二重積分的概念與性質(zhì)

第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、問題的提出二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)思考題1第一頁，共七十五頁。復習和總結(jié)（1）定積分是用來解決哪一類問題？（2）解決這一類問題采用了什么思想方法？定積分答：求非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間答：“分割,取近似,求和,取極限”（3）如何計算定積分？2第二頁，共七十五頁。現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題推廣所計算的量與多元函數(shù)及平面或空間區(qū)域有關(guān)被積函數(shù)積分范圍二元函數(shù)平面區(qū)域二重積分三元函數(shù)空間區(qū)域三重積分一段曲線曲線積分一片曲面曲面積分問題:積分類型3第三頁，共七十五頁。柱體體積=底面積×高【特點】平頂.柱體體積=？【特點】曲頂.曲頂柱體1．曲頂柱體的體積一、問題的提出——引例4第四頁，共七十五頁。類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：xoy

面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,取近似,求和,取極限”解法5第五頁，共七十五頁。步驟如下②取近似、③求和：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，①分割：先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，得曲頂柱體的體積④取極限：6第六頁，共七十五頁。2．求平面薄片的質(zhì)量⑴分割：將薄片分割成若干小塊，⑵近似：取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，⑶求和：所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量分析

=常數(shù)時，質(zhì)量=·，其中

為面積.⑷取極限：得薄片總質(zhì)量若

為非常數(shù)，仍可用“分割,取近似,求和,取極限”解決.7第七頁，共七十五頁。兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割,取近似,求和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:8第八頁，共七十五頁。二、二重積分的定義及可積性1.定義將區(qū)域D

任意分成n個小區(qū)域任取一點若存在一個常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達式面積元素記作是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),9第九頁，共七十五頁。2.【對二重積分定義的說明】(3)f(x,y)在D上有界是二重積分存在的必要條件.代替？不能連續(xù)是二重積分存在的充分條件用(1)積分存在時，其值與區(qū)域的分法和點的取法無關(guān)(證明略)10第十頁，共七十五頁。3.【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】表曲頂柱體的體積.1)若表曲頂柱體體積的負值.2)若3)若表區(qū)域D的面積.幾個特殊結(jié)果體積的代數(shù)和11第十一頁，共七十五頁。[注]1.重積分與定積分的區(qū)別：

重積分中d

0,定積分中dx可正可負.2.根據(jù)分割的任意性，當二重積分存在時，在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D故二重積分可寫為D則直角坐標系下面積元素為即引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:12第十二頁，共七十五頁。性質(zhì)1性質(zhì)2（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)逐項積分線性性質(zhì)可以推廣至有限個函數(shù)的情形。線性性質(zhì)13第十三頁，共七十五頁。性質(zhì)3對區(qū)域具有可加性性質(zhì)4若為D的面積，性質(zhì)5若在D上特殊地則有比較性質(zhì)14第十四頁，共七十五頁。性質(zhì)6性質(zhì)7二重積分中值定理二重積分估值不等式曲頂柱體的體積等于一個平頂柱體的體積幾何意義15第十五頁，共七十五頁。證明以下僅證性質(zhì)7（中值定理）由估值性質(zhì)得據(jù)有界閉域上的連續(xù)函數(shù)的介值定理變形后【得證】16第十六頁，共七十五頁。比較下列積分的大小:其中積分域D的邊界為圓周它與x

軸交于點(1,0),而區(qū)域D位從而于直線的上方,故在D上作業(yè)題、課后習題見作業(yè)答案解法或有關(guān)習題解答例1解Ⅰ解Ⅱ17第十七頁，共七十五頁。例2解18第十八頁，共七十五頁。解課后習題例319第十九頁，共七十五頁。機動被積函數(shù)相同,且非負,由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關(guān)系:練習解[提示]

被積函數(shù)相同，則比較區(qū)域D的大小.20第二十頁，共七十五頁。2.設(shè)D是第二象限的一個有界閉域,且0<y<1,則的大小順序為()因0<y<1,故故在D上有提示區(qū)域D相同，則比較被積函數(shù)的大小21第二十一頁，共七十五頁。D

位于x軸上方的部分為D1,在D上1.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域D上連續(xù),D關(guān)于x

