緒論及動量傳輸三章流體動力學(xué)

材料制備傳輸原理（第三章）北京航空航天大學(xué)材料學(xué)院Schoolofmaterialsscienceandengineering,BUAA主講：李樹索四號樓321

助教：王皖吳子龍第三章流體動力學(xué)第一篇動量傳輸流體動力學(xué)主要研究流體的運(yùn)動規(guī)律及其應(yīng)用。運(yùn)動流體中各部分間有了相對運(yùn)動，所受力除了質(zhì)量力和壓力之外，還有了粘性力的作用。為使問題簡化，首先從理想流體著手，研究流體的運(yùn)動規(guī)律，然后再進(jìn)行修正，使其適合實際流體的研究。主要內(nèi)容3.1流體運(yùn)動的基本概念3.2連續(xù)性方程3.3理想流體的運(yùn)動微分方程—歐拉運(yùn)動微分方程3.4實際流體的運(yùn)動微分方程－N-S方程3.5理想流體和實際流體的貝努利方程3.6貝努利方程的應(yīng)用

3.1流體運(yùn)動的基本概念本節(jié)主要內(nèi)容：3.1.1研究流體運(yùn)動的兩種方法3.1.2穩(wěn)定流與非穩(wěn)定流3.1.3流線和跡線3.1.4流管與流束3.1.5流量和平均流速流體的運(yùn)動參數(shù)運(yùn)動參數(shù)：表征流體運(yùn)動狀態(tài)的物理量，一般包括質(zhì)點的流動速度u（v）和加速度a、流體的密度ρ、流場中點的壓強(qiáng)p運(yùn)動流體和固體壁面的作用力F。流場的概念：將充滿運(yùn)動流體的空間稱為流場。在流場中，每個流體質(zhì)點均有確定的運(yùn)動要素。流體動力學(xué)就是研究：各運(yùn)動參數(shù)隨空間與時間的變化規(guī)律；各運(yùn)動參數(shù)之間存在的本質(zhì)聯(lián)系。3.1.1研究流體運(yùn)動的兩種方法研究流體運(yùn)動的兩種方法：（1）拉格朗日法（軌跡“跟蹤”法）：拉格朗日法是將流場中每一流體質(zhì)點作為研究對象，質(zhì)點的運(yùn)動要素是初始點坐標(biāo)和時間的函數(shù)。用于研究流體的波動和震蕩等（2）歐拉法（“站崗”法）：歐拉法是以流場中每一空間位置作為研究對象分析流動空間某固定位置處，流體運(yùn)動參數(shù)隨時間的變化規(guī)律；分析流體運(yùn)動參數(shù)隨位置的變化規(guī)律。歐拉法中，表征流體運(yùn)動特征的速度u、加速度a、壓強(qiáng)p、密度ρ等物理量均是時間和空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。在研究工程流體力學(xué)時主要采用歐拉法。歐拉法中運(yùn)動參數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)：速度：函數(shù)式：向量式：分式：3.1.1研究流體運(yùn)動的兩種方法加速度：當(dāng)?shù)丶铀俣冗w移加速度3.1.1研究流體運(yùn)動的兩種方法壓強(qiáng)密度壓強(qiáng)和密度均為標(biāo)量3.1.1研究流體運(yùn)動的兩種方法3.1.2穩(wěn)定流與非穩(wěn)定流（1）穩(wěn)定流——流場中流體質(zhì)點的一切運(yùn)動參數(shù)都不隨時間改變，只是坐標(biāo)的函數(shù)，這種流動為穩(wěn)定流。表示流體運(yùn)動與時間無關(guān)。

即u=u(x,y,z)，

p=p(x,y,z)

，ρ＝ρ（x,y,z)

例如，水泵在穩(wěn)定工作階段，其轉(zhuǎn)速一定，則吸水管中流體的運(yùn)動就是穩(wěn)定流。（2）非穩(wěn)定流運(yùn)動參數(shù)是時間和坐標(biāo)的函數(shù)，即

p=p(x,y,z,t)

u=u(x,y,z,t)

