重點(diǎn)突圍：專題04 實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及規(guī)律探究（解析版）-人教七下期中綜合復(fù)習(xí)

七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期中期末綜合復(fù)習(xí)專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版）專題04實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及規(guī)律探究【典型例題】1．（2021·山西介休·八年級(jí)期中）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)先化簡(jiǎn)原式中的立方根,平方根和絕對(duì)值再計(jì)算即可;(2)利用二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可【詳解】解：（1）原式=2＋2－3＋=4－2（2）原式=－=【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是掌握計(jì)算順序，注意結(jié)果符號(hào)的判斷．2．（2021·江蘇興化·八年級(jí)期中）已知某正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根分別是2a-17和a+8，b-10的立方根是﹣2，c是的整數(shù)部分．(1)求a-b+c的值．(2)求a+ba+3c的平方根．【答案】(1)3；(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)某正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根分別是和，即可列出關(guān)于a的等式，解出a，即得到a的值．根據(jù)的立方根是，即可求出b的值．根據(jù)c是的整數(shù)部分，即可知c的值．最后將a、b、c的值代入要求的式子求值即可；（2）將a、b、c的值代入計(jì)算求值，再求出其平方根即可．(1)∵某正數(shù)的兩個(gè)不同的平方根分別是和，∴，解得：．∵的立方根是，即，∴，解得：；∵c是的整數(shù)部分，且，∴．∴．(2)∵，.∴的平方根是．【點(diǎn)睛】本題考查平方根、立方根，無理數(shù)的估算及代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根和立方根的定義．3．（2022·全國(guó)·七年級(jí)）將下列各數(shù)填入相應(yīng)的橫線上：整數(shù)：{…}有理數(shù)：{…}無理數(shù)：{…}負(fù)實(shí)數(shù)：{…}．【答案】；；，-3.030030003…，π；-3.030030003…，；【解析】【分析】有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)，整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，按照無理數(shù)、有理數(shù)的定義及實(shí)數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類即可.【詳解】整數(shù)：{}有理數(shù)：{}無理數(shù)：{，-3.030030003…，π…}；負(fù)實(shí)數(shù)：{-3.030030003…，…}；【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的概念與分類，掌握“實(shí)數(shù)的分類與概念”是解本題的關(guān)鍵.4．（2021·山西·朔州市第二中學(xué)校初中部七年級(jí)期中）（1）計(jì)算；；；（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算結(jié)果可知，__________．（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的位置，化簡(jiǎn)．【答案】（1）3，6，，0；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義分別計(jì)算即可；（2）根據(jù)計(jì)算結(jié)果歸納可得；（3）根據(jù)數(shù)軸得到a，b的關(guān)系和符號(hào)，再結(jié)合（2）中結(jié)論去絕對(duì)值化簡(jiǎn)．【詳解】解：（1）3，6，，0；（2）由計(jì)算結(jié)果可知：；（3）由數(shù)軸可得：a＜0＜b，∴a-b＜0，∴===【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【專題訓(xùn)練】選擇題1．（2022·福建石獅·八年級(jí)期末）下列各數(shù)中是無理數(shù)的是（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：A．0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；B．是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；C．是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；D．是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；故選C【點(diǎn)睛】此題考查了無理數(shù)的定義．解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)的定義，注意初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…（每?jī)蓚€(gè)1之間0的個(gè)數(shù)依次加1），等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．（山東省濟(jì)南市片區(qū)聯(lián)考2021-2022學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）16的平方根是（）A．±16 B．±8 C．±4 D．±2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，求解即可．【詳解】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根，熟練掌握平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)，是解題關(guān)鍵．3．（2022·湖南漢壽·八年級(jí)期末）下列說法不正確的是（）A．是的一個(gè)平方根 B．的立方根是C．的平方根是 D．的值是【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義解答即可．【詳解】解：A、3是9的一個(gè)平方根，選項(xiàng)正確，不符合題意；B、（－3）3的立方根是－3，選項(xiàng)正確，不符合題意；C、（－4）2的平方根是±4，選項(xiàng)正確，不符合題意；D、的值是2，選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義，理解各自定義并能正確求解是解答的關(guān)鍵．4．（2022·山東商河·八年級(jí)期末）已知，那么（）A．2 B．3 C．-2 D．8【答案】A【解析】【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及算術(shù)平方根的性質(zhì)得出a，b的值，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：∵|a-5|+=0，∴a-5=0，b-3=0，解得：a=5，b=3，∴a-b=5-3=2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，正確得出a，b的值是解題關(guān)鍵．5．（2022·浙江奉化·七年級(jí)期末）已知，，，．若n為整數(shù)且，則n的值為（）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】B【解析】【分析】由已知條件的提示可得，即得出．再根據(jù)，且n為整數(shù)，即可得出答案．【詳解】∵，∴，即．∵，n為整數(shù)．∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是無理數(shù)的估算，掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵.二、填空題6．（2022·湖南漢壽·八年級(jí)期末）的立方根是__________；的算術(shù)平方根是___________；的平方根是____________．【答案】4【解析】【分析】依據(jù)立方根、算術(shù)平方根、平方根的定義解答即可．【詳解】解：-8的立方根是-2，16的算術(shù)平方根是4，=4，4的平方根為±2．故答案為：-2，4，±2．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是立方根、平方根、算術(shù)平方根的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．7．