軸對稱,則則[補充]在分析問題和計算二重積分時常用的對稱奇偶性當區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時有類似結(jié)果.2.若D關(guān)于原點對稱,(1)(2)D2為y軸右方的部分22第二十二頁，共七十五頁。[例如]在第一象限部分,則有利用對稱性簡化運算時要特別考慮兩方面①被積函數(shù)的奇偶性②積分區(qū)域的對稱性說明23第二十三頁，共七十五頁。二重積分的定義二重積分的性質(zhì)（7條）二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（積分和式的極限）四、小結(jié)二重積分的物理意義（平面薄片的質(zhì)量）[二重積分的比較大小]1.若區(qū)域D相同，則比較被積函數(shù)的大??；2.若被積函數(shù)相同，則比較區(qū)域D的大小.24第二十四頁，共七十五頁。25第二十五頁，共七十五頁。一利用直角坐標計算二重積分二小結(jié)思考題§10.2二重積分的計算法（一）26第二十六頁，共七十五頁。復習與回顧(2)回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用平行截面面積為已知的立體的體積的求法體積元素體積為

在點x處的平行截面的面積為:

(1)二重積分27第二十七頁，共七十五頁。其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標系計算二重積分(1)［X－型域］[X—型區(qū)域的特點]

穿過區(qū)域且平行于y

軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.1.[預備知識]28第二十八頁，共七十五頁。(2)［Y－型域］[Y—型區(qū)域的特點]穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.29第二十九頁，共七十五頁。(3)[既非X－型域也非Y－型域]

在分割后的三個區(qū)域上分別都是X－型域(或Y—型域)則必須分割.由二重積分積分區(qū)域的可加性得30第三十頁，共七十五頁。(1)若積分區(qū)域為X－型域：2.【二重積分公式推導】根據(jù)二重積分的幾何意義以及計算“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法來求.方法31第三十一頁，共七十五頁。即得公式132第三十二頁，共七十五頁。幾點小結(jié)定限口訣后積先定限(投影)限內(nèi)劃條線(穿線)

先交下限寫后交上限見aboxyDx(后積變量上下限必為常數(shù))該線平行于坐標軸且同向投影穿線法33第三十三頁，共七十五頁。3.【二重積分的計算步驟可歸結(jié)為】①畫出積分域的圖形，標出邊界線方程；②根據(jù)積分域特征，確定積分次序；③根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計算。公式234第三十四頁，共七十五頁。(1)使用公式1必須是X－型域，公式2必須是Y－型域.(2)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分次序,必要時還可交換積分次序.

(見后續(xù)補充例題)(3)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域（或Y-型域）[說明]35第三十五頁，共七十五頁。4.【例題部分】例1解Ⅰ看作X－型域12oxy

y=xy=1Dx12oxyx=yx=2Dy12解Ⅱ看作Y－型域36第三十六頁，共七十五頁。例2解D既是X—型域又是—Y型域法1－111xoy=xDxy37第三十七頁，共七十五頁。法2注意到先對x的積分較繁，故應(yīng)用法1較方便－111yoy=xD－1xy注意兩種積分次序的計算效果！38第三十八頁，共七十五頁。例3解D既是X—型域又是Y—型域先求交點39第三十九頁，共七十五頁。PPT內(nèi)容概述第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)。答：求非均勻分布在區(qū)間上的量的求和問題。被積函數(shù)是一元函數(shù)，積分范圍是直線上的區(qū)間。現(xiàn)要求解非均勻分布在平面、空間立體上的量的求和問題。一、問題的提出——引例。②取近似、③求和：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，。①分割：先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，。⑴分割：將薄片分割成若干小塊，。⑵近似：取典型小塊，將其近似。是定義在有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù),。(3)f(x,y)在D上有界是二重積分存在的必要條件.。2.根據(jù)分割的任意性，當二重積分存在時，在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D。據(jù)有界閉域上的連續(xù)函數(shù)的介值定理。被積函數(shù)相同,且非負,。當區(qū)域關(guān)于y軸對稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時有類似結(jié)果.。二重積分的物理意義（平面薄片的質(zhì)量）。2.若被積函數(shù)相同，則比較區(qū)域D的大小.?！?0.2二重積分的計算法（一）。在點x處的平行截面的面積為:。74第四十頁，共七十五頁。法1法2視為X—型域計算較繁本題進一步說明兩種積分次序的不同計算效果！41第四十一頁，共七十五頁。小結(jié)以上三例說明，在化二重積分為二次積分時，為簡便見需恰當選擇積分次序；既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)的特性(易積)42第四十二頁，共七十五頁。5.【簡單應(yīng)用】例4求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積V.解設(shè)兩個直圓柱方程為利用對稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為43第四十三頁，共七十五頁。例5解據(jù)二重積分的性質(zhì)4（幾何意義）交點與定積分元素法相同44第四十四頁，共七十五頁。6.【補充】改變二次積分的積分次序例題補例1解45第四十五頁，共七十五頁。隨堂練習1.計算其中D