，這樣的流動稱為非穩(wěn)定流。穩(wěn)定流非穩(wěn)定流3.1.2穩(wěn)定流與非穩(wěn)定流穩(wěn)定流中，流體運(yùn)動與時間無關(guān)。即p=p(x,y,z)，u=u(x,y,z)

，ρ=ρ(x,y,z)

。所以3.1.2穩(wěn)定流與非穩(wěn)定流3.1.3流線和跡線（1）跡線：流場中流體質(zhì)點在某一過程中運(yùn)動的軌跡，跡線上各點的切線是該質(zhì)點在不同空間位置、不同時刻的流動方向。（2）流線：是流場中某瞬時的一條線，流線上各點在此瞬時的運(yùn)動速度與流線相切。t1t2跡線流線（3）流線特性流場中同一瞬時可以作出無數(shù)條流線（代表這個時刻流場中流體的運(yùn)動圖像和運(yùn)動方向），即流場被流線所充滿。在穩(wěn)定流中，各點的流速不隨時間改變，所以流線的形狀也不隨時間而變。此時，流線和跡線重合。非穩(wěn)定流中則相反。流線不能相交、也不能突然轉(zhuǎn)折。12轉(zhuǎn)折相交3.1.3流線和跡線流場中的流線示意圖機(jī)翼斷面3.1.3流線和跡線1（4）流線微分方程有一流線如圖，M點處的流速為u。在該點附近取一位移ds。流線微分方程則從幾何關(guān)系上可得：3.1.3流線和跡線3.1.4流管和流束（1）流管

——在流場中做一封閉曲線C（非流線），經(jīng)過曲線上的每一點做流線，由這無數(shù)條流線圍成的管就是流管。穩(wěn)定流動時，流管的形狀不隨時間變化；非穩(wěn)定流動時，其形狀隨時變化。由于流線不能相交，所以流管內(nèi)外的流體不能穿越流管表面流進(jìn)流出。CC（2）流束

——通過曲線C圍成的面積dA上的每一點做流線，就

形成了一束流線，這束流線充滿了流管，稱之為流束。有效斷面——與流線相互垂直的截面稱為有效斷面（過水?dāng)嗝妫?。流線相互平行時，有效斷面為一平面；否則，有效斷面為一曲面。微小流束有效斷面dA上的運(yùn)動參數(shù)認(rèn)為是相等的。當(dāng)流束的有效斷面面積dA無限趨向于一點時，流束就變成了一條流線。