（2021·北京四中房山校區(qū)九年級(jí)期中）比大?。篲_____0.5．（填“＞”、“＝”、“＜”）【答案】【解析】【分析】由，得，故，那么可得與0.5的大小關(guān)系．【詳解】解：，，即，，即，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根的性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)，熟練掌握算術(shù)平方根的性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·黑龍江·肇東市第七中學(xué)七年級(jí)期末）在，，，，，0.3232，，0，中，負(fù)無理數(shù)有_____個(gè)．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的概念以及開平方根和開立方根，逐個(gè)數(shù)據(jù)判斷即可．【詳解】∵是正無理數(shù)，是負(fù)無理數(shù)，是有理數(shù)，是有理數(shù)，是有理數(shù)，0.3232是有理數(shù)，是正無理數(shù)，0是有理數(shù)，是有理數(shù)，∴上述數(shù)據(jù)中負(fù)無理數(shù)的個(gè)數(shù)為1個(gè)．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的分類，開平方根和開立方根．掌握有理數(shù)和無理數(shù)的概念是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·廣東普寧·八年級(jí)期末）若a是的整數(shù)部分，b是它的小數(shù)部分，則a﹣b＝_____．【答案】##【解析】【分析】先估算出的范圍，再求出a、b的值，最后代入求出即可．【詳解】解：∵2＜＜3，又∵a是的整數(shù)部分，b是它的小數(shù)部分，∴a＝2，b＝﹣2，∴a﹣b＝2﹣（﹣2）＝4﹣．故答案為：4﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小和求代數(shù)式的值，能估算出的范圍是解此題的關(guān)鍵．10．（2021·重慶市兩江中學(xué)校七年級(jí)期中）己知4m+15的算術(shù)平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，則＝___．【答案】4【解析】【分析】利用算術(shù)平方根，立方根定義求出m與n的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【詳解】由題意可得：，，解得：，，∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義．解題的關(guān)鍵是掌握平方根、立方根的定義．如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正數(shù)叫做a的算術(shù)平方根，．如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根．三、解答題11．（2022·江蘇錫山·八年級(jí)期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)1【解析】【分析】（1）先同時(shí)計(jì)算乘方和開方，再計(jì)算加減法；（2）先同時(shí)計(jì)算乘方和開方，再計(jì)算乘除法，最后計(jì)算加減法．(1)解：原式＝1＋4－2＝3；(2)解：原式＝＝－2＋3＝1．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，正確掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則，會(huì)求一個(gè)數(shù)的立方根及算術(shù)平方根，以及實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．12．（2021·重慶·七年級(jí)期末）計(jì)算．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根以及立方根的定義，可解決此題．（2）先去括號(hào)及求出絕對(duì)值，再進(jìn)行運(yùn)算．(1)(2)【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根、立方根以及絕對(duì)值，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根以及絕對(duì)值是解決本題的關(guān)鍵．13．（2020·福建·晉江市第一中學(xué)七年級(jí)期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：，2.3，，，，0，，，正數(shù)集合｛_________________________…｝；負(fù)數(shù)集合｛_________________________…｝；負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛_________________________…｝；非正整數(shù)集合｛_________________________…｝．【答案】2.3，，，；，，，；，；，，0【解析】【分析】先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再根據(jù)有理數(shù)的分類填空即可．【詳解】正數(shù)集合｛2.3，，，…｝；負(fù)數(shù)集合｛，，，…｝；負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛，…｝；非正整數(shù)集合｛，，0，…｝．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的分類，掌握實(shí)數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵．14．（2020·江蘇相城·八年級(jí)期中）已知2a+4的立方根是2，3a+b－1的算術(shù)平方根是3，的小數(shù)部分為c．(1)分別求出a，b，c的值；(2)求a+b的平方根．【答案】(1)，，(2)【解析】【分析】（1）利用立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、無理數(shù)的估算方法，即可求出a、b、c的值；（2）求出a+b的值，再求其平方根即可．(1)∵的立方根是2，的算術(shù)平方根是3，∴解得：．∵c是的小數(shù)部分，，∴．(2)∵a=2，b=4∴a+b=6，∴a+b的平方根是．【點(diǎn)睛】本題考查立方根的意義、算術(shù)平方根的意義、無理數(shù)的估算方法、代數(shù)式求值、求一個(gè)數(shù)的平方根等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．15．（2021·重慶·七年級(jí)期中）（1）表示實(shí)數(shù)，的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)代數(shù)式的值．（2）如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上a的位置，判斷出a，b的取值范圍，然后代入所求的式子中進(jìn)行化簡(jiǎn)；（2）先估算出與的大小，從而得到a、b的值，然后代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）由數(shù)軸知a-1＞0，a-2＜0，b＜0，∴；（2）∵，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握估算無理數(shù)的方法以及會(huì)根據(jù)數(shù)軸判定實(shí)數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．16．（2020·廣東·珠海市第八中學(xué)七年級(jí)期中）你能找出規(guī)律嗎？（1）計(jì)算：＝，＝；＝，＝．結(jié)論：；．（填“＞”，”＝”，“＜”）．（2）請(qǐng)按找到的規(guī)律計(jì)算：①；②．（3）已知：a＝，b＝，則＝（可以用含a，b的式子表示）．【答案】（1）6，6，20，20，＝，＝；（2）①10，②4；（3）【解析】【分析】（1）首先求出每個(gè)算式的值是多少，然后總結(jié)出規(guī)律：，據(jù)此判斷即可．（2）根據(jù)，可得，，據(jù)此解答即可．（3）根據(jù)，，可得，據(jù)此解答即可．【詳解】解：（1）∵，；，．∴；；故答案為：6，6，20，20，＝，＝；（2）①；②；（3）∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查算數(shù)平方根，掌握求一個(gè)數(shù)算術(shù)平方根的方法為解題關(guān)鍵．17．（2021·河北灤州·八年級(jí)期中）閱讀下列過程，回答問題（1）通過計(jì)算下列各式的值探究問題：______，______，______，______．探究：當(dāng)時(shí)，______；當(dāng)時(shí)，______．（2）應(yīng)用（1）中所得結(jié)論解決問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．【答案】（1）2；0；；3：a；