悉全等三角形常考5種模型2.掌握全等三角形性質(zhì)，并運(yùn)用全等三角形性質(zhì)解答?？键c(diǎn)1：全等三角形的概念及性質(zhì)概念兩個(gè)能完全重合的三角形叫做全等三角形．性質(zhì)1.兩全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．2.全等三角形的對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)邊上的中線相等，對應(yīng)角的平分線相等．3.全等三角形的周長、面積相等．考點(diǎn)2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一組邊共線或部分重合，另兩組邊分別平行，常要在移動(dòng)的方向上加（減）公共線段，構(gòu)造線段相等，或利用平行線性質(zhì)找到對應(yīng)角相等.模型示例模型二：軸對稱模型模型分析:所給圖形可沿某一直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點(diǎn)就是全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)，解題時(shí)要注意隱含條件，即公共邊或公共角相等.模型三：旋轉(zhuǎn)型模型解讀：將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形．旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形存在兩種情況：①無重疊：兩個(gè)三角形有公共頂點(diǎn)，無重疊部分，一般有一對隱含的等角②有重疊：兩個(gè)三角形含有一部分公共角，運(yùn)用角的和差可得到等角.模型四：一線三垂直型模型解讀：一線：經(jīng)過直角頂點(diǎn)的直線；三垂直：直角兩邊互相垂直，過直角的兩邊向直線作垂直，利用“同角的余角相等”轉(zhuǎn)化找等角【題型1：平移型】【典例1】（2023?廣州）如圖，B是AD的中點(diǎn)，BC∥DE，BC＝DE．求證：∠C＝∠E．【答案】證明見解析．【解答】證明：∵B是AD的中點(diǎn)∴AB＝BD∵BC∥DE∴∠ABC＝∠D在△ABC和△BDE中∴△ABC≌△BDE（SAS）∴∠C＝∠E．1．（2022?淮安）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、F在一條直線上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求證：∠B＝∠E．【答案】見解析．【解答】證明：∵AD＝CF∴AD+CD＝CF+CD∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）∴∠B＝∠E2．（2022?柳州）如圖，點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個(gè)條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）請?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）①（只需選一個(gè)條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．【答案】（1）①，SSS；（答案不唯一）．（2）證明過程見解答．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）∴在上述三個(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF選取的條件為①，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS．故答案為：①，SSS；（答案不唯一）．（2）證明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF∴AB∥DE【題型2：對稱型】【典例2】（2023?福建）如圖，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求證：AB＝CD．【答案】見解析．【解答】證明：∵∠AOD＝∠COB∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD即∠AOB＝∠COD．在△AOB和△COD中∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB＝CD．1．（2023?長沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長．【答案】（1）見解答；（2）4．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠AEB＝∠ADC＝90°在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△ACD∴AD＝AE＝6在Rt△ACD中，AC＝＝＝10∵AB＝AC＝10∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．2．（2022?西藏）如圖，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求證：△ABD≌△ACD．【答案】見解析．【解答】證明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SAS）．【題型3：旋轉(zhuǎn)型】【典例3】（2023?大連）如圖，AC＝AE，BC＝DE，BC的延長線與DE相交于點(diǎn)F，∠ACF+∠AED＝180°．求證：AB＝AD．【答案】見解答．【解答】證明：∵∠ACF+∠AED＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°∴∠ACB＝∠AED在△ABC和△ADE中∴△ABC≌△ADE（SAS）∴AB＝AD．1．（2023?樂山）如圖，已知AB與CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，AO＝BO，求證：AC＝BD．【答案】見解答過程．【解答】證明：∵AC∥BD∴∠A＝∠B，∠C＝∠D在△AOC和△BOD中∴△AOC≌△BOD（AAS）∴AC＝BD．2．（2023?瀘州）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求證：AD＝EB．【答案】見解答．【解答】證明：∵BD∥CE∴∠ABD＝∠C在△ABD和△ECB中∴△ABD≌△ECB（SAS）∴AD＝EB3．（2023?西藏）如圖，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求證：∠1＝∠2．