第9講 立體幾何與空間向量章節(jié)總結(jié)講（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（新教材新高考）

第09講立體幾何與空間向量章節(jié)

總結(jié)（精講）

第一部分：典型例題講解

題型一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法

角度1:用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系

角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系

題型二：空間角的向量求法

角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線(xiàn)所成角

角度2：用向量法求異面直線(xiàn)所成角

角度3：用向量法解決線(xiàn)面角的問(wèn)題（定值+探索性問(wèn)題（最值，求

參數(shù)））

角度4：用向量法解決二面角的問(wèn)題（定值+探索性問(wèn)題（最值，求

參數(shù)））

題型三：距離問(wèn)題

角度1：點(diǎn)P到直線(xiàn)/的距離

角度2：點(diǎn)P到平面a的距離（等體積法）

角度3：點(diǎn)P到平面a的距離（向量法）

題型四：立體幾何折疊問(wèn)題

第二部分：高考真題感悟

第一部分：典型例題剖析

題型一：空間位置關(guān)系證明的傳統(tǒng)法與向量法

角度1:用傳統(tǒng)法證明空間的平行和垂直關(guān)系

典型例題

例題1.（2022?四川成都?高一期末（文））如圖，四邊形ABC。為長(zhǎng)方形，PD=AB=2,

4）=4,點(diǎn)￡、E分別為A。、PC的中點(diǎn).設(shè)平面PDC平面PBE=l.

⑴證明：DF〃平面PBE;

（2）證明：DF//1.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析:

（1）取尸8中點(diǎn)G,連接尸G,EG,

因?yàn)辄c(diǎn)&F分別為A。、尸C的中點(diǎn)，

所以FG〃CB,FG=-BC,

2

因?yàn)樗倪呅蜛8CO為長(zhǎng)方形，所以3C〃A￡>,且BC=AD,

所以O(shè)E〃尸G,DE=FG,所以四邊形OEGF為平行四邊形，

所以DF//GE因?yàn)镺F<z平面PBE,HEu平面PBE,DFH平面PBE；

⑵由（1）知DF7/平面PBE,又DFu平面P0C,平面PDC。平面PBE=/,

所以.

例題2.（2022?遼寧葫蘆島?高一期末）如圖，在四面體A8CO中，CB=CD,AB±BD,

點(diǎn)M是AO的中點(diǎn)，N&BD,且直線(xiàn)MN〃面43c.

⑴直線(xiàn)MN//直線(xiàn)AB；

⑵平面CMN丄平面ABD.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵證明見(jiàn)解析

(1)直線(xiàn)MN〃平面45C,MNcABD,平面4ac平面ABC=AB,

.-.MN//AB.

(2)'MN//AB,M是A。的中點(diǎn)，

是8。的中點(diǎn).

又CB=CD,

：.CNLBD,

又AB丄BD，MN//AB,

:.MN1BD,

又MN，BD,CN丄BD,CNcMN=N,CN,MNu平面CNM,

.?.8。丄平面CMW,

又3￡>u平面ABD,

平面CMN丄平面A8/)

例題3.(2022?福建?廈門(mén)市湖濱中學(xué)高一期中)如圖，在正方體ABCO-AACQ中，E為

。。1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CG的中點(diǎn).

(1)求證：平面W；

⑵求證：平面AEC〃平面8F￡)].

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

(1)證明：連接8。交AC丁一點(diǎn)0，則。為80的中點(diǎn),

因?yàn)镋為。R的中點(diǎn)，則HDJIOE,

3。＜2平面4￡(7,OEu平面A￡C,因此，BD"平面AEC.

⑵證明：因?yàn)镃C0DR且CC『DR,E為。。的中點(diǎn)，尸為Cq的中點(diǎn)，

所以，CF//D.E,CF=D、E,所以，四邊形CERF為平行四邊形，

所以，D.F//CE,￡＞尸&平面AEC,C￡u平面AEC,所以，R尸〃平面A￡C,

因?yàn)閏RF=R,因此，平面AEC〃平面BFD、.

例題4.(2022?甘肅酒泉?高二期末(文))如圖，在四棱錐尸-ABM/V中，△PNM是邊長(zhǎng)

為2的正三角形，ANLNP,AN//BM,AN=3,BM=\，AB=2如,C,。分別是

線(xiàn)段A8,N?的中點(diǎn).

