高考數(shù)學（新高考版）一輪復習教師用書素養(yǎng)提升 高考中數(shù)列解答題的提分策略

素養(yǎng)提升3高考中數(shù)列解答題的提分策略

示例tL[2019全國卷H,12分]已知數(shù)列｛〃｝和｛bj滿足。1=1,歷=0,4。/1=3Mbn+4,4b“+i=3b"Qn

4.

⑴證明:Sn+b"｝是等比數(shù)列,｛分加｝是等差數(shù)列；

(2)求｛%｝和｛6｝的通項公式.

思維導引>(1)將已知條件中與外,仇有關的兩式相力口，根據(jù)等比數(shù)列的定義證明｛冊+6｝是等比

數(shù)列;將已知條件中與外力”有關的兩式相減，根據(jù)等差數(shù)列的定義證明｛。06｝是等差數(shù)列.

(2)①根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式分別求出｛冊+也｝與｛外b"｝的通項公式；

②將｛為+6｝與｛品兒｝的通項公式相加減后除以2,分別求出｛o〃｝和｛d｝的通項公式.

規(guī)范解答>(1)由題意可知ai+bi=l,aibi=l.

因為4。"*1+46.+1=3。“b“+4+3b"a"4=2an+2b”，

nn?n+l+^n+l_1

an+bn-2*.....................................................................Q

所以數(shù)列｛為+6｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列.....................................G

因為4。。+1^bn+l—3Qnb0+4(3b〃On4)=444b〃+8,

即(Oc+1b〃+i)(<7nbn)=2,...............................................................................................................(、2)

所以數(shù)列6｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列..................................

(2)由(1)知，?！?b行焉.............................................................D

Onbn=2/11.........(§)

所以a,=3(On+b")+(。"bn)]=^+n1.................................................................................................7.

bn=^(an+bn)(anbn)]=^；n+1........................................................................................................

得分點

①根據(jù)條件求出干*=，得2分；

第⑴問

采點得②寫出結論得1分；6分

分說明

③根據(jù)條件求出(為+1bn+i)(an6)=2得2分；

④寫出結論得1分.

⑥求出數(shù)歹収冊+?。耐椆降?分；

⑥求出數(shù)列｛〃》｝的通項公式得1分；

第⑵問

⑦由a=1[(a+b)+(a6)]求得數(shù)列｛a>｝的通項公式得2

采點得nnnn6分

分說明

分；

⑧由6=?(冊+伍)(On6)］求得數(shù)列｛6｝的通項公式得

2分.

1.解答數(shù)列類大題的關鍵

熟練把握等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項公式、前"項和公式及相應的性質

是解數(shù)列問題的關鍵.

滿

2.化歸與轉化思想的運用

分當給定的數(shù)笳1纖等差數(shù)列或等比數(shù)列時，應利用化歸思想或構造思想,將給定

策

的數(shù)列轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解.

略

3.解數(shù)列求和題的技巧

重點要掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式以及常用的"錯位相減法""裂項相消

法"等方法.解決問題的關鍵在于數(shù)列的通項公式，要根據(jù)通項公式的特征準確選

擇相應的方法.

2［2017111,121+32+...+(2"

示例全國卷分］設數(shù)列｛。"｝滿足。。l)an=2n.

⑴求｛0〃｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛円的前n項和.

觀察等式結構

思維導引也)CH+3a2+...+伽l)an=2n數(shù)列｛(2〃1)d｝的前n項和1利用通項與前〃項和的關系求解

規(guī)范解答?(1)因為6+3。2+...+(2〃l)an=2n①，

故當*2時,QI+3G2+...+(203)ani=2(n1)(2)..........................分

①②得(2c1)為=2,所以冊=今...................................

又當n=l時,。尸2滿足上式.............................................5”；分3；

所以｛為｝的通項公式為。.=三.........................................