【答案】見解析．【解答】證明：在△ABC和△DEC中∴△ABC≌△DEC（SSS）∴∠ACB＝∠DCE∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE∴∠1＝∠2．【題型4：一線三等角】【典例4】（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)E．求證：CE＝AB．【答案】證明過程見解答．【解答】證明：∵DC⊥AC于點(diǎn)C∴∠ACB+∠DCB＝90°∵∠ABC＝90°∴∠ACB+∠A＝90°∴∠A＝∠DCE∵DE⊥BC于點(diǎn)E∴∠E＝90°∴∠B＝∠E．在△ABC和△CED中∴△ABC≌△CED（AAS）．∴AB＝CE．1．（2021?南充）如圖，∠BAC＝90°，AD是∠BAC內(nèi)部一條射線，若AB＝AC，BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F．求證：AF＝BE．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：∵∠BAC＝90°∴∠BAE+∠FAC＝90°∵BE⊥AD，CF⊥AD∴∠BEA＝∠AFC＝90°∴∠BAE+∠EBA＝90°∴∠EBA＝∠FAC在△ACF和△BAE中∴△ACF≌△BAE（AAS）∴AF＝BE．一．選擇題（共8小題）1．下列各組圖案中，不是全等形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、兩圖形全等，不合題意；B、兩圖形全等，不合題意；C、兩圖形全等，不合題意；D、兩圖形不全等，符合題意；故選：D．2．已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠1等于（）A．50° B．58° C．60° D．72°【答案】B【解答】解：∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°故選：B．3．如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)E在AB邊上，∠B＝70°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△DEC∴BC＝CE，∠DCE＝∠ACB∴∠CEB＝∠B＝70°∴∠ECB＝180°﹣∠CEB﹣∠B＝40°∵∠ACD+∠ACE＝∠ECB+∠ACE∴∠ACD＝∠ECB＝40°．故選：B．4．如圖，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，則CD的長度為（）A．10 B．6 C．4 D．2【答案】D【解答】解：∵△ABD≌△ACE∴AB＝AC＝6，AE＝AD＝4∴CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2故選：D．5．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列選項(xiàng)中的條件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF【答案】D【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，AB＝DE∴當(dāng)添加條件AC＝DF時(shí)，△ABC≌△DEF（SAS），故選項(xiàng)A不符合題意；當(dāng)添加條件∠B＝∠E時(shí)，△ABC≌△DEF（ASA），故選項(xiàng)B不符合題意；當(dāng)添加條件∠ACB＝∠DFE時(shí)，△ABC≌△DEF（AAS），故選項(xiàng)C不符合題意；當(dāng)添加條件BC＝EF時(shí)，△ABC≌△DEF（HL），故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．6．如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠A為公共角A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD；B、如添BE＝CD，因?yàn)镾SA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項(xiàng)不能作為添加的條件；C、如添BD＝CE，等量關(guān)系可得AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；D、如添AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD．故選：B．7．如圖，BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，若BE＝CF，則Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA【答案】B【解答】證明：∵BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F∴∠BEC＝∠BFC＝90°在Rt△BCF和Rt△CBE中∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL）∴Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是HL．故選：B．8．如圖所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于點(diǎn)E，若∠B＝28°，則∠AEC＝（）A．28° B．59° C．60° D．62°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于點(diǎn)E，且AE＝AE∴△CAE≌△DAE（HL）∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故選：B．二．填空題（共4小題）9．如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長，那么∠1的度數(shù)為70°．【答案】70°．【解答】解：如圖根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°因?yàn)閮蓚€(gè)全等三角形所以∠1＝∠2＝70°故答案為：70°．10．已知：如圖，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一個(gè)條件AC＝BD（答案不唯一）就可以判斷△ABC≌△BAD．【答案】AC＝BD（答案不唯一）．【解答】解：添加AC＝BD（答案不唯一）．理由：∵∠C＝∠D＝90°∴△ACB和△BDA都是直角三角形在Rt△ABC和Rt△BAD中∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）故答案為：AC＝BD（答案不唯一）．