3.1.4流管和流束（3）總流

——無數(shù)微小流束的整體稱為總流。如實際管道中的水流、氣流等，都是由無數(shù)流束組成的流體總體。3.1.4流管和流束3.1.5流量和平均流速（1）流量——單位時間內(nèi)通過有效斷面的流體量。體積流量——Q（m3/s）質(zhì)量流量——M（kg/s）重量流量——G（N/s）微小流束上的流量表示為：dQ、dM、dG（2）平均流速v微小流束有效斷面上dQ＝udA總流上則平均流速假設(shè)以平均流速流動，則3.2連續(xù)性方程流體運(yùn)動的連續(xù)性條件——流體是連續(xù)介質(zhì)。所以在所研究的流場中，認(rèn)為流體是連續(xù)地充滿它所占據(jù)的空間。連續(xù)性方程的理論依據(jù)——根據(jù)質(zhì)量守恒定律，對于空間某個固定的封閉曲面所包容的體積，一定時間內(nèi)流入和流出該體積的流體質(zhì)量之差，應(yīng)該等于該體積內(nèi)流體質(zhì)量的變化量。表達(dá)這一結(jié)論的數(shù)學(xué)式就是連續(xù)性方程?？梢?，連續(xù)性方程實際上是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的表達(dá)。1直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程在流場中任取一微小平行六面體體積（控制體）。若頂點A處的流速為u，密度為ρ，則分析在dt時間內(nèi)的質(zhì)量守恒問題。dt時間內(nèi)X方向上流進(jìn)的質(zhì)量：dt時間內(nèi)X方向上流出的質(zhì)量：dt時間內(nèi)流入和流出的質(zhì)量差為：1直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程dt時間內(nèi)三坐標(biāo)方向的進(jìn)出質(zhì)量之差dt時間內(nèi)進(jìn)出六面體體積的質(zhì)量之差：dt時間內(nèi)六面體內(nèi)質(zhì)量增量：dM＝dM’得：此式為流體的連續(xù)性方程其物理意義是：單位時間內(nèi)，進(jìn)出單位體積的流體質(zhì)量之差與其內(nèi)的質(zhì)量增量的代數(shù)和為零。此式為可壓縮流體穩(wěn)定流時的連續(xù)性方程其物理意義是：單位時間內(nèi)，流進(jìn)和流出單位體積的流體質(zhì)量相等?；蛘哒f：任意空間體積內(nèi)的質(zhì)量保持不變。1直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程連續(xù)性方程對于可壓縮，穩(wěn)定流流體來說所以可壓縮、穩(wěn)定流時的連續(xù)性方程1直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程對于不可壓縮、穩(wěn)定流流體，因為所以有對于二維流場來說，有連續(xù)性方程：連續(xù)性方程此式為不可壓縮穩(wěn)定流流體的連續(xù)性方程其物理意義是：單位時間內(nèi)，進(jìn)出空間單位體積的流體體積相等。可見，不可壓縮流體質(zhì)點的三維流速相互之間受到約束。不可壓縮穩(wěn)定流的連續(xù)性方程例題【例題1】已知空氣流動速度場，試分析這種流動狀況是否連續(xù)？（假設(shè)空氣不可壓縮的穩(wěn)定流）解：因為且所以，空氣的流動是不連續(xù)的。例題【例題2】已知某流場速度分布為ux＝x－2，uy＝－3y，uz＝z－3，試求過（3，1，4）的流線方程。解：得由流線微分方程積分得即將點（3，1，4）代入，得所以，過該點流線方程為2一維總流（管流）的連續(xù)性方程（1）微小流束穩(wěn)定流的連續(xù)性方程

