二面角的求法精華版二面角

1、掌握二面角的定義法；2、掌握二面角的三垂線法；3、掌握二面角的垂面法;4、掌握二面角的射影面積法;5、掌握二面角的向量法。學(xué)習(xí)目標(biāo):1精品PPT·值得借鑒第一頁，共二十一頁。

從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.二面角的定義:復(fù)習(xí):2、二面角的表示方法AB

二面角

－AB－

l二面角

－l－

二面角C－AB－DABCDABCEFD二面角C－AB－E1、定義2精品PPT·值得借鑒第二頁，共二十一頁。二面角的平面角:

ABP

l二面角的平面角必須滿足：3）角的兩邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點(diǎn)在棱上2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)二面角的平面角的范圍:0

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二面角的大小用它的平面角的大小來度量

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。A1B1P1注意:(與頂點(diǎn)位置無關(guān))∠APB=∠A1P1B13精品PPT·值得借鑒第三頁，共二十一頁。一、幾何法：1、定義法:以二面角的棱a上任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA,OB，則∠AOB就是此二面角的平面角。aOAB在一個(gè)平面內(nèi)選一點(diǎn)A向另一平面作垂線AB，垂足為B，再過點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連結(jié)AO，則∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法:過二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥于B，作AC⊥于C，面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角。aABCO2、三垂線法:ABOa4精品PPT·值得借鑒第四頁，共二十一頁。PABCD過E作ED⊥PC于D，則∠BDE就是此二面角的平面角。連結(jié)BD，過B作BE⊥AC于E，E

∵△ABC為正△，∴BE=在Rt△PAC中，E為AC中點(diǎn)，則DE=在Rt△DEB中tan∠BDE=∴∠BDE=arctan例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。三垂線法:5精品PPT·值得借鑒第五頁，共二十一頁。幾點(diǎn)說明：⑴定義法是選擇一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向棱作垂線，再由垂足在另一個(gè)面內(nèi)作棱的垂線。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計(jì)算，不是我們首選的方法。⑵三垂線法是從一個(gè)平面內(nèi)選一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向另一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線，連結(jié)這個(gè)點(diǎn)和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，計(jì)算簡便，所以我們常用此法。⑶垂面法需在二面角之間找一點(diǎn)向兩面作垂線，因?yàn)檫@一點(diǎn)不好選擇，所以此法一般不用。⑷以上三種方法作平面角都需寫出作法、證明、指出平面角。⑸射影法是在不易作出平面角時(shí)用。在解答題中要先證明射影面積公式，然后指出平面的垂線，射影關(guān)系，再用公式,這種方法雖然避免了找平面角，但計(jì)算較繁，所以不常用。6精品PPT·值得借鑒第六頁，共二十一頁。練習(xí)1:正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(diǎn)，求平面EB1C和平面ABCD所成的二面角。ABCDA1B1C1D1E7精品PPT·值得借鑒第七頁，共二十一頁。EFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH練習(xí)2：在正方體AC1中，E,F分別是中點(diǎn),求截面A1ECF和底面ABCD所成的銳二面角的大小。8精品PPT·值得借鑒第八頁，共二十一頁。EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C練習(xí)2：在正方體AC1中，E,F分別是中點(diǎn),求截面A1ECF和底面ABCD所成的銳二面角的大小。9精品PPT·值得借鑒第九頁，共二十一頁。PPT內(nèi)容概述1、掌握二面角的定義法。精品PPT·值得借鑒。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.。復(fù)習(xí):。二面角－l－。二面角C－AB－E。3）角的兩邊都要垂直于二面角的棱。二面角的平面角的范圍:0180。二面角的大小用它的平面角的大小來度量?！螦PB=∠A1P1B1。以二面角的棱a上任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA,OB，則∠AOB就是此二面角的平面角?！摺鰽BC為正△，∴BE=。在Rt△PAC中，E為AC中點(diǎn)，。tan∠BDE=。例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的大小。⑴定義法是選擇一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)（一般為這個(gè)面的一個(gè)頂點(diǎn)）向棱作垂線，再由垂足在另一個(gè)面內(nèi)作棱的垂線。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好計(jì)算，不是我們首選的方法。2、平面法向量法:第十頁，共二十一頁。練習(xí)3：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC（1）求二面角P-BC-A的大?。唬?）求二面角A-PC-B的大小。PABCDE11精品PPT·值得借鑒第十一頁，共二十一頁。1、方向向量法:二、向量法：lABCD將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量（在二面角的面內(nèi)垂直于二面角的棱且指向該面方向的向量）所成的角。12精品PPT·值得借鑒第十二頁，共二十一頁。xyz解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，不妨設(shè)正方體的棱長為2，BD的中點(diǎn)為O，則B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0）∴A1O⊥BD，C1O⊥BD∴即為二面角A1-BD－C1的平面角?！?/p>

二面角A1－BD－C1的大小為13精品PPT·值得借鑒第十三頁，共二十一頁。求二面角的大小，先求出兩個(gè)半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補(bǔ)求出二面角的大小。

mn如圖：二面角的大小等于-<m,n>2、平面法向量法:14精品PPT·值得借鑒第十四頁，共二十一頁。2、平面法向量法:求二面角的大小，先求出兩個(gè)半平面的法向量的夾角，然后根據(jù)二面角與其大小相等或互補(bǔ)求出二面角的大小。mnαβ如圖：二面角的大小等于<m,n>15精品PPT·值得借鑒第十五頁，共二十一頁。例4:在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，

AD=

SA=AB=BC=1，求面SCD與面SBA所成的二面角的大小.xyz解：以A為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系。16精品PPT·值得借鑒第十六頁，共二十一頁。因?yàn)槎娼菫殇J角。17精品PPT·值得借鑒第十七頁，共二十一頁。xyz18精品PPT·值得借鑒第十八頁，共二十一頁。19精品PPT·值得借鑒第十九頁，共二十一頁。20精品PP