⑵記數(shù)列｛R｝的前n項和為Sn,

由⑴知爲=上一肅...............................S

貝I1Sn=(l1)+(1-1)+-+(T7T-TTT)...............................................................

1

2n+l

...............................................................................................................................12分(得分點7)

素養(yǎng)考查途徑

數(shù)學運算裂項相消法求和.

素養(yǎng)

觀察已知式子的特點，利用前n項和與通項的

探源

邏輯推理

關系求解通項;根據(jù)產(chǎn)7=，、的特點裂

2n+l(2n-l)(2n+l)

項求和.

(1)得步驟分:抓住得分點的解題步驟，"步步為嬴".第(1)問中，

由a〃滿足的關系式,通過消項求得外,并驗證當n=l時成立，

從而寫出結果.第⑵問中觀察數(shù)列通項公式的結構特征，利

得分用裂項相消法求得數(shù)列的前n項和Sn.

要點(2)得關鍵分:①a.1滿足的關系式;②驗證n=l;③對通項

裂項.這些都是必不可少的過程，有則給分，無則沒分.

(3)得計算分:解題過程中計算準確是得滿分的根本保證.如

得分點2,5,7.

求數(shù)列通項與前n項和的步驟

第一步:由等差(等比)數(shù)列的定義求通項，或者由遞推公式求

答題通項.

模板第二步:根據(jù)前0項和的表達式或通項的特征,選擇適當?shù)姆?/p>

法求和.

第三步:明確、規(guī)范地表述結論.

鹹3[2018浙江,15分]已知等比數(shù)列｛冊｝的公比勺乜且已產(chǎn)=28產(chǎn)+2足。3警等基屮項數(shù)列

｛b｝滿足bi=l數(shù)列｛(“"+「"")"")的前n項機為2"2+n

③

(1)求q的值；

(2)求數(shù)列｛6｝的通項公式.

思維導引F)由①可知0+。5=2(。4+2),代入②可求出。4及。3+as,進而可求出公比q；⑵由③及

"an=SnS”i"可求出數(shù)列｛(d+i6)。“｝的通項公式,由⑴可先求出外,然后可求出｛6+16｝的

通項公式,再用疊加法及錯位相減法即可求出｛d｝的通項公式.

規(guī)范解答”)由04+2是03,05的等差中項彳導。3+。5=2。4+4,所以。3+。4+。5=3。4+4=28,解得04=8.

分)

由。3+。5=2(\得8(^+q)=20,

解得q=2或q=|................................................................................................................................(5')

因為q>l,所以q=2..........................................................................................................................(6'i

⑵設Cn=(bn+16)?！?數(shù)列｛Cn｝的前n項和為Sn.

由0=龍1彳=解得金=401..............................................................................................9

(Sn-S”一1,71>2,

由(1)可知a〃=2"1,

所以b"+ib?=(4nl)-(1)n1........................................................................................................

故6bn1=(4。5)-(1)n2,*2,

bnbl二(bebni)+(bn1bn2)+...+(b3b2)+(b2bl)

=(4n5)-(1)n2+(4n9).(1)n3+...+7-1+3...................................................................................。；分)

n

設7n=3+7}11?2+...+(4n5).(1)2,"22,

貝嚀〃=3-1+7?(乎+...+(4n9MJ"2+(4n5)-(1)n1....................................................................(13分)

所以外=3+4a4?鏟+...+4鈔2(4n5)e1

因此厶=14(4n+3)-(1)n2,n>2...................................................................................................6分)

又4=1,所以加=15(4n+3)-(1)n2.............................................................................................分)

3感悟升華

本題主要考查等差中項,等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列的通項

命題

與前。項和的關系等，同時考查了方程、轉化與化歸等思想

探源

方法，以及數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

⑴高考復習中將"邊緣化"知識遺忘,如將"等差中項"這一概

念遺忘，以致無法找到解題的切入點.

⑵沒有運用方程思想解決問題.如沒有將。3+。5=2。4+4代入

②中求出。4及。3+。5等.

