2023-2024學(xué)年安徽省淮北市高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年安徽省淮北市高二上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題

目的一項(xiàng)）

x2y2

~=1（。>6>0）口下

1.已知橢圓礦b的左、右焦點(diǎn)分別為4、％,長(zhǎng)軸長(zhǎng)8,焦距為4,過

點(diǎn)耳的直線交橢圓于A,8兩點(diǎn)，則A/BK的周長(zhǎng)為（）

A.4B.8C.16D.32

【正確答案】C

【詳解】由題知，2a=8,

△45年的周長(zhǎng)為|4B|+|典|+忸閭=|掰|+忸制+|盟|+忸閭=2a+2a=16.

故選：C.

2.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，若％=11，Ss=80,則ai0=()

A.21B.20C.18D.16

【正確答案】A

【詳解】設(shè)數(shù)列｛/｝的公差為d,

因?yàn)?=11，Sg=80

q+44=11

解得q=3,d=2,

故[o=q+9d=3+18=21.

故選：A.

3.已知等比數(shù)列｛%｝的前3項(xiàng)和為168,%-6=42,則。6=（）

A.14B.12C.6D.3

【正確答案】D

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為％4力0,

若q=l,則%-%=。，與題意矛盾，

所以夕W1，

q（]一/）（a.=96

-.Q[+a,+Qa=--------=168

則〈?23],解得〈1,

q=-

A

a2-a5=a]q-a[q=422

所以％=3.

故選:D.

4.若左eR,則左>—3是方程工+工=1表示雙曲線的（）

k-3k+3

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

22

【詳解】解：因?yàn)榉匠獭?」二=1表示雙曲線，所以（左一3）（左+3）<0,解得

k—3k+3

-3<女<3,

因?yàn)椋?3,3）（-3,+oo）,

22

所以左〉-3是方程「一+二一=1表示雙曲線的必要不充分條件，

k—3左+3

故選：B

5.已知圓錐的底面半徑為2,高為4&，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為()

A.4乃B.4及兀C.8向D.8%

【正確答案】D

【詳解】如圖，圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，點(diǎn)。為球心，內(nèi)切球的半徑為，為切點(diǎn),

設(shè)OD=OE=r,即BE=BD=2

由條件可知，AB=69

△NOO中，AO2=AD2+DO2,即(4后—=(6—2『+/,解得:廠=0,

所以圓錐內(nèi)切球的表面積5=4兀/=8兀.

6.己知兩點(diǎn)”(-1,0),N(1,O),若直線3x—4y+m=0上存在點(diǎn)尸滿足尸力尸#=0,則

實(shí)數(shù)”的取值范圍是

A.(-oo,-5][5,+oo)B.(-oo,-25][25,+oo)

C.[-5,5]D.[-25,25]

【正確答案】C

【詳解】設(shè)尸(x,y),則PM=(-l-x,-y),PN=(l—x,-y),

由PMLPN得1,因尸在直線3x-4y+加=0上，故圓心到直線的距離

\m\rI

d=i=W1,故加￡[—5,51,故選C.

V32+42

平，設(shè)函數(shù)/(X)=(4COS21-2

7.已知等差數(shù)列｛4｝中，%=sinx+cos2x4-2,記

8

K=/(4),則數(shù)列｛匕｝的前9項(xiàng)和為()

A.0B,10C.16D.18

【正確答案】D

【詳解】

〃x)=(4cos21一2

sinx+cos2x+2=2cosxsinx+cos2x+2=sin2x+cos2x+2

=y[2sin(2x+A)+2,

由2x+?二左左(左￡Z),可得x=左EZ),當(dāng)％=1時(shí)，x=~^~

故函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)書,2)對(duì)稱,

由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得％+%=4+%=%+%=4+4=為5，

所以，數(shù)列｛兄｝的前9項(xiàng)和為/(《)+/(。2)++/(a9)=4x4+/(a5)=18.

故選:D.

8.已知4(3,0),若點(diǎn)尸是拋物線_/=8x上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓(x—2)2+/=1上任意

IPJI2,、

一點(diǎn)，則方才的最小值為()

I

A.3B.473-4C.272D.4

【正確答案】B

【詳解】設(shè)尸(x,y),

由拋物線y2=8x方程可得：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(2,0),

由拋物線定義得：\PF\=x+2

又|P0|4尸盟+|0尸|=|PF|+1,

22

斫以四i>l尸川2_(X-3)+8X_X+2X+9

|P0|一網(wǎng)71=x+3=FF

當(dāng)且僅當(dāng)P,Q,E三點(diǎn)共線時(shí)（F點(diǎn)在PQ中間），等號(hào)成立，

令x+3=f（f?3）,立金土2可化為：

x+3

.（"3）2+；（"3）+9=,+5_422網(wǎng)-4=46-4,

當(dāng)且僅當(dāng)，=2百，即：x=2百—3時(shí)，等號(hào)成立.

