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《弧度及正方形面積》練習題(含答案)弧度及正方形面積練習題問題1一條電纜的長度為100米，安裝在兩座遠距離的山頂上，兩端與水平面的夾角分別為$20^{\circ}$和$50^{\circ}$，求電纜的高度差。解：電纜的形狀可以看作是一條弧線，弦長為100米，因此我們需要求出該弧線對應圓的半徑，從而計算出弧線的長度和高度差。設圓的半徑為$r$，則弧線的長度為$r\theta$，其中$\theta$為圓心角對應的弧度值。將兩個夾角轉(zhuǎn)換為弧度，有$20^{\circ}=\frac{\pi}{9}$和$50^{\circ}=\frac{5\pi}{18}$。根據(jù)余弦定理，我們有：$$r^2=100^2+100^2-2\cdot100\cdot100\cdot\cos\frac{5\pi}{18}$$解得$r\approx118.4$。因此，弧線的長度為$118.4\times(\frac{5\pi}{18}-\frac{\pi}{9})\approx92.54$。電纜的高度差為$118.4\cos20^{\circ}-118.4\cos50^{\circ}\approx64.8$。答案：高度差約為64.8米。問題2一塊正方形的面積為4平方米，它的一個頂點的坐標為$(0,0)$?，F(xiàn)在將這個正方形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)$30^{\circ}$，求旋轉(zhuǎn)后相鄰兩個頂點的坐標。解：首先，將原來的正方形按照$45^{\circ}$的角度旋轉(zhuǎn)，使得每個頂點的坐標為整數(shù)（取$\sqrt{2}$的近似值）：A(0,0)B(1,1)+-----------------+||||||||||+-----------------+C(-1,1)D(0,2)接著，將正方形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)$30^{\circ}$，將每個頂點的坐標旋轉(zhuǎn)對應的角度，得到：$$\begin{aligned}A'&\approx(0,0)\\B'&\approx(-0.23,1.15)\\C'&\approx(-1.35,0.93)\\D'&\approx(-1.12,-0.23)\end{aligned

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