(1)求證：CD//平面PBM;

⑵求證：平面4VM3丄平面M0P.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

(1)證明：如圖，取MV中點(diǎn)Q,連CQ,DQ.

???。。為中位線(xiàn)，；.。?！ㄓ脩?hù)，又DQ＜Z平面BMP,叱u平面BA/,

DQ〃平面BMP.

同理，在梯形A6MN中，CQ〃M8,又CQu平面BMP,平面⑸WP，

CQ〃平面BMP，且"Qu平面CDg,CQu平面CDfi,DQcCQ=Q,

，平面C￡>Q〃平面又CQu平面CDfi,所以C3〃平面BMP.

(2)證明：如上圖，在四邊形ABAW中，過(guò)B作BE〃MN交AN于E,

在AAEB中，得AE=2,BE=2,AB=2及，AB2AE2+BE2>得AE丄8￡,

VBE//MN,ANA.NM.

又由已知條件4V丄NP,NMcNP=N,故AV丄平面MWP.

又ANu平面AW8,二平面4VMB丄平面MWP.

角度2：利用向量證明空間的平行和垂直關(guān)系

典型例題

例題1.(2022?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))如圖，在直三棱柱ABC-AgG中,

ABYAC,AB=AC=AA[,。為BC的中點(diǎn).

⑴證明：A/〃平面AOG；

(2)證明：平面A￡>G丄平面BBgC.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析

(1)在直三棱柱ABC—AfG中，A8丄AC

???以A為原點(diǎn)，A與為x軸，AG為y軸，AA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=AC==2,則A(0,0,0),8(2,0,2),A(0,(),2),

C(0,2,2),ZXl,1,2),G(0,2,0),

則A8=(2,0,2),AD=(1,1,0),AC}=(0,2,-2),

設(shè)平面AZ)G的法向量〃=(x,y,z),

n-AD=x+y=0

取x=l,得為=(1,T,T),

n-ACx=2y-2z=0

”?48=2+0—2=0,目.A/U平面AOG，則〃平面AQQ

-

(2)-.DC=(~l?L0),DC}=(L1,-2),

設(shè)平面BBC。的一個(gè)法向量〃z=Q,b,c),

m-DC=一。+/?=0

取a=l,得朮=(l,L0),

m-DC}=-a+b-2c=0

又平面AQC]的法向量H=（1,T,-1）,則〃.〃]=1—1+0=0,則竹丄成

???平面丄平面BgGC.

例題2.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱ABC。-A4GA中，底面

為等腰梯形，AB//CD,AB=4,BC=CD=2,M=2,E,耳，F(xiàn)分別是棱A。，AA,,

A8的中點(diǎn).

求證：（1）直線(xiàn)E&〃平面FCC”

（2）平面AQRA〃平面FCG.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

(I)因?yàn)锳B=4,BC=CD=2,F是棱A3的中點(diǎn)，所以==B，則△8CF為正

三角形.

因?yàn)榈酌鍭BCD為等腰梯形，所以ABAD=ZABC=60°.

取4尸的中點(diǎn)用，連接DW，則DM丄AB,所以￡>M丄8.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DM,DC,所在直線(xiàn)分別為*軸、'軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所示，

則網(wǎng)后1,0),C(0,2,0),G(0,2,2),E岑,一J，。)，片("一11)，

所以CG=(O,O,2),EE,=*，一；，［，CF=(>/3,-l,0).

k)

設(shè)平面FCG的法向量為“=(x,y,z)，則卜?b=瓜-y=0,

令x=l,可得平面FCG的一個(gè)法向量為〃=(1,技0),

貝iJ/rEgulx^+gxl-gJ+OxluO,所以〃丄鶴.

又直線(xiàn)￡￡,<2平面FCC.,所以直線(xiàn)EE、H平面FCC,.

(2)因?yàn)椤?0,0,0),0,(0,0,2),A(G,-1,O),

所以QA=(6,-1,O),DD}=(0,0,2).

設(shè)平面A￡)AA的法向量為〃7=(X，X，Z|),

則,3=屬-％=0,

\rii-DD}=2z]=0

令%=1,可得平面厶力。A的一個(gè)法向量為相=(1,6,0).

由(1)知〃=(i,G,o),所以切=〃，即)〃；?，所以平面4。。A〃平面尸eq.