故選B

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

22

9.已知三個(gè)數(shù)1,。,9成等比數(shù)列，則圓錐曲線上+上=1的離心率為

a2

A.y/5B.—C.巫D.y/3

32

【正確答案】BC

【詳解】由三個(gè)數(shù)1,9成等比數(shù)列，得/=9，即。=±3；當(dāng)。=3,圓錐曲線為

三+』1=1,曲線為橢圓，則e=J==g；當(dāng)。=一3時(shí)，曲線為片—工=1,曲線為雙

32V3323

曲線，6=卓=巫，

V22

則離心率為:立或巫

32

故選BC

10.已知/（%,%）,8（和必）是拋物線產(chǎn)=2px（p>0）上的兩點(diǎn)，若直線Z8過拋物線的

焦點(diǎn)R且傾斜角為"則下列命題正確的是（）

A.x-x=JB.\AB\=x{^x2+p=-^--

4sin6

112

「----1----=--C1J——1YY

\AF\\BF\p-/人1人2

【正確答案】ABC

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)直線的方程為》=如+^,2

代入y=2px9

222

可得丁2-2p叩一=0,所以%,%=—22,百個(gè)2=股22=2,選項(xiàng)A正確:

2P4

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)?8是過拋物線V=2px的焦點(diǎn)的弦,

所以由拋物線定義可得|/a=|/日+|瓦^=方+三+刀2T

-M+工2+P，

2

由選項(xiàng)A知，y1-y2=-p,yt+y2=2pm,

所以m2+=（乂+為Y-2凹?8=4p，5+Ip'.

2222

即+4=2p（p+白）=4pm+2p,解得再+x2=2pm+p,

當(dāng)。=90°時(shí)，加=0,所以|Z8|=2p,

當(dāng)。x90°時(shí)，加=」一，所以

tan。

1,川2P__（1八cos201二2P

tan^01tarr。Jlksin-6,~sin26'

當(dāng)6=90。時(shí)，sin8=l也適合上式,所以|/a二石+々+p=-，選項(xiàng)B正確；

sin6

對(duì)于選項(xiàng)C,不妨設(shè)0,5,點(diǎn)/在X軸上方，設(shè)H,6'是A,B在準(zhǔn)線上的射影,

^\=^\=\^\=p+\CF\=p+\AF\cos,6,

所以|力網(wǎng)=―-l-同理可得忸目=一匕—

l-cos。1+C0S。

112兀

所以的+西同理可證。6[^，兀）時(shí)，等式也成立，選項(xiàng)C正確;

2.22

對(duì)于選項(xiàng)D,由上可知：,^2=~P~'x-x——―=-='一,

t22p4

所以凹為=一4玉%2，選項(xiàng)D不正確,

故選：ABC.

11.2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的

座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”，如圖在平面直角坐標(biāo)系

中半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的焦點(diǎn)尸（0,2）,橢圓的短軸與半圓的直徑

重合，下半圓與y軸交于點(diǎn)G.若過原點(diǎn)。的直線與上半橢圓交于點(diǎn)4與下半圓交于點(diǎn)8,

則（）

A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40

B.線段Z8長(zhǎng)度的取值范圍是[4,2+2JI]

C.△/職面積的最小值是4

D.NFG的周長(zhǎng)為4+4J5

【正確答案】ABD

【詳解】由題知，橢圓中的幾何量b=c=2,得q=2j5，則2a=40，A正確；

AB=OB+OA=2+OA,由橢圓性質(zhì)可知2WW2近，所以4<4842+2及，B

正確；

記乙4OF=6,則s"F=s“OF+SOBF^OA-OFsm0+^OB-OFO')

=(24sin+2sin={OA+2)sin0

取。=衛(wèi)，則S4"=1+j。/<1+』'2/<4,C錯(cuò)誤；

6AB22

由楠圓定義知，4尸+ZG=2a=4板，所以月/G的周長(zhǎng)￡=RG+40=4+4正，D

正確.

故選：ABD

12.如圖，四邊形Z8CD為正方形，平面N8CZ),FBED,AB=ED=2FB,記三

棱錐E—NC。，F(xiàn)-ABC,F-ACE的體積分別為匕，匕，匕，則()

【正確答案】CD

如圖連接8。交ZC于O,連接。后、.設(shè)“8=2尸8=2,則

AB=BC=CD=AD=2.