是由直線y=x及拋物線y2

=x所圍成.解積不出的積分，無法計算。課本P154

第5題第6題練習46第四十六頁，共七十五頁。解當被積函數(shù)中有絕對值時，要考慮積分域中不同范圍脫去絕對值符號。分析補例2作業(yè):－1

x

147第四十七頁，共七十五頁。計算其中D由所圍成.令(如圖所示)顯然,利用對稱性與奇偶性補例3分析解課本P154第3題與積分變量無關(guān)補例4與積分變量無關(guān)與積分變量無關(guān)48第四十八頁，共七十五頁。分部積分法(略).(05/06學年第一學期考試題A卷)化為二次積分,交換積分次序原式=原式補例5解Ⅰ解Ⅱ49第四十九頁，共七十五頁。二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結(jié)［Y－型］［X－型］課本P153習題10-2練習50第五十頁，共七十五頁。51第五十一頁，共七十五頁。一利用直角坐標計算二重積分二小結(jié)思考題§10.2二重積分的計算法（一）52第五十二頁，共七十五頁。復習與回顧(2)回顧一元函數(shù)定積分的應(yīng)用平行截面面積為已知的立體的體積的求法體積元素體積為

在點x處的平行截面的面積為:

(1)二重積分53第五十三頁，共七十五頁。其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標系計算二重積分(1)［X－型域］[X—型區(qū)域的特點]

穿過區(qū)域且平行于y

軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.1.[預備知識]54第五十四頁，共七十五頁。(2)［Y－型域］[Y—型區(qū)域的特點]穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.55第五十五頁，共七十五頁。(3)[既非X－型域也非Y－型域]

在分割后的三個區(qū)域上分別都是X－型域(或Y—型域)則必須分割.由二重積分積分區(qū)域的可加性得56第五十六頁，共七十五頁。(1)若積分區(qū)域為X－型域：2.【二重積分公式推導】根據(jù)二重積分的幾何意義以及計算“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法來求.方法57第五十七頁，共七十五頁。即得公式158第五十八頁，共七十五頁。幾點小結(jié)定限口訣后積先定限(投影)限內(nèi)劃條線(穿線)

先交下限寫后交上限見aboxyDx(后積變量上下限必為常數(shù))該線平行于坐標軸且同向投影穿線法59第五十九頁，共七十五頁。3.【二重積分的計算步驟可歸結(jié)為】①畫出積分域的圖形，標出邊界線方程；②根據(jù)積分域特征，確定積分次序；③根據(jù)上述結(jié)果，化二重積分為二次積分并計算。公式260第六十頁，共七十五頁。(1)使用公式1必須是X－型域，公式2必須是Y－型域.(2)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分次序,必要時還可交換積分次序.

(見后續(xù)補充例題)(3)若積分域較復雜,可將它分成若干X-型域（或Y-型域）[說明]61第六十一頁，共七十五頁。4.【例題部分】例1解Ⅰ看作X－型域12oxy

y=xy=1Dx12oxyx=yx=2Dy12解Ⅱ看作Y－型域62第六十二頁，共七十五頁。例2解D既是X—型域又是—Y型域法1－111xoy=xDxy63第六十三頁，共七十五頁。法2注意到先對x的積分較繁，故應(yīng)用法1較方便－111yoy=xD－1xy注意兩種積分次序的計算效果！64第六十四頁，共七十五頁。例3解D既是X—型域又是Y—型域先求交點65第六十五頁，共七十五頁。法1法2視為X—型域計算較繁本題進一步說明兩種積分次序的不同計算效果！66第六十六頁，共七十五頁。小結(jié)以上三例說明，在化二重積分為二次積分時，為簡便見需恰當選擇積分次