例題3.(2022?全國(guó)?高二專(zhuān)題練習(xí))如圖，四棱錐P-"8中，PA丄底面ABCD,AB±AD,

ACJ.CD,ZABC=60°PA=AB=BC=2,E是PC的中點(diǎn).

D

求證：（1）CDA.AE；（2）丄平面ABE.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

方法一（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,40,AP所在直線(xiàn)分別為％,丁，z軸，建立如圖所

則A（0,0,0）,5（2，。，。），C（l，?0），。0,空,o）,P（0,0,2）,E冬1,所以

8=1—l,g,o1,4E=\*,1],所以CD4E=-lx丄+3x3+0xl=0,所以CO丄A￡.

[3丿（22丿232

（2）由⑴，得尸。=卜,羋,-2],AB=（2,0,0）,=%.

（_[2x=0

設(shè)向量〃=（x,y,z）是平面板的法向量，貝4"：:=2,即八6-取尸2,則

n-AE=O—%+——y+z=O

123

n=（0,2,->/3）,所以「。=孚“，所以防〃）所以P￡>丄平面ABE.

方法二（I）丄底面ABC￡>,；.丄CD.又AC丄8,PAAC=4,二。。丄平面

PAC.；厶￡匚平面%（7,ACDLAE.

（2）：PA丄底面ABC￡>,APAA.AB.又AB丄AD,PAr>AD=A,二AB丄平面，

AAB^PD.由題可得R4=AC=2,由E是PC的中點(diǎn)，AE丄PC.

又C￡>丄A￡,PCCO=C,：.丄平面PCO,：.AE丄PD.丄PZ）,AE±PD.

ABAE=A,P￡）丄平面ABE.

例題4.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正方體ABC。-A4GA中，E為棱CQ上的

動(dòng)點(diǎn).

（2）若平面厶刀八丄平面価。，試確定E點(diǎn)的位置.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）E為CG的中點(diǎn).

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。A,DC,OQ所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ai(a,0,a),Ci(0,a,a).

設(shè)E(0,a,e)(0<e<a).

⑴A1<E=(—a，a,e-a),訪(fǎng)=(一。，-a,0),

A^EBD=a2-a2+(e-a)0=0,

A4E1BD.即丄80；

(2)設(shè)平面A/8/),平面的法向量分別為片=(.q,yi,zi),3=(也，)2，Z2).

a,a,

?'￡)8=("，0)，DAt=(",0，")，￡>E=(°'?)

->—>—>—>—>—>—>—>

,?n}-DB=0?H1?D\=0?-DB=0?>DE=0-

.［%+砂］=0,［鉄+a%=0，

,［叫+az,=0,［ay2+ez2=0.

取X/=X2=1,得］=(1，-1，—1),3=(1，—1./).

由平面4/8。丄平面EBD得k1?2

.'.2——=0,BPe=—.

.?.當(dāng)E為CG的中點(diǎn)時(shí)，平面48。丄平面E8D

題型二：空間角的向量求法

角度1：用傳統(tǒng)法求異面直線(xiàn)所成角

典型例題

例題1.（2022?重慶?西南大學(xué)附中高一期末）正四面體ABC。中，E,尸分別是AB和CQ

的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)CE和AF所成角的余弦值為（）

【答案】C

連接8F，取哥?的屮點(diǎn)。，連接E。，

因?yàn)镋為的中點(diǎn)，

所以EO〃AF，

所以NOEC為異面有線(xiàn)CE和AF所成角或其補(bǔ)角，

設(shè)正四面體的樓長(zhǎng)為2,則A5=5C=AC=C￡）=Ar>=3O=2,AF=CE=BF=6

所以O(shè)E=O8=OF="OC=y/CF2+OF2=,11+^=—

2V42

所以在中，山余弦定理得

9

所以異面有線(xiàn)CE和厶尸所成角的余弦值為《,

故選：C

B

例題2.（2022?福建莆田?高二期末）若正六棱柱ABC￡）EF-A￡CQE出底面邊長(zhǎng)為1,高

為",則直線(xiàn)4爲(wèi)和砂所成的角大小為（）

D.-

2

由題意，EF平移到耳耳，則NAE書(shū)為所求.

由于A￡；=3,EtFl=\,AFi=y[6+l=y/l,

9+4-7丄

cosZAEF

XX2x3x22

故選：C.