11．請仔細(xì)觀察用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意圖．請你根據(jù)所學(xué)的三角形全等的有關(guān)知識，說明畫出∠A'O'B'＝∠AOB的依據(jù)是SSS．【答案】SSS．【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′在△COD與△C′O′D′中∴△COD≌△C'O'D'（SSS）∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的對應(yīng)角相等）．故答案為：SSS．12．如圖，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于點(diǎn)E，BC＝13cm，CD＝7cm，則BE＝3cm．【答案】3cm．【解答】解：過A點(diǎn)作AF⊥CD于F，如圖∵AC平分∠BCD，AE⊥BC于點(diǎn)E∴AE＝AF，EC＝CF∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°∴∠B＝∠ADF在△ABE與△ADF中∴△ABE≌△ADF（AAS）∴BE＝DF∵BC＝13cm，CD＝7cm∴BC＝BE+EC＝BE+CF＝BE+CD+DF＝2BE+CD即13＝7+2BE解得：BE＝3cm故答案為：3cm．三．解答題（共4小題）13．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大?。敬鸢浮恳娫囶}解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵BE＝CF∴BE+EC＝CF+EC∴BC＝EF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠D＝45°∴∠A＝∠D＝45°，∠B＝∠DEF∴AB∥DE∴∠EGC＝∠A＝45°．14．如圖，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的長．【答案】2.5．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝45°∴∠BAC＝∠CBA＝45°∴AC＝BC∵AD⊥CE，BE⊥CE∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠DAC+∠ACD＝90°∵∠BCE+∠DCA＝90°∴∠BCE＝∠DAC在△ACD和△CBE中∴△ACD≌△CBE（AAS）∴CD＝BE，AD＝CE∵BE＝0.8，DE＝1.7∴CD＝0.8∴CE＝CD+DE＝0.8+1.7＝2.5∴AD＝CE＝2.5．15．如圖，點(diǎn)A，B，C在一條直線上，△ABD、△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點(diǎn)M，P，CD交BE于點(diǎn)Q．（1）求證：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度數(shù)．【答案】（1）證明見解答過程；（2）∠DMA＝60°．【解答】（1）證明：∵△ABD、△BCE為等邊三角形∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°在△ABE和△DBC中∴△ABE≌△DBC（SAS）（2）解：由（1）知△ABE≌△DBC∴∠BAE＝∠BDC∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°．16．如圖，AC＝DC，E為AB上一點(diǎn)，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求證：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：∵∠1＝∠2∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE即∠DCE＝∠ACB在△ABC和△DEC中∴△ABC≌△DEC（SAS）；（2）解：∵EC＝BC，∠B＝75°∴∠CEB＝∠B＝75°∵△ABC≌△DEC∴∠B＝∠DEC＝75°∵∠3+∠DEC+∠CEB＝180°∴∠3＝30°．一．選擇題（共7小題）1．如圖，任意畫一個(gè)∠A＝60°的△ABC，再分別作△ABC的兩條角平分線BE和CD，BE和CD相交于點(diǎn)P，連接AP，有以下結(jié)論：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正確的個(gè)數(shù)是（）個(gè)．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解答】解：∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∠BAC＝60°∴∠PBC+∠PCB＝×（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣60°）＝60°∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°故①正確；∵∠BPC＝120°∴∠DPE＝120°過點(diǎn)P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，PF＝PG＝PH∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線∴AP是∠BAC的平分線故②正確；若AP＝PC，則∠PAC＝∠PCA，則BAC＝BCA＝60°，則△ABC為等邊三角形這與題干任意畫一個(gè)∠BAC＝60°的△ABC不符故③錯(cuò)誤．∵∠BAC＝60°∠AFP＝∠AGP＝90°∴∠FPG＝120°∴∠DPF＝∠EPG，在△PFD與△PGE中∴△PFD≌△PGE（ASA）∴PD＝PE在Rt△BHP與Rt△BFP中∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL）同理，Rt△CHP≌Rt△CGP∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE兩式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE∵DF＝EG∴BC＝BD+CE故④正確；∵AP是角平分線∴P到AB、AC的距離相等∴S△ABP：S△ACP＝AB：AC故⑤正確．故選：B．2．如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD為△ABC的角平分線．