=

由于流體做穩(wěn)定流，微小流束的形狀不隨時間改變，則根據(jù)質(zhì)量守恒定律，在dt時間內(nèi)流入和流出微小流束的流體質(zhì)量差值為0，即：dM=ρ1u1dA1dt–ρ2u2dA2dt=0＝——可壓縮流體微小流束的連續(xù)性方程。對不可壓縮流體的穩(wěn)定流——不可壓縮流體微小流束穩(wěn)定流的連續(xù)性方程。其物理意義是：流過微小流束上任一有效斷面的體積流量均相等?；蛘哒f，在任一流束段內(nèi)的流體體積(或質(zhì)量)都保持不變。2一維總流（管流）的連續(xù)性方程（2）總流的連續(xù)性方程將微小流束連續(xù)性方程兩邊對相應(yīng)的有效斷面A1及A2進(jìn)行積分可得——總流的連續(xù)性方程，它說明可壓縮流體做穩(wěn)定流時，總流各有效斷面上的質(zhì)量流量保持不變?！豢蓧嚎s流體穩(wěn)定流總流連續(xù)性方程，其物理意義是：不可壓縮流體做穩(wěn)定流時，總流的體積流量保持不變；各有效斷面平均流速與有效斷面面積成反比，即有效斷面面積↑處，流速↓；而有效斷面面積處↓，流速↑?！纠}3】化鐵爐送風(fēng)系統(tǒng)如圖。將風(fēng)量Q＝50m3/s的冷空氣送入冷風(fēng)管（0℃時空氣密度為ρ1m＝1.293kg/m3)，再經(jīng)密筋爐膽換熱器被爐氣加熱，預(yù)熱至T＝250℃。然后經(jīng)熱風(fēng)管送入風(fēng)箱中。若冷熱風(fēng)管的直徑相等，即d1＝d2＝300mm，試計算兩管中的實際風(fēng)速v1和v2。2一維總流（管流）的連續(xù)性方程解：由一維連續(xù)性方程可知冷風(fēng)管中的流速為：從冷風(fēng)管到熱風(fēng)管遵守可壓縮流體連續(xù)性方程由此得到熱風(fēng)管中的流速再由氣體密度與體脹系數(shù)及溫度T的關(guān)系，求250℃溫度時相應(yīng)的空氣密度即：3.3理想流體（歐拉）運(yùn)動微分方程運(yùn)動微分方程將要表達(dá)的是運(yùn)動流體中力和運(yùn)動的關(guān)系。在理想流體中取一微小六面體（質(zhì)點），其平均密度設(shè)為ρ。點A處：壓強(qiáng)為p，速度為u（在三個坐標(biāo)方向的分量分別為ux，uy，uz）。整理后得同理有此式即是理想流體運(yùn)動微分方程?！俑鬏S向有，則x軸方向上的受力情況為3.3理想流體（歐拉）運(yùn)動微分方程理想流體的運(yùn)動微分方程用矢量可表示為——②式中式①和②都是理想流體運(yùn)動微分方程。1755年由歐拉提出，又稱歐拉運(yùn)動微分方程。方程表示理想流體所受外力和運(yùn)動之間的關(guān)系，是流體動力學(xué)中的一個重要方程。①3.3理想流體（歐拉）運(yùn)動微分方程——①——②因為且——③則方程①右端展開后得該方程中有四個未知數(shù)uxuyuzp。連續(xù)性方程中也包含這四個獨立變量。將這四個方程聯(lián)立，從理論上說是可以求解的。3.3理想流體（歐拉）運(yùn)動微分方程注意：運(yùn)動微分方程也可以從動量的角度去推導(dǎo)。動量＝質(zhì)量×速度動量速率＝動量/時間＝質(zhì)量×速度/時間＝質(zhì)量×加速度＝力所以，力的平衡方程也是動量速率的平衡方程。123.4實際流體的運(yùn)動微分方程考慮實際流體的粘性之后，在所取的質(zhì)點的表面上多了粘性摩擦力的作用。拉普拉斯算子3.4實際流體的運(yùn)動微分方程單位質(zhì)量流體的慣性力單位質(zhì)量流體的粘性力單位質(zhì)量流體的壓力單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力慣性力=質(zhì)量力+壓力+粘性力假如流體是靜止的，方程將如何變化？？所以，對于實際流體來說，有以下結(jié)論：

3.4實際流體的運(yùn)動微分方程說明：此方程由納維爾（Navier）和斯托克斯（Stokes）兩位科學(xué)家?guī)缀踉谕粫r期分別導(dǎo)出，所以也稱之為N-S方程。N-S方程和連續(xù)性方程組成了不可壓縮粘性流體流動的基本方程，結(jié)合具體的邊界條件和初始條件，理論上可以求解流體流動過程中空間各點的運(yùn)動參數(shù)。但是，迄今為止，由于數(shù)學(xué)和物理上的困難，尚不能求解全部流體流動的問題。只有某些問題經(jīng)過簡化后，才能應(yīng)用這些方程。目前，主要用來求解管道內(nèi)流體流動問題和管咀的出流問題，以及部分空間內(nèi)的流動問題。納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程2000年5月24日，美國克萊數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問委員會把N-S方程列為七個“千禧難題”（又稱世界七大數(shù)學(xué)難題）之一，這七道問題被研究所認(rèn)為是“重要的經(jīng)典問題，經(jīng)許多年仍未解決?！笨死讛?shù)學(xué)研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得百萬美元的獎勵。另外六個“千年大獎問題”分別是：NP完全問題霍奇猜想（Hodge）黎曼假設(shè)（Riemann）楊－米爾斯理論（Yang-Mills）龐加萊猜想BSD猜想（BirchandSwinnerton-Dyer）。N-S方程的存在性與光滑性