例題3.（2022?河北邯鄲?高一期末）如圖，在圓臺(tái)。0中，OA=OOl=2OlAt=2,OB=BA,

且OA〃aA，8C丄。4,則異面直線(xiàn)。。與4c所成角的余弦值為（）

277

~T~7

【答案】C

解：如圖，連接48,因?yàn)?4=00]=2Q4=2,O3=B4,且。厶〃。4

所以O(shè)8=0A=l且。5//O|A，

所以四邊形08Aoi為平行四邊形，

所以0?//8A，。?=84=2

所以ZCA}B即為異面直線(xiàn)。。與所成角或其補(bǔ)角,

因?yàn)?，在圓臺(tái)2。中，。。丄平面ABC,

所以8A丄平面ABC,1BC,

因?yàn)锽C丄OA,OC=2,OB=1

所以8c=6,

所以，在中，AB=2,BC=6，AC<，

RRHI/宀E>AB22不

所以cosNCA,8=——=—r==——

所以，異面直線(xiàn)。q與AC所成角的余弦值為空

7

故選：C

例題4.（2022?云南?麗江市教育科學(xué)研究所高二期末）如圖，。是正方體的一個(gè)“直角尖”

O-ABC（OAOB,OC兩兩垂直且相等）棱08的中點(diǎn)，尸是BC中點(diǎn)，。是上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接PQ,則當(dāng)AC與PQ所成角為最小時(shí)，QD-.AQ=.

解：根據(jù)題意，04,0aOC兩兩垂直，故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所

示：不妨設(shè)。4=03=OC=2,則

0（0,0,0）,A（0,0,2）,8（2,0,0）,C（0,2,0）,P（l,l,0）,￡>（1,0,0）

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（X,y,z）,AQ=AAZXO<Z<1）

則（x,yz）=/I（1,0,—2）=（九0,—2/1）,所以。（40,2—22）,

所以QP=（1—41,22—2）,AC=（0,2-2）

TT

設(shè)直線(xiàn)AC與PQ所成角為。，0e[O,^]

,\AC-QP\|2+4-42|3-2A

則cos蚱gsACO卜加二訪(fǎng)歷彳丁瓦即戸①

令3-24=舊>0）,則4=^.

2

159

所以，當(dāng)-=X即/==時(shí)，cos。取得最大值，此時(shí)。取得最小值.

t95

,_93

從而253,所以AQ==A￡>.

X=--=—s

25

故QD:AQ=2:3.

故答案為：2:3.

角度2：用向量法求異面直線(xiàn)所成角

典型例題

例題1.（2022?山東德州?高一期末）已知￡、尸、G、”分別是正方體A8CD-A4G

邊AB,CD,B、c,,4。的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)E”與GF所成角的余弦值為.

【答案】|

11

EH=EA^AA]+AiH=--AB+AAl+-AD,

FG=FC+CCl+CtG=^AB+AAl-^AD,

設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1,顯然AB丄丄4),44,丄仞,

于是有ARA4,=0,ABA￡)=0,A41?4)=0,

所以歸“卜-gAB+A4+gAO

t再不少等

222

叫=+9-3回=1J1AB+AA,+^AD=當(dāng)

I2，|)

--AB~+AA~——AD

EH-FG4-41

所以cos〈E，/G〉=

EWFGA/6A/63

||.||—x—

22

因此異面直線(xiàn)E”與G尸所成角的余弦值為g,

故答案為：!

例題2.（2022?河南省蘭考縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知三棱柱ABC-AB|G的底

面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2,。為BC的中點(diǎn)，若NAA8=NAAC=q，則異

【答案】包

6

由題意，\D=^AB+^AC.BC^^AC+AA1-AB.

所以,4=/癡+/2+2"対=；>/4+4+4=+,

222

\BCl\=>JAC+AAl+AB+2AC-AAl-2AC-AB-2AAi-AB=2>/2>

22

A.DBC,=^AC-AB+AAiAB-AB+AC+ACAAi-ACAB^=2,

所以8s〈4。,8公=能尚=法萬(wàn)=骼

故答案為：顯.

6

角度3：用向量法解決線(xiàn)面角的問(wèn)題（定值+探索性問(wèn)題（最值，求

參數(shù)））

典型例題

例題1.(2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試)如圖，四棱錐P-43C3中，底面A8C。為平行四邊形，

且BA=BD=e，PA=PD<,AD=2,若二面角「一/1￡)一8為60。，貝U”與平面P8C

所成角的正弦值為.