BE與CD相交于點(diǎn)F，F(xiàn)G平分∠BFC，有下列四個(gè)結(jié)論：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CEF．其中正確的是（）A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝60°，BE、CD為三角形ABC的角平分線∴∠EBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB＝×（180°﹣∠BAC）＝60°∴∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝120°故①正確，符合題意；在△BDF和△CEF中∠BFD＝∠CFE＝60°，但沒有相等的邊∴△BDF和△CEF不一定全等∴BD≠CE，故②錯(cuò)誤，不符合題意；∵∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝60°，∠BFC＝120°∵FG平分∠BFC∴∠BFG＝∠BFC＝60°＝∠DFB在△BDF和△BGF中∴△BDF≌△BGF（ASA）∴BD＝BG同理可得，△CEF≌△CGF∴CE＝CG∴BC＝BG+CG＝BD+CE故③正確，符合題意；若BE⊥AC∴∠ABE＝30°∴∠ABC＝60°∴△ABC是等邊三角形∴CD⊥AB∴BD＝AB＝AC＝CE在△BDF和△CEF中∴△BDF≌△CEF（ASA）故④正確，符合題意；∴正確的結(jié)論是①③④故選：C．3．如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF，下列結(jié)論：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中結(jié)論正確的序號是（）A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤【答案】D【解答】解：∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE∵△ABC和△ADE都是等腰三角形∴AB＝AC，AD＝AE在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD＝CE，∠AEF＝∠ADF，故①②符合題意；設(shè)BD與AC交于點(diǎn)G∵△BAD≌△CAE∴∠ABF＝∠ACF∵∠ABF+∠BGA＝90°，∠BGA＝∠CGF∴∠ACF+∠CGF＝90°∴∠CFG＝90°，即BD⊥CE，故③符合題意；分別過A作AM⊥BD，AN⊥CE垂足分別為M、N∵△BAD≌△CAE∴AM＝AN∴FA平分∠BFE∴∠BFA＝∠EFA若AF平分∠CAD∴∠CAF＝∠DAF∴∠BAF＝∠EAF，而FA＝FA∴△BAF≌△EAF∴AB＝AE，與題干條件互相矛盾，故④不符合題意；∵FA平分∠BFE，BF⊥CF∴∠AFE＝45°，故⑤符合題意．綜上，正確的是①②③⑤故選：D．4．如圖，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE與AC相交于點(diǎn)M，與CF相交于點(diǎn)D，AB與CF相交于點(diǎn)N，∠EAC＝∠FAB．有下列結(jié)論：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：∵∠EAC＝∠FAB∴∠EAC+∠BAC＝∠FAB+∠BAC即∠EAB＝∠CAF在△ABE和△ACF∴△ABE≌△ACF（AAS）∴∠B＝∠C，AC＝AB，AE＝AF故①正確；∵∠E＝90°∴AB＞BE∴AC＞BE故③錯(cuò)誤；如圖，連接AD在Rt△ADE和Rt△ADF中∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴∠DAE＝∠DAF∵ED⊥AE，F(xiàn)D⊥AF∴ED＝FD故②正確；在△ACN和△ABM∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正確）；綜上所述，正確的結(jié)論是①②④，共有3個(gè)．故選：C．5．在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解答】解：由正方形的性質(zhì)可知，AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°∴∠BAC＝∠EBD在△ACB和△BDE中∴△ACB≌△BDE（AAS）∴BC＝ED在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2∴S1+S2＝1同理可得，S2+S3＝2，S3+S4＝3∴S1+2S2+2S3+S4＝1+2+3＝6故選：A．6．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，B，C，D三點(diǎn)在一條直線上，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC、BE相交于點(diǎn)M，AD、CE相交于點(diǎn)N，則下列四個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠ACE＝60°∴∠ACD＝∠BCE＝120°在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE；①正確；②∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△ACN和△BCM中∴△ACN≌△BCM（ASA）∴∠BMC＝∠ANC，②正確；∵∠CAD＝∠CBE，∠AMO＝∠BMC由三角形內(nèi)角和定理得：∠APM＝∠ACB＝60°，③正確；∵∠APB＝∠ACB＝60°∴A、B、C、P四點(diǎn)共圓∴∠BPC＝∠BAC＝60°∴∠CPD＝120°﹣60°＝60°∴CP平分∠MPN，沒有條件得出CP平分∠MCN，④錯(cuò)誤；正確的有3個(gè)故選：C．7．如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線MD相交于D，DE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，現(xiàn)有下列結(jié)論：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠EDF；④若AE＝3，則AB+AC＝6．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解答】解：如圖所示：連接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴ED＝DF．∴①正確．②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠FAD＝30°．∵DE⊥AB∴∠AED＝90°．∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°∴ED＝AD．同理：DF＝AD．∴DE+DF＝AD．∴②正確．③由題意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．假設(shè)MD平分∠EDF，則∠ADM＝30°．則∠EDM＝60°又∵∠E＝∠BMD＝90°∴∠EBM＝120°．∴∠ABC＝60°．∵∠ABC是否等于60°不知道∴不能判定MD平分∠EDF故③錯(cuò)誤．④∵DM是BC的垂直平分線∴DB＝DC．在Rt△BED和Rt△CFD中∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴BE＝FC∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC又∵AE＝AF，BE＝FC∴AB+AC＝2AE∵AE＝3∴AB+AC＝6∴④正確．故選：C．二．填空題（共5小題）8．如圖，以△ABC的每一條邊為邊，在邊AB的同側(cè)作三個(gè)正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知這三個(gè)正三角形構(gòu)成的圖形中，甲、乙陰影部分的面積和等于丙、丁陰影部分的面積和．則∠FCE＝150°．【答案】150．【解答】解：過點(diǎn)D作DM⊥AB∵甲、乙陰影部分的面積和等于丙、丁陰影部分的面積和∴S甲+S乙＝S丙+S丁，則S甲+S乙+S空白＝S丙+S丁+S空白∴S△ACF+S△BCE＝S△ABD∵△ABD、△BCE和△ACF為等邊三角形，DM⊥AB∴∠BAD＝∠ACF＝∠BCE＝60°，AD＝AB，則△ABD中AB邊上的高為：∴＝同理可得：，∴．從而AC2+BC2＝AB2．所以∠ACB＝90°，∠FCE＝360°﹣（90°+60°+60°）＝150°．故答案為：150．9．如圖，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣8，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，6）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：過A和B分別作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E∵∠ACB＝90°∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°∴∠CAD＝∠BCE在△ADC和△CEB中∵∴△ADC≌△CEB（AAS）∴DC＝BE，AD＝CE∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣8，3）∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝8∴CD＝OD﹣OC＝6，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1∴BE＝6∴則B點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，6）故答案為（1，6）10．如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，則下列結(jié)論中，正確的是①②④（填序號）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．【答案】①②④．【解答】解：過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，如圖所示：∵AB⊥BC，AE平分∠BAD∴BE＝EF在Rt△AEF和Rt△AEB中∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)∴BE＝CE∴EF＝EC∵DC⊥BC∴∠C＝90°在Rt△EFD和Rt△ECD中∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL）∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，∠FED＝∠CED故②符合題意；∴AD＝AF+FD＝AB+DC故④符合題意；∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝×180°＝90°故①符合題意∵DE≠CE∴DE≠BE故③不符合題意綜上所述，正確的有①②④故答案為：①②④．11．如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等邊三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四邊形AOCP，其中正確的是①②③④．（填序號）【答案】①②③④．【解答】解：如圖1，連接OB∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC∴OB＝OC＝OP∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正確；∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°∴∠APC+∠DCP＝150°∵∠APO+∠DCO＝30°∴∠OPC+∠OCP＝120°∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°∵OP＝OC∴△OPC是等邊三角形，故②正確；如圖2，在AC上截取AE＝PA，連接PE∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°∴△APE是等邊三角形∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA∴∠APO+∠OPE＝60°∵∠OPE+∠EPC＝∠CPO＝60°∴∠APO＝∠EPC∵OP＝CP在△OPA和△CPE中∴△OPA≌△CPE（SAS）∴AO＝CE∴AC＝AE+CE＝AO+AP，故③正確；如圖3，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H∵∠PAC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC∴CH＝CD∴S△ABC＝AB?CHS四邊形AOCP＝S△ACP+S△AOC＝AP?CH+OA?CD＝AP?CH+OA?CH＝CH?（AP+OA）＝CH?AC∴S△ABC＝S四邊形AOCP，故④正確．故答案為：①②③④．12．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，E、F在射線AC與射線CB上運(yùn)動(dòng)，且滿足AE＝CF，則在運(yùn)動(dòng)過程中△DEF面積的最小值為2．