由EC平面Z3CD,FBED,所以必J.平面4SCZ),

1114

所以匕=/彳

?匕-8=—3SdKdD3E2D=—X—AD,CD,3ED=—,

匕=L.-FB=-X-ABBCFB=-.

Zr-/1oC3S/toBt-C323

由E。，平面力8c0,ZCu平面力8C￡>,所以EQLZC.

又NC/8。，且E。BD=D,ED、8Du平面8OEF,

所以4C_L平面BOE戶，所以/CLOF.

易知BD=2y/2,OB=&,0E=y/0D2+ED2=&，OF=yj0B2+BF2=#>

EF=y1BD2+（ED-FB）2=3，

所以所2=0/2+0后2,所以。尸，?！?而OEC4C=O,

OE、ZCu平面ZCE,所以O(shè)9_L平面ZCE.

又AC=AE=CE=2。

匕=%.“CE=；SACE.OF=；4AC2.OF=2,

所以有匕工2%,匕力2匕，匕=匕+匕,2匕=3匕，

所以選項(xiàng)AB不正確，CD正確.

故選：CD.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知向量a=（3,l）,b=（l,0）,c=。+左b.若aJ_c，則左=.

【正確答案】-四.

3

【詳解】<n=（3,1）,i=（i,o）,.-.（n=t/+^=（3+^,1）,

ZNZ\ZV?>IO

a_Lc,1.a?c=3（3+〃）+lxl=0,解得k=--—,

故答案為.—W

3

r2v2

14.已知雙曲線.一彳=1（4>0,b>0）的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為

【正確答案】y=±^3x

【詳解】因?yàn)殡p曲線g—，=l的離心率為2,則2=,1+（2）,解得：=百，

故雙曲線的漸近線方程為y=±V3x.

故答案為.y=+y/3x

15.正方體Z5C。-44GA中，民尸分別是831,CG的中點(diǎn)，則/瓦8P所成的角的余

弦值是.

【正確答案】1

【詳解】取DA的中點(diǎn)G,由GAIIBF且GN=即可得ZGAE為AE,BF所成的角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,AG4D中利用勾股定理可得AE=AG=,[i+^=—，

V42

又EG=五，由余弦定理可得2=上+工一2x^x好cosNEZG,，cosNE4G='，

44225

故答案為工.

16.對(duì)給定的數(shù)列｛%｝（《尸0）,記〃=黃，則稱數(shù)列｛〃,｝為數(shù)列｛叫的一階商數(shù)列；

記c“=M，則稱數(shù)列｛《J為數(shù)列｛4｝的二階商數(shù)列；以此類推，可得數(shù)列｛4｝的產(chǎn)階

商數(shù)列（PwN*）,已知數(shù)列｛a,,｝的二階商數(shù)列的各項(xiàng)均為e,且％=1,%=1，則

/。=?

【正確答案】e36

b

【詳解】解：由數(shù)列｛4｝的二階商數(shù)列的各項(xiàng)均為e,可知

而4=%■=1,

q

故數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，e為公比的等比數(shù)列，

即bn=e"T,

即—

a?

即生=l,&=e,^=e2,A=e8.

a｛a2a3a9

(l+8〉8

所以q0=q?生?”?幺??也=lle-e2-g=e"2++8=ek=e36,

%a2a3a9

故qo=e36.

故e%

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟)

17.記△力8c得內(nèi)角力、B、C的對(duì)邊分別為“，b,c,已知sin/=3sin8,C=y,c=Jj.

(1)求a；

(2)求sinJ.

【正確答案】(1)a=3

⑵詼

14

【小問1詳解】

因?yàn)閟iiL4=3sin5,所以a=3b,由余弦定理c?=/+〃-2a6cosC

可得7=9〃+〃-3〃/=1,所以a=3

【小問2詳解】

a

由可得asinC3V2T

sinAsinCsinZ

14

18.已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S.，q=2,a?+]=S?+2.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：

（2）若數(shù)列｛"｝滿足b?=a?+log2a”,—，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；.

【正確答案】（1）a〃=2"；（2）2向+〃2一2

【詳解】（1）。湎=5“+2...........①

a?=Ei+2(〃>2).............②

①-②得a?+1-an=an,即=2(〃>2)

an

又?=2,。2=￡+2=4,/.—=2

%

:.^-=2(neN,)

a“

,｛《,｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

a〃=2.2”T=2"

(2)由(I)得可=2"

.?也=2"+log?221=2"+2〃-1

=4+&+々+…+a

=(21+1)+(22+3)+(23+5)+...+(2n+2M-1)

=(2'+22+23+...+2")+[l+3+5+...+(2n-l)]

2(1-2")〃口+(2〃-1)]

1-2+2

=2叫〃2一2

19.如圖，在三棱柱中，_平面Z8C,4AA,=3AB,/BC是等邊

三角形，D,E,F分別是棱用G，AC,8c的中點(diǎn).