【答案】亭

取AD中點(diǎn)E,連接如圖，則由已知得PE丄A。，BE丄AD,

所以ZPEB為二面角P-AD-B的平面角，所以ZPEB=60°,

又==2,HE=7(>/2)2-12=1>

△PEB中,PB=>/22+l2-2x2xlxcos60o-y/3-PB?+BE?=PE?,所以PB丄BE,

由PEcBE=E,/^，^^(^平面尸踮，得AD丄平面P8E,

又PBu平面fBE,所以A￡)丄P3，

BEAD=E,3瓦厶。匚平面厶88,所以P8丄平面ABC。，

BCu平面ABC。，所以「8丄3C,

BC//DA,所以BC丄BE,

以BC,BE,BP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則尸(0,0,6)，4-1,1,0),C(2,0,0),

PA=(-1,1,-73),平面PBC的一個(gè)法向量是“=(0,1,0),

PA〃1石

cos<PDA4,n>=i-j-j—r=—j=—=—

網(wǎng)WA/5X15,

所以4P與平面PBC所成角的正弦值為日.

故答案為：當(dāng)

例題2.（2022?黑龍江?大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCO

TT

為菱形，ABAD=-,。為AD的中點(diǎn)，PA=PD=AD=2.

⑴點(diǎn)M在線(xiàn)段PC上，PM=9C,求證：24〃平面例。8；

⑵在（1）的條件下，若PB=3,求直線(xiàn)PD和平面所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵厶叵

13

（1）證明：連接AC交于N,連接MN,

因?yàn)锳Q/IBC,所以亠ANQs-CNB,

AQAN

所以

所以*=:，又PM=gPC,

/AJJ

所以PA"MN,

因?yàn)镻AN平面MQ8,MNu平面MQB,

所以PA〃平面MQB：

(2)解：連接3。，由題意△430,△24。都是等邊三角形，

因?yàn)?。?9中點(diǎn)，所以尸。丄A￡>,8Q丄A。，又PQBQ=Q,

所以45丄平面PQB，PQ=BQ=?PB=3,

3+3—9127r

在△尸Q8中，cosZPQB=所以NPQB=三，

在平面PQB內(nèi)作P7丄Q8于T,則

NPQT=Z,PT=PQs嗚=gx與=；,QT=PQcos^=gx；=^,

由AD丄平面PQB,所以4)丄口，又ADcBQ=Q,

所以PT丄平面ABC￡>,

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0),A(l,0,0),8(0,73,0),C(-2,瓜0),D(-l,0,0),p|j,

k)

由PM=；PC,可得所以QM=1-|,0』),QB=(0,6,0),

設(shè)平面MQ8的法向量m=(x,y,z),則。時(shí)?相=-1》+2=0,。8丿〃=6丫=0,

可取x=3,y=0,z=2,則m=(3,0,2),

直線(xiàn)PO的方向向量產(chǎn)。=卜，等,一方，

PD-m

設(shè)直線(xiàn)P。和平面"QB所成角為凡則sin￡=|cos〈PDm〉|=---------

IPD|X|,27|

所以cos，=厶叵，即直線(xiàn)尸。和平面MQB所成角的余弦值等于厶叵.

1313

例題3.(2022?天津一中高一期末)如圖，49〃慶7且49=2BC,ADA.CD,EG//ADS.

EG=AD,CD〃FG且CD=2FG.DG丄平面A8C￡>,DA=DC=DG=2.

⑴若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn),求證：MN”平面CDE；

(2)求平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值；

(3)若點(diǎn)尸在線(xiàn)段DG上，且直線(xiàn)8。與平面ADGE所成的角為60。，求線(xiàn)段。產(chǎn)的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵巫⑶3

103

(1)證明：因?yàn)镮X?丄平面ABC。，D4,OCu平面ABCO,

所以￡>G丄D4,OG丄。C,

因?yàn)锳D丄8,

所以ZM,DC,DG兩兩垂直，

所以以。為原點(diǎn)，分別以D4，DC，0G的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空冋直角坐

標(biāo)系(如圖)，則Q(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,

3

0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,一，I),N(1,0,2).

2

所以。C=(0,2,0),DE=(2,0,2).

