統(tǒng)計 講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題：統(tǒng)計

考點一隨機抽樣

1.抽樣的必要性

在實際中要全面了解總體的情況，往往難以做到，一般也不可能或沒有必要對每個個體逐一進行研究.因

為：

①一些總體中包含的個體數(shù)通常是大量的甚至是無限的.如不可能對所有的燈泡進行試驗，記錄每一個燈

泡的使用壽命；

②一些總體具有破壞性.如不可能對所有的炮彈進行試射.；

③一些調(diào)查具有破壞性.如不可能對地里所有的種子是否發(fā)芽都挖出來檢驗；

④全面調(diào)查（普查）往往要浪費大量的人力、物力和財力.

所以常通過從總體中抽取一部分個體，根據(jù)對這一部分個體的觀察研究結(jié)果，再去推斷和估計總體情況，

即用樣本估計總體一一這是統(tǒng)計學(xué)的一個基本思想.

2.抽樣調(diào)查

（1）總體：統(tǒng)計中所考察對象的某一數(shù)值指標的全體構(gòu)成的集合稱為總體.

（2）個體：構(gòu)成總體的每一個元素叫做個體.

（3）樣本：從總體中抽取若干個個體進行考察，這若干個個體所構(gòu)成的集合叫做總體的一個樣本，樣本中

個體的數(shù)目叫做樣本容量.

3.簡單隨機抽樣

（1）概念

一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取〃個個體作為樣本（〃4N）,如果每次抽取時

總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.這樣抽取的樣本，叫做簡

單隨機樣本.

（2）兩種常用的簡單隨機抽樣方法

①抽簽法(抓閹法)：一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個

容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取〃次，就得到一個容量為〃的樣本.

②隨機數(shù)法：即利用隨機數(shù)表、隨機數(shù)骰子或計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)進行抽樣.這里僅介紹隨機數(shù)表法.隨

機數(shù)表由數(shù)字0,1,2,…，9組成，并且每個數(shù)字在表中各個位置出現(xiàn)的機會都是一樣的.

注意：為了保證所選數(shù)字的隨機性，需在查看隨機數(shù)表前就指出開始數(shù)字的橫、縱位置.

(3)抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況

①抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的情況，隨機數(shù)法適用于總體中個體數(shù)較多的情況，但是當總體容量很

大時，需要的樣本容量也很大時，利用隨機數(shù)法抽取樣本仍不方便.

②一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點：

一是抽簽是否方便；二是號簽是否易攪勻.一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法.

(3)簡單隨機抽樣的特征

①有限性：簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進行分析.

②逐一性：簡單隨機抽樣是從總體中逐個地進行抽取，便于實踐中操作.

③不放回性：簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣，便于進行有關(guān)的分析和計算.

④等可能性：簡單單隨機抽樣中各個個體被抽到的機會都相等，從而保證了抽樣方法的公平.

只有四個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣.

4.系統(tǒng)抽樣

(1)概念

在抽樣中當總體個體數(shù)較多時，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽

取一個個體，得到所需的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣.

(2)步驟

一般地，假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為"的樣本，可以按下列步驟進行系統(tǒng)抽樣：

①先將總體的N個個體編號，有時可直接利用個體自身所帶的號碼，如學(xué)號、準考證號、門牌號等.

②確定分段間隔3對編號進行分段.當多(〃是樣本容量)是整數(shù)時，取々=△.

nn

③在第1段用簡單隨機抽樣的方法確定第一個個體編號1(1<k).

④按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將/加上間隔上得到第2個個體編號(/+Q,再加4得到第3個個體編號

(/+2A),依次進行下去，直到獲取整個樣本.

注意：若火不是整數(shù)，可以先從總體中隨機地剔除幾個個體，使得總體中剩余的個體數(shù)能被樣本容量整除.另

n

外，系統(tǒng)抽樣適用于總體容量較大，且個體之間無明顯差異的情況.

5.分層抽樣

(1)概念

一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，

將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.

分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的.

(2)分層抽樣問題類型及解題思路

①求某層應(yīng)抽個體數(shù)量：按該層所占總體的比例計算.

②己知某層個體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進行計算.

③分層抽樣的計算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比二舞舞=薨舞翳”

提醒：分層抽樣時，每層抽取的個體可以不一樣多，但必須滿足抽取〃,=〃?乂(i=l,2,個個體(其中i

N

是層數(shù)，”是抽取的樣本容量，N,是第i層中個體的個數(shù)，N是總體容量).

6.三種抽樣方法的區(qū)別和聯(lián)系

三種抽樣方法的特點及其適用范圍如下表：

抽樣方法共同點特點相互聯(lián)系適用范圍

簡單隨機抽樣抽樣過程中從總體中逐個抽取樣本容量較小

每個個體被將總體平均分成若干部

在起始部分抽樣時

系統(tǒng)抽樣抽到的可能分，按事先確定的規(guī)則總體容量較大

采用簡單隨機抽樣

性都相等在各部分中抽取

各層抽樣時采用簡總體由差異明

將總體分成互不交叉的

分層抽樣單隨機抽樣或系統(tǒng)顯的幾部分組

層，然后分層進行抽取

抽樣成

考點二用樣本估計總體

考向1頻率分布直方圖

1.頻率、頻數(shù)、樣本容量的計算方法

頻率

(1)贏X組距=頻率.