(1)證明：〃平面GE尸.

(2)求平面/OE與平面GE尸夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)-

8

【詳解】(1)證明：連接8D

因?yàn)镋,尸分別是棱/C,8c的中點(diǎn)，所以E尸〃48.

因?yàn)镋Fu平面GEF,N8仁平面C|EF,所以Z6〃平面孰跖.

因?yàn)?。，產(chǎn)分別是棱8G，8c的中點(diǎn)，所以8E〃CQ，BF=CQ,

所以四邊形6。。尸是平行四邊形，則8?！?。尸.

因?yàn)镚Fu平面/，BDU平面GEF,所以80〃平面

因?yàn)槠矫鍺B。，且Z8BD=B,所以平面48?！ㄆ矫妗！陱S.

因?yàn)閆Ou平面N8D,所以Z0〃平面GER

(2)解：取4G的中點(diǎn)。，連接。用，OE,易證。片，O￡,0E兩兩垂直，則以。為

原點(diǎn)，分別以O(shè)g,OCt,?！甑姆较?yàn)閤,j,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系.

z

設(shè)4&=4,則4(0,-2,3),C,(0,2,0),。(石,1,0),￡(0,0,3),網(wǎng)百,1,3),

從而40=(百,3,—31ZE=(0,2,0),C,￡=(0,-2,3),=(73,1,0).

設(shè)平面ADE的法向量為〃=(X],歹”4),

則收%后+3……令.G得;

n-AE—2y1—0,

設(shè)平面G族的法向量為「二(工2,必*2),

fA…八

則[X茂=:8+3Z2=0,令％=G,得〃1(G,-3,-2).

m?EF=y/3x2+y2-0,

設(shè)平面ADE與平面C】EF的夾角為6,則

AF飛3-21

cos”=cos=個(gè)￥=----/=—.

'/,眄2x73+9+48

22

20.已知橢圓C：=+4=1(。>6>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，C的兩個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)圍成等

a'b'

邊三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)直線y=h+2(左〉0)與橢圓c相交于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若Z08的面積

4

為一，求左的值.

一

【正確答案】(1)—+/=1

4-

（2）左="1或%=1

2

【小問1詳解】

由題知，2a=4,得a=2,

要滿足兩個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)圍成等邊三角形.兩頂點(diǎn)只能在短軸上，

則a=2b=2,;.b=l,

故橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+必=1；

4一

【小問2詳解】

X221

設(shè)工（司,弘），5（看,先）,將橢圓方程與直線方程聯(lián)立《4,

y=kx+2

化簡(jiǎn)得（1+4公）/+16"+12=0,其中A=（16%）2-48（l+4左2）>O,gpjt2>|,

16k12

且須+”一寸，中2=由‘

\AB\=X呢+，）2-牝々=ViTFXJ（-7^7）2-7^7=x篇?

V1?^TK1?1?^TK

原點(diǎn)到直線的距離s=

11

〃2+1AOB21+4公5

,19

化簡(jiǎn)得4/一23左2+19=0,解得左2二—或42=],

4

又左>0且左2>0,;.左=晅或々=1.

42

21.已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“,q=1,.請(qǐng)從以下二個(gè)條

件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題干的橫線上，并解答下列問題：①S2、Sg成等比數(shù)列，

②。5〃]0-Q；=2.

（1）求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

1

（2）若-----,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7；,.

《4+1

【正確答案】（1）%=2〃—1

⑵小六

【小問1詳解】

由題意，設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d（d>0）,

方案一：選擇條件①

4x3

S4=4%+7=甸+6d&=2q+g=8%+28",

根據(jù)S2、$4、58成等比數(shù)列得542=5258，代入得（4%+6療(2%+d)(8q+28d),又

q=1,

化簡(jiǎn)整理，可得［2—21=0,

由于d>0,所以d=2,

a“=l+2(/7-1)=2/7-1,neN*.

方案二：選擇條件②

由。5。[0-*=2,可得(q+41)(4+9d)-(q+64)2=2,又q=1,

解得d=2,

=1+2(〃-1)二2〃-1,nGN*

【小問2詳解】

111

由（1）可得”

a,a,+[(2n—1)(2?+1)212〃-12"+1

則Tn—b]+b24------卜b”

1’11111

xl+-X+…H—X

4J-5

222〃-12〃+1

1