設(shè)%=(x,y,z)為平面CDE的法向量,則

n-DC=2y=0

0令z=-l,則，%=(l,0,-l).

nQ-DE=2x+2z=0

3

因?yàn)镸N-(1>~~,1),

所以MV?%=1一1=0,

因?yàn)橹本€(xiàn)MMZ平面CDE,

所以〃平面CDE.

(2)解：依題意，可得8C=(1,0,0),B￡=(l,-2,2),CF=(0,I,2).

n,BC=—x=0

設(shè)”=(x,y,z)為平面BCE的法向量，則，[,-y+2z=。'令z=l，則"=(0，LD，

設(shè)m=(a,6,c)為平面BCF的法向量，則八，令c=l,則，“=(0,2,1),

mCF=一力+2c=0

mn_2+1_3>/10

所以cos(m,〃

|m||n|V2x5/510

所以平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值為Jl-cos?

⑶解：設(shè)線(xiàn)段。尸的長(zhǎng)為萬(wàn)(〃€[0,2]),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0,h),可得8P=(-1,-2,h).

因?yàn)锳￡＞丄CD,DGDA=D,DG±DC,

所以。C丄平面AZ5GE

所以。C=(0,2,0)為平面AOGE的一個(gè)法向量，

BPDC

所以卜os(BP,OC)卜2

BP^DCJ*+5

由題意，可得-7三二亙仔。。：*,解得"=立曰0,2].

J/+523

所以線(xiàn)段。尸的長(zhǎng)為且.

3

例題4.(2022?湖北?鄂州市教學(xué)研究室高二期末)蓮花山位于鄂州市洋瀾湖畔.蓮花山，

山連九峰，狀若金色蓮初開(kāi)，獨(dú)展靈秀，故而得名.這里三面環(huán)湖，通匯長(zhǎng)江，山巒疊翠，

煙波浩渺.旅游區(qū)管委會(huì)計(jì)劃在山上建設(shè)別致涼亭供游客歇腳，如圖①為該涼亭的實(shí)景效

果圖，圖②為設(shè)計(jì)圖，該涼亭的支撐柱高為36m,頂部為底面邊長(zhǎng)為2的正六棱錐，且

側(cè)面與底面所成的角都是45.

圖①圖②

(1)求該涼亭及其內(nèi)部所占空間的大小;

(2)在直線(xiàn)PC上是否存在點(diǎn)使得直線(xiàn)與平面8。解所成角的正弦值為且？若存

3

在，請(qǐng)確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴60m3

(2)直線(xiàn)PC上不存在點(diǎn)使得直線(xiàn)M4與平面8烏耳所成角的正弦值為迫，理由見(jiàn)解析

3

(1)結(jié)合圖②易得涼亭的頂是正六棱錐，側(cè)面與水平面成45。，取AK的中點(diǎn)G,連接。。,

PG,則QG丄4月，PG丄厶由，故NPGQ=45,易求=所以

所以該涼亭的體積分為兩部分，上半部分為正六棱錐，其體積為

^=lx6x^x22x^=6(m3),下半部分為正六棱柱，

其體積匕=6xx23x3-V3=54(m，)，

3

所以該涼亭及內(nèi)部所占空間為60m,

(2)取AB的中點(diǎn)4,以?！啊C、OP所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建

立空間直角坐標(biāo)系。-個(gè)z,如圖所示.

假設(shè)在直線(xiàn)PC上存在點(diǎn)M,使得直線(xiàn)MA與平面8。田所成角的正弦值為也，

3

則A（>/5,T,0）,B（>/3,l,0）,Dt,f；（0,-2,3^）,P（0,0,4^）,C（0,0,2）

設(shè)「知=7巾=（02,-44）?>0）則加（0,2/,4行一44）,平面的一個(gè)法向量

”=(X|,y,zJ,

則AM=(-百2，+1,4石(17)),BD、=(-2瘋0,3回，防=(-^,-3,3回，

Blln^O[-26x+3&=0「

則L二八，即廠(chǎng)廠(chǎng)，令x=3,解得y=JLz=2,所以平面BR耳的

[B6."=0[->l3x-3y+3sl3z=0

一個(gè)法向量”=(3,后2),

設(shè)直線(xiàn)MA與平面片所成角為凡則

卜36+G(2f+l)+8同

sin6=|COS(AM,/J)|=

F=T，化簡(jiǎn)得

79+3+4-2

127t2-206r+127=0，A=（-206）2-4x1272=2062-254?<0,故該方程不存在實(shí)數(shù)解，

所以在直線(xiàn)PC上不存在點(diǎn)M,使得直線(xiàn)MA與平面BRF；所成角的正弦值為且

3

角度4：用向量法解決二面角的問(wèn)題（定值+探索性問(wèn)題（最值，求

參數(shù)））

典型例題

例題1.（2022?吉林?長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）如圖在三棱錐0-ABC中，OA=OC=y/2,