(2)樣頻藕數(shù)量=頻率,頻猿數(shù)=樣本容量，樣本容量X頻率=頻數(shù).

(3)頻率分布直方圖中各個小方形的面積總和等于I.

2.頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計算

(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.設(shè)中位數(shù)為x,利用x左(右)側(cè)矩形面積之和等于

0.5，即可求出x.

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊

中點的橫坐標之和，即有i=+x?Pn,其中x“為每個小長方形底邊的中點，p“為每個小長方

形的面積.

考向2百分位數(shù)

1.定義

一組數(shù)據(jù)的第。百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少

有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.

2.計算一組〃個數(shù)據(jù)的的第0百分位數(shù)的步驟

（1）按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

（2）計算i=〃？p%.

（3）若i不是整數(shù)而大于i的比鄰整數(shù)則第。百分位數(shù)為第/項數(shù)據(jù)；若，?是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為

第i項與第i+1項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3.四分位數(shù)

我們之前學(xué)過的中位數(shù)，相當于是第50百分位數(shù).在實際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有第25百

分位數(shù)，第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).

考向3樣本的數(shù)字特征

L眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平.

（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均

數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，中位數(shù)反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的中間水平.

（3）平均數(shù)：〃個樣本數(shù)據(jù)不"…,馬的平均數(shù)為1="?…+1,,反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的平均水平，公式變

n

形：2巧=nx-

1=1

2.標準差和方差

（1）定義

①標準差：標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是占,當,…,天，嚏表

示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則標準差5=韭[G＜）2+（々-42+—+（/＜）2].

Vn

②方差：方差就是標準差的平方，即S2=匕0-才2+（為一62+~+（Z-奇2].顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分

/?

散程度上，方差與標準差是一樣的.在解決實際問題時，多采用標準差.

（2）數(shù)據(jù)特征

標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動程度的大小.標準差、方差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大;

標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.反之亦可由離散程度的大小推算標準差、方差的大小.

(3)平均數(shù)、方差的性質(zhì)

如果數(shù)據(jù)西,天,……，.的平均數(shù)為方差為V,那么

①一組新數(shù)據(jù)X+b,%2+b,...x”+b的平均數(shù)為x+b，方差是1.

②一組新數(shù)據(jù)辦］,%,....〃的平均數(shù)為。無，方差是

③一組新數(shù)據(jù)叫+b,...9axn+力的平均數(shù)為。x+,方差是

考點一隨機抽樣

1、總體由編號為01，02,???,29,30的30個個體組成，現(xiàn)從中抽取一個容量為6的樣本，請以隨機數(shù)表第1

行第3列開始,向右讀取，則選出來的第6個個體的編號為()

7029171213403312382613895103

5662183735968350877597125593

A.12B.13C.03D.40

2、某中學(xué)高二年級共有學(xué)生2400人,為了解他們的身體狀況,用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的

樣本，若樣本中共有男生42人，則該校高二年級共有女生()

A.1260B.1230C.1200D.1140

3、下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數(shù)為()

①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本.

②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質(zhì)量檢驗.在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質(zhì)量

檢驗后再把它放回盒子里.

③從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢驗.

④某班有56名同學(xué)，指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽.

A.0B.1C.2D.3

4、對一個容器為N的總體抽取容量為〃的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法

抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為PSP?"?,則()

A.P\=P]<P\B.p2=P3<P\C.P\=p3Vp2D.P|=P2=P3

5、某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的

本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之

比為4:5:5:6,則應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生.

考點二用樣本估計總體

考向1頻率分布直方圖

1、某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取

了100名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30),[30,40),,[80.90],并整理得到如下頻率分布

直方圖：

(1)從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)

小于70的概率；

(2)已知樣本中分數(shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體

中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù)；

(3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中

分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相

等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.

2、從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位："""），將所得

數(shù)據(jù)分為9組：[5.31,5.33）,[5.33,5.35）,,[5.45,5.47],[5.47,5.49],

并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落

在區(qū)間[5.43,5.47）內(nèi)的個數(shù)為（）

A.10B.18C.20D.36

3、我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方

案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位

居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5）,

[0.5,1）,……[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直

方圖.

（1）求直方圖中的。值；

（2）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù).說明理由;

（3）估計居民月均用水量的中位數(shù).

4、5,6,7,8,9,10,11,12,13,14的25%分位數(shù)為,75%分位數(shù)為,90%分

位數(shù)為.

5、調(diào)查某校高三年級男生的身高，隨機抽取40名高三男生，實測身高數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：

171163163166166168168160168165

171169167169151168170168160174

165168174159167156157164169180

176157162161158164163163167161

試估計該校高三年級男生的身高數(shù)據(jù)的30%分位數(shù).

6、某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相

對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率的頻數(shù)分布表.

y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企業(yè)數(shù)224