起伏的波浪跟隨著湖中蜿蜒穿梭的小船;湍急的氣流跟隨著噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過理解N-S方程的解來解釋和預(yù)言。但是，雖然這些方程是19世紀(jì)寫下的，我們對它們的理解仍然極少。只有數(shù)學(xué)理論有了實質(zhì)性的進(jìn)展，才能解開隱藏在N-S方程中的奧秘。3.5貝努利方程能量守恒和轉(zhuǎn)換示意圖1.理想流體流線貝努利方程已知歐拉運(yùn)動微分方程設(shè)質(zhì)點沿流線有微小位移dl，上式分別乘以dl在三個坐標(biāo)軸上的分量dx，dy，dz，然后三式相加得：若為穩(wěn)定流，即p＝p(x，y，z)，u＝u(x，y，z)，則左端壓力項1.理想流體流線貝努利方程設(shè)質(zhì)量力為有勢定常函數(shù)w＝w(x，y，z)，所以有理想流體流線貝努利方程的微分形式設(shè)為不可壓縮流體，即則有沿流線積分得理想流體流線貝努利方程方程說明：在有勢質(zhì)量力作用下，理想、不可壓縮流體、在穩(wěn)定流時，函數(shù)的值沿流線不變。1.理想流體流線貝努利方程12式說明，若有一條流線，則在實際工程中，經(jīng)常遇到的是重力場，即X＝0，Y＝0，Z＝-g此時，有此式即為重力場中，理想、不可壓縮流體、穩(wěn)定流時的貝努利（Bernoulli)方程。1738年發(fā)表.流體靜止時，該式如何變化？2.實際流體流線貝努利方程已知N-S方程若質(zhì)量力只有重力，即X＝0，Y＝0，Z＝－g三式分別乘以dx，dy，dz，然后三式相加得：設(shè)為穩(wěn)定流，則若為不可壓縮流體，則有則2.實際流體流線貝努利方程2.實際流體流線貝努利方程沿流線積分得：12重力場中，不可壓縮流體、穩(wěn)定流時流線的貝努利方程2.實際流體流線貝努利方程hvV＝0能量守恒：速度水頭：速度水頭——單位重量流體所具有的動能。速度水頭的概念3.流線貝努利方程的意義00理想流體流線貝努利方程的意義幾何意義：流線各點的總水頭沿程不變，但其位置水頭、壓力水頭和速度水頭可以互相轉(zhuǎn)換。物理意義：流線上各點的總比能沿程不變，但其比位能、比壓能和比動能可以互相轉(zhuǎn)換。z1z2z3P1/γP3/γP2/γ3.流線貝努利方程的意義實際流體流線貝努利方程的意義00幾何意義：流線各點的總水頭沿程降低。物理意義：沿流線總比能逐漸減少。3.流線貝努利方程的意義4.實際流體總流的貝努利方程上式兩端同乘以流體的重度γ和流線體積流量dQ在總流有效斷面上積分動能修正系數(shù)，試驗證明湍流時在1.05～1.20之間，層流時為2。已知實際流體流線貝努利方程4.實際流體總流的貝努利方程hw——流線有效斷面的平均能量損失，即單位重量流體從1斷面到2斷面粘性力所做的功。將以上各項代入方程中，然后方程兩端同除以重量流量γQ得：此式即為實際流體總流的貝努利方程。4.實際流體總流的貝努利方程注意：兩斷面的基準(zhǔn)要一致；兩斷面要取在緩變流上；方程兩端的壓強(qiáng)p要用統(tǒng)一基準(zhǔn)；α可以簡化；兩斷面間不能有能量輸入和輸出。小結(jié)理想流體運(yùn)動微分方程實際流體運(yùn)動微分方程理想流體流線貝努利方程實際流體流線貝努利方程實際流體總流貝努利方程SampleproblemWaterinaprocessingplantflowsinapipeatarateof700L/s，atapointwherethepipediameteris600mm,thepressureis300kPa.Findthepressureatasecondpointwherethepipediameteris300mmifthesecondpointis1.0lowerthanthefirstpoint.Neglectheadloss.作業(yè)：請推導(dǎo)實際流體的運(yùn)動微分方程（N-S方程）Floatingcloud，savemeplease，wherecanIfindNavierandStokes！Thankyouforyourattention!