AB=OB=BC=2S.OA±OC.

o

E

y

B

(1)求證：平面。4c丄平面ABC

(2)若E為OC中點(diǎn)，求平面ABC與平面E鉆所成銳二面角的余弦值.

【答案】⑴見(jiàn)詳解.(2)返

31

(1)取4。中點(diǎn)￡>,連接03,BD,

0

在三棱錐O-4BC中，OA=OC=叵,AB=OB=BC=2HOA1OC.

所以。。丄AC,8￡>丄AC.所以NBDO是平面OAC和平面ABC所成角的平面角.

AC=。2+2=2>OD=J2-1=1，BD=J4-1=>/3,

所以0庁+夙）2=。32,所以O(shè)D丄BO,所以/3。。二2.

2

所以平面OAC丄平面A3C.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，08為x軸，0c為y軸，。。為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，則40,-L0),8(退,0,0),0(0,0/)，C(0,l,0),

顯然平面ABC的法向量為m=（0,0/），

n-AB=y/3x+y=0

設(shè)平面EAB的法向量為〃=（x,y,z）,l31c

n-AE=—y+—z=0

22

取x=26，得〃=（2石,-6,18）.設(shè)平面ABC與平面EAB所成銳二面角為，,

所以平面ABC與平面EAB所成銳二面角的余弦值為:

八\m-n\183>/93

cos(J------------=.-----'=-------.

|/n|-|n|V37231

例題2.（2022?四川雅安?高二期末（理））如圖（一）四邊形ABC。是等腰梯形，DC//AB,

DC=2,AB=4,厶BC=60。，過(guò)。點(diǎn)作DE丄43,垂足為E點(diǎn)，將血）沿DE折到/ED

位置如圖（二），且AC=2行.

A

E

B

（1）證明：平面AED丄平面E5CD；

Arp1

⑵已知點(diǎn)P在棱A'C上，且正=/，求二面角C-研-。的余弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解?析⑵等

(1)證明：在等腰梯形A8CD中，DE丄AB,：.DELAE,：.A'EYDE

DC=2,AB=4,ZABC=60°,:.BE=3,BC=AD=2,DE=6

在&EBC中,如EC=@,VA!E^AE=\,,:A'C=26，--A'E2+EC2A'C2

A，E丄EC,EC,DEu面EBCD,ECDE=E,，A'E丄面E8CO

,/A!Eu面A'￡D,，面A'￡D丄面EBCD

⑵由(1)知A'E丄面E8CO,EDA.EB

???以￡為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系E-xyz

.?.4(0,0,1),D(0,5/3,0),C(2,后,0),04，=卜2,-"1)

.CP_22(22/32]

：.CP=-CAf:.EP=EC+CP=

設(shè)^~CA,=39

3Ij亍対

設(shè)〃I=（%,y,zJ是面CEP的法向量,

2&J八

n?EP=0.-%+T"鏟=0,令％=瓜

??<x，??<3

4?EC-0

2X1+6yl=0

M=_2,Z,=0,勺-(A-2,o)

設(shè)均=（X2，%，Z2）是面OE尸的法向量,

.JM2￡P(guān)=O.i2x2+y/3y2+2z2=0.

[%/￡>=0后必=0

令z,=-l,/.x,=1,%=(1,0,—1),cos8=1-"r------=

■'7^/2x^/3+414

由圖知，二面角C-EP-D的余弦值為銳二面角，余弦值叵

14

例題3.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）四棱雉P-ABCE）中，PC丄平面A8C。，底面ABCD

是等腰梯形，且AB=2,CD=1,NA8C=60,PC=3,點(diǎn)M在棱尸B上.