⑶沒有掌握好公式、“=5"S"1”及其蘊含的思想方法，以致

無法求出｛(bn+1bn)。"｝的通項公式.

失分

探源⑷求出6+16n=(4n1)(乎】后,不能運用疊加法求出兒.

⑸沒有掌握好錯位相減法，以致求出bnbl的表達式后無

法化簡.

⑹計算錯誤.如在用錯位相減法求b"bl的過程中出現(xiàn)錯

誤.

⑺在最后一步直接把Tn當作①,導致錯誤.

［2020皖北五校聯(lián)考,12分］設5.為等比數(shù)列｛為｝的前n項和，且S3S2=2aA.

⑴若01=1,求On；

⑵若。4<0,求使得8s后15al成立的n的取值范圍.

［2020山西大學附屬中學校診斷,12分］己知等比數(shù)列｛a0｝的前n項和為S"(nGN*),2S2,S3,4S4

成等差數(shù)列，且。2+2。3+。4=白

16

⑴求數(shù)列｛為｝的通項公式；

⑵若bn=S+2)log2|Gc|,求數(shù)歹!!｛：｝的前n項和Tn.

［原創(chuàng)題,12分］已知正項數(shù)列｛冊｝的前n項和為Sn,ai=l&=彳+i厶楨,其中入為常數(shù).

⑴證明$+1=25“+無

⑵是否存在實數(shù)A,使得數(shù)列｛叫為等比數(shù)列？若存在，求出A；若不存在,請說明理由.

［12分］已知數(shù)列｛為｝的前n項和為5",所1,且滿足Sn=an+1.

⑴求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛"即｝的前n項和Tn.

［12分］己知數(shù)列｛咐的各項均為正數(shù)，且堤2ml(2"+l)=0,nGN*.

⑴求數(shù)列｛冊｝的通項公式；

⑵若bn=(1)〃求數(shù)列｛姐的前n項和Tn.

［原創(chuàng)題,10分］已知數(shù)列｛?！埃那皀項和％=2冊2,設6=(2。l)an(neN,).

(1)求數(shù)列｛a“｝的通項公式及數(shù)列｛b4的前n項和Bn;

⑵設C0=2-烏p數(shù)列｛金｝的前n項和為是否存在正整數(shù)k,使得對任意的n均有7侖丁??

若存在，求岀k的值;若不存在,請說明理由.

［開放題,10分］在①①=。3+。5；②兒+仇=3。3+3。5；③。2+。3=①這三個條件中任選一個,補充在

下面的問題中，若問題中的k存在，求出k的值;若k不存在，說明理由.

已知3｝是等差數(shù)歹U,其前n項和為5",｛咐是公比大于0的等比數(shù)列,必=1力3也+2力5=。4+2。6,

且設金=9是否存在k,使得對任意的"GN’,都有ck<cn?

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

素養(yǎng)提升3高考中數(shù)列解答題的提分策略

1.⑴設｛冊｝的公比為q,

S352=204,；?。3=2。4,（2分）

.?1

??q=一4=:（3分）

。32

又01=1,

n

Aan=aiq\（5分）

（2）V04=。逐（；）3<0,/.ai<0.（7分）

,?*85n>15oi,/?8niX—>15GI,（9分）

■

???16（1歩15,（10分）

--193帶*=GN,

即使得85后15ai成立的n的取值范圍為{n|lS"“,nGN}.（12分）

2.(1)設等比數(shù)列｛為｝的公比為q由252,S3,4S4成等差數(shù)列，可知q〃,2$3=4S42s即

2,第丄2?羋,化簡得2q2q1=0,解得q=妬2+2。3+。4=七即+i+2'i初=,

1-q1-q1-q21624816

n

解得Gi=糸則On=（1）,n￡N.(5分)