3.6貝努利方程的應(yīng)用1應(yīng)用條件2畢托管3文丘里管4虹吸管5例題1.貝努利方程的應(yīng)用條件貝努利方程是流體動力學(xué)的基本方程之一，在工程實際中被廣泛應(yīng)用。該方程與連續(xù)性方程聯(lián)立使用，可以解求很多相關(guān)的工程問題。貝努利方程是N-S方程在一定條件下推導(dǎo)而出的，使用時依然要受限于這些條件。不可壓縮流體（氣流速度小于60m/s時可按不可壓縮流體處理）。穩(wěn)定流；質(zhì)量力只有重力；在緩變流上取有效斷面；沿流程流量不變；1.貝努利方程的應(yīng)用條件使用方程應(yīng)注意的問題：貝努利方程與連續(xù)性方程聯(lián)立使用可以解決很多工程問題?；鶞?zhǔn)水平面最好選在位置水頭已知的一個斷面的中心；式中的壓強(qiáng)p可以使用絕對壓強(qiáng)或表壓強(qiáng)，但兩端的基準(zhǔn)必須一致；如果兩斷面間有機(jī)械能輸入或輸出，可以在方程中加上相應(yīng)的值E：1212比托管原理圖2.畢托管比托管是測速儀，用來測量流體中點的流速。其測速原理即是貝努利方程。比托管工作原理與結(jié)構(gòu)在流場中某一水平的流線上取1、2點，并安裝兩個垂直于流速的測壓管。則有若2點換用L行測壓管，則2點處的流速變?yōu)?（駐點），則測壓管中的水頭將升高。此時有方程：2.畢托管當(dāng)1、2點無限接近的時候，hw’＝0，方程簡化為實際上垂直管測得的是該點的靜壓、L管測得的是總壓（靜壓和動壓之和）。依據(jù)此原理，將比托管設(shè)計為一體結(jié)構(gòu)，如圖所示。2.畢托管△h’接U形管之后若測量流體為氣體，則公式可以簡化?？账俟芸账俟苤饕怯脕頊y量飛機(jī)速度的，同時還兼具其他多種功能。

1.測量飛機(jī)速度

2.測量靜壓：氣壓式高度表。升降速度表

F-117“夜鷹”空速管和空速表空速表測速原理空速管上有兩種孔，側(cè)壁上一排孔叫靜壓孔，它感受大氣靜壓PH,并通過導(dǎo)管與開口膜盒外部相通；空速管前端的孔叫全壓孔，用來感受總壓P*，并通過導(dǎo)管和空速表的開口膜盒內(nèi)腔相通。這樣，膜盒內(nèi)外壓強(qiáng)就是動壓q。3.文丘里管文丘里管是用來測量管道流量的儀器。也稱之為文丘里流量計。組成：漸縮管漸擴(kuò)管喉管U形壓差計原理：設(shè)α1＝α2＝1，hw＝03.文丘里管流速系數(shù)流量系數(shù)考慮能量損失后，則有實驗證明μ＝0.95～0.99流量計常數(shù)4.虹吸管如圖所示的虹吸管，已知H1=2m,H2=6m