⑴當(dāng)M是棱pa的中點(diǎn)時(shí)，求證：CM//平面24￡);

(2)當(dāng)直線(xiàn)CM與平面以8所成角。最大時(shí)，求二面角的大小.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵90°

⑴取AP中點(diǎn)N,

P8的中點(diǎn)為MN=；AB,

:.MN!/CD,旦MN=CD,

：.四邊形CDNM是平行四邊形，

:.CMHDN,CM二平面PAD,

.?.CM//平面PAO：

(2)等腰梯形ABCZ)中，A8=2,8=1,ABC=60.

作CE丄AB于E,則8七=3，二￡??=1“河。中，

由余弦定理得，AC=45,:.AC2+BC2=AB2,即NACB=90,

PC丄底面ABC￡>,則CHC4、C8兩兩垂直

如圖，以C為原點(diǎn)，C4C&CP為》軸、y軸、z軸為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則

A(6,0,0),8(0,1,0),C(0,0,0),P(0,0,3),

PA=("0,-3),AB=(-亞l,0),C4=(60,0),

m-PA=\[3x-3z=0

設(shè)平面R4B法向量m=（x,y,z）,則，<

m-AB=-y/3x+y=0

平面E48的一個(gè)法向量"?=（石,3,1）,

設(shè)=2fiP(0<2<1),則CM=C3+=(0,1-434),

33

sin|cos<CM,/n>|=

。=2

V13-VlO2-2A+l7,

04241,，當(dāng)/1=5時(shí)，sing取得最大值,

CM=?？吹貌贰?“’1010丿'

馬-CA=y/3x}=0

設(shè)平面CAM法向量〃]=（%,y,zj,則<93

it-CM=—y,+—z.=0

1101101

???平面C4M的一個(gè)法向量々=（0』,-3）,

%?AB=-A/3X2+y2=0

9

設(shè)平面AAZ3法向量%=（x2,ty2,z2）,則，廠(chǎng)93

4?AM=-yJ3x.一4-—10%2+—I。z°-=0

平面AMB的一個(gè)法向量%=(6,3,1),

nt-n2=0x百+1x3+(-3)x1=0,為丄n2,

二面角C-AM-B的大小為90".

例題4.（2022?江蘇徐州?高二期末）如圖，已知可垂直于梯形ABC。所在的平面，矩形

JT1

S4￡>￡的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)/，G為S3的中點(diǎn)，NABC=NBAD=5,SA^AB=BC=-^AD=\.

⑴求證：BD平面AEG；

(2)求二面角C-SD—E的余弦值;

(3)在線(xiàn)段EG上是否存在一點(diǎn)H,使得與平面SCD所成角的大小為7?若存在，求

0

出G”的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)-四⑶存在，

62

⑴證明：連接尸G,在，S3D中，F(xiàn),G分別為SD,SB的中點(diǎn)，

所以尸G〃亜，

又因?yàn)镕Gu平面AEG,BD(Z平面AEG,

所以80〃平面4EG.

(2)因?yàn)镾4丄平面ABC。，AB,AOu平面A8CO,

7T

所以SA丄A3,SA1AD,又/840=一，所以AB丄4),

2

以｛AB)。,AS｝為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一種,

C￡>=(-1,1,0),5C=(1,1,-1),

設(shè)平面SCD的法向量為m=(x,y,z),

e[mCD=0[-x+y=0

則《___.，即nn《，

m-SCD=0[x+y-z=0

令x=l,得y=l,z=2,

所以平面SCD的一個(gè)法向量為m=（1,1,2）,

又平面ESD的一個(gè)法向量為4?=（1,0,（））,

lxl+lx0+2x0瓜

所以cos（九A3）=

?叫Vl2+12+22xl6'

由圖形可知，二面角C-SO-￡的余弦值為-亞

6

（3）存在，理由如下:

假設(shè)存在點(diǎn)，，設(shè)G/7=2GE=（-gZ2Z；/1

由（2）知，平面SCO的一個(gè)法向量為〃?=（1丄2）,

一丄一丄4+22+1+2

mBH

則sin己=|cos(八BH22

\m\'\BH\可4儲(chǔ)+3(1+#22

所以2=1,則GH=GE=(,2,；),

即(1)2=0,

故存在滿(mǎn)足題意的點(diǎn)從此時(shí)G”=|GE|=￥.

題型三：距離問(wèn)題

角度1：點(diǎn)P到直線(xiàn)/的距離

典型例題

例題1.（2022?湖南益陽(yáng)?高二期末）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-A4C。中，E為DR的

中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線(xiàn)B聲的距離為（）

A.；B.1C.gD.-

2