⑵b產(chǎn)(n+2)log2ml=(n+2)log23nm+2)國得:=嬴匕=長-37),

Lbnn(n+2)Inn+Z

貝U〃=%-+--1+...+^----------+-——-)=-(l-H-——!----------)=--i(—+—).(12分)

2'324n-1n+1nn+2，2、2n+1n+2f42、+ln+27''

3.(1)?On+l=Sn+lSn,S4=Cl2ASn+1,

.?蜀=區(qū)+分)

10)2ASn+1,(1

分)

.,.Sn+i(Sn+i2Sn4)=0.(3

?o〃>0,??S〃+i>0,

??Sn+12SnA=0,??Sn+l=25n+A.(5分)

)

(2VSn+l=2Sn+A,

??Sn=25ni+A(n>2),

兩式相減，得分)

an.i=2an(n>2).(8

V52=25I+A,EP。2+。1=2。1+兒

???。2=1+兒由。2>0,得人>1.

若｛。"｝是等比數(shù)列，則。1。3=說，(10分)

即2(4+1)=(4+項得A=l.(11分)

經(jīng)檢驗)=1符合題意.

故存在4=1,使得數(shù)列｛冊｝為等比數(shù)列.(12分)

4.(l)VSn=a?ti,

:.當n=l時,。2=1,當n>2時,Sni=an,

??On-SnSni=<7n+l?.。"+1=2。“(。22),

'.，。1=1,。2=1,不滿足上式，

數(shù)列｛時是從第二項起的等比數(shù)列,公比為2,

Jl,n=1,

On=l2n-2,n>2.(6分)

(2)由⑴知，當1=1時,兀=1,

當n>2時,7"=l+2x2°+3x2i+...+nx2"2,

12n

2Tn=lx2+2x2+3x2+...+nx2\

12n2nn1

Tn=l+2+2+...+2nx21=詈nx2

二T?=(n1)x2"XL

當n=l時也滿足上式,

綜上,丁產(chǎn)(。1)x2"41.(12分)

5.⑴由*2na?(2n+l)=0得?,(2n+l)].(a?+l)=0,

所以。"=2。+1或a產(chǎn)1.

又數(shù)列｛。.｝的各項均為正數(shù),

所以an=2n+l,neN,.(5分)

⑵由⑴知a"=2n+l,"GN",b“=(l)nM=(l)n】?(2/?+l),

所以厶=35+79+...+(l)nx-(2n+l)①,

nn

故Tn=3+57+9...+(l)，(2n1)+(l)-(2n+l)②,

n2l)"-(2nl)=32X號/

①②得,2Tn=32[11+11+...+(l)]+

(l)n-(2n+l)=2+(l)n1(1產(chǎn)(2。+1)=2+(l)ni(2n+2),

n

所以fn=l+(l)i(n+l).(12分)

6.(1)?Sn=2.0n2,??S"+i=2a”+i2,

兩式相減得妬+1=2冊,易知ai=2,

n

，數(shù)列｛an｝是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列，所以an=2.(2分)

：.bn=(2n1)2",(3分)

2n

.,.Bn=l-2+3-2+...+(2nl)-2,

23n+1

2Bn=l-2+3-2+...+(2nl)-2,

2nn+1n+1

兩式相減得Bn=l-2+2-2+...+2-2(2nl)-2=(32n)26,

n+1

，Bn=6+(2n3)-2.(5分)

(2)由⑴知-満=爲[竽1],

易知Cl=0,C2>0,C3>0,C4>0,C5<0.

n>5時,*(+l)(n+2)_(n-2)(n+l)

77i-TTi〉U

：.n>5時，數(shù)列｛竽｝是遞減數(shù)列.(7分)

又"=5時，竿<1,

：.n>5時，數(shù)列｛等｝的各項均小于1,

/.n>5時,Cn<0.

1?7"1<7~2<丁3<74,「>75>3,

存在正整數(shù)k=4,使得對任意的n均有TM.（10分）

7.設數(shù)列｛冊｝的公差為d,｛b