【答案】2．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)∴∠A＝∠CBA＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD⊥AB，且CD＝AD＝BD在△AED和△CFD中∴△AED≌△CFD（SAS）∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF∵∠ADE+∠CDE＝90°∴∠CDF+∠CDE＝90°，即：∠EDF＝90°∴△DEF為等腰直角三角形當(dāng)DE⊥AC時(shí)，DE最短，△DEF的面積最小此時(shí)，故答案為：2．三．解答題（共4小題）13．如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．（1）如圖1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求證：AD＝BE；（2）如圖2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF為△DCE中DE邊上的高，試猜想AE，CF，BE之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）AE＝BE+2CF．理由見解析．【解答】（1）證明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB∠DCE＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．∵△ACB，△DCE都是等腰三角形∴AC＝BC，DC＝EC．在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE．（2）解：AE＝BE+2CF．理由如下：∵△DCE是等腰直角三角形∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵CF⊥DE∴∠CFD＝90°∴△CDF和△CEF都是等腰直角三角形．∴DF＝EF＝CF．由（1）可知AD＝BE∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．14．如圖所示，等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求證：AP＝AQ；（2）試判斷△APQ是什么形狀的三角形？并說明你的理由．【答案】（1）證明見解析；（2）△APQ是等邊三角形，理由見解析過程．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形∴AB＝AC在△ABP和△ACQ中∴△ABP≌△ACQ（SAS）∴AP＝AQ．（2）解：△APQ是等邊三角形，理由如下：由（1）知：△ABP≌△ACQ∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ∴∠BAP+∠CAP＝∠CAQ+∠CAP，即∠BAC＝∠PAQ∵△ABC是等邊三角形∴∠BAC＝60°∴∠PAQ＝60°∵AP＝AQ∴△APQ是等邊三角形．15．（1）【模型啟迪】如圖1，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，連接AD并延長至點(diǎn)H，使DH＝AD，連接BH，則AC與BH的數(shù)量關(guān)系為AC＝BH，位置關(guān)系為AC∥BH．（2）【模型探索】如圖2，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，連接AD，E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，且BF＝AC．求證：AE＝EF．【答案】（1）AC＝BH，AC∥BH；（2）證明見解析．【解答】（1）解：∵D為BC邊的中點(diǎn)∴BD＝CD在△ACD和△HBD中∴△ACD≌△HBD（SAS）∴AC＝BH，∠C＝∠HBD∴AC∥BH故答案為：AC＝BH，AC∥BH；（2）證明：如圖2，延長AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG∵D為BC邊的中點(diǎn)∴BD＝CD在△ACD和△GBD中∴△ACD≌△GBD（SAS）∴AC＝BG，∠CAD＝∠BGD∵BF＝AC∴BG＝BF∴∠BGD＝∠BFG＝∠AFE∴∠AFE＝∠CAD即∠AFE＝∠EAF∴AE＝EF．16．如圖1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于點(diǎn)M，連接CM．（1）求證：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；（3）當(dāng)α＝90°時(shí)，取AD，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖1，∵∠ACB＝∠DCE＝α∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS）∴BE＝AD；（2）如圖1，∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；（3）△CPQ為等腰直角三角形．證明：如圖2，由（1）可得，BE＝AD∵AD，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q∴AP＝BQ∵△ACD≌△BCE∴∠CAP＝∠CBQ在△ACP和△BCQ中∴△ACP≌△BCQ（SAS）∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ又∵∠ACP+∠PCB＝90°∴∠BCQ+∠PCB＝90°∴∠PCQ＝90°∴△CPQ為等腰直角三角形．1．（2023?甘孜州）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)O，AC∥BD，只添加一個(gè)條件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD【答案】B【解答】解：A、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)符合題意；C、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；D、不能證明△AOC≌△BOD，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．2．（2023?北京）如圖，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，連接DE．設(shè)AB＝a，BC＝b，DE＝c，給出下面三個(gè)結(jié)論：①a+b＜c；②a+b＞