2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破第11講 數(shù)列型不等式（原卷版）

第11講數(shù)列型不等式數(shù)列型不等式的證明問(wèn)題常常會(huì)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合起來(lái)，解決這一類(lèi)問(wèn)題最重要的就是要明白數(shù)列的本質(zhì)，即數(shù)列是一種非連續(xù)性函數(shù).也就是說(shuō)，數(shù)列本質(zhì)上是函數(shù)，但具有非連續(xù)性，從圖像上看，數(shù)列就是函數(shù)圖形上的一些不連續(xù)的點(diǎn).既然說(shuō)數(shù)列是函數(shù)，那么我們解決數(shù)列型不等式，就可以把數(shù)列作為一個(gè)函數(shù)，然后運(yùn)用前面所講的關(guān)于函數(shù)不等式的方法來(lái)解決，所要注意的就是數(shù)列的非連續(xù)性，即數(shù)列的自變量只能取正整數(shù).證明數(shù)列不等式在講解數(shù)列不等式的證明時(shí)，我們先補(bǔ)充個(gè)求和符號(hào)：.其中，是數(shù)列的通項(xiàng)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，是前項(xiàng)和的簡(jiǎn)寫(xiě).題型：證明.步驟：核心是通過(guò)證明通項(xiàng)不等式，進(jìn)而證明前項(xiàng)和不等式，一般步驟如下.首先對(duì)數(shù)降級(jí)：通常對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù)，把乘法運(yùn)算降級(jí)為加法運(yùn)算.第一步：算通項(xiàng)公式.由前項(xiàng)和不等式，通過(guò)與計(jì)算得到通項(xiàng)不等式.第二步：構(gòu)造函數(shù).根據(jù)通項(xiàng)不等式，整體代換，構(gòu)造函數(shù)不等式：.第三步：證明函數(shù)不等式.【例1】證明：對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立.【例2】求證：.已知函數(shù)不等式證明數(shù)列不等式這一類(lèi)題目通常在第一小問(wèn)就已經(jīng)證明了函數(shù)不等式，然后在第二小問(wèn)證明數(shù)列不等式時(shí)，就可以直接利用函數(shù)不等式，其關(guān)鍵是利用已經(jīng)證明的函數(shù)不等式來(lái)整體代換并證明通項(xiàng)不等式，進(jìn)而求和并證明前項(xiàng)和.【例1】已知函數(shù).證明：（1）.（2）對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式都成立.【例2】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最大值.(2)證明：.【例3】已知函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性.并求當(dāng)恒成立時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【例4】已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)求證：恒成立.(2)設(shè)是正整數(shù)，對(duì)任意正整數(shù)，，求的最小值.裂項(xiàng)放縮證明數(shù)列不等式這一類(lèi)題目不僅需要結(jié)合函數(shù)不等式來(lái)證明數(shù)列不等式，還需要對(duì)數(shù)列不等式進(jìn)行放縮，下面是與求和相關(guān)的不等式的放縮技巧和放縮變形結(jié)構(gòu).一、放縮技巧(1)在數(shù)列中，“求和看通項(xiàng)”，所以在放縮的過(guò)程中通常從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手.(2)在放縮時(shí)要看好所證不等式中不等號(hào)的方向，這決定對(duì)通項(xiàng)公式是放大還是縮小(應(yīng)與所證的不等號(hào)同向).(3)在放縮時(shí)，對(duì)通項(xiàng)公式的變形要向可求和數(shù)列的通項(xiàng)公式靠攏，常見(jiàn)的是向等比數(shù)列與可裂項(xiàng)相消的數(shù)列靠攏.(4)若放縮后求和發(fā)現(xiàn)放“過(guò)”了，即與所證矛盾，通常有兩條道路可供選擇：第一個(gè)是微調(diào)：看能否讓數(shù)列中的一些項(xiàng)不動(dòng)，其余項(xiàng)放縮從而減小放縮的程度，使之符合所證不等式.第二個(gè)就是推翻了原有放縮，重新進(jìn)行設(shè)計(jì)，選擇放縮程度更小的方式進(jìn)行嘗試.二、常見(jiàn)的放縮變形結(jié)構(gòu)(1)結(jié)構(gòu)一：，其中.可稱(chēng)為“進(jìn)可攻，退可守”，可依照所證不等式不等號(hào)的方向進(jìn)行選擇.注意：對(duì)于，可聯(lián)想到平方差公式，從而在分母添加一個(gè)常數(shù)，即可放縮為符合裂項(xiàng)相消特征的數(shù)列.【例】如：，這種放縮的尺度要小于“(1)結(jié)構(gòu)一”中的式子.此外還可以構(gòu)造放縮程度更小的，如：（2）結(jié)構(gòu)二：，從而有注意：對(duì)于還可放縮為：(3)結(jié)構(gòu)三：分子分母同加常數(shù)此結(jié)論容易記混，通常在解題時(shí)，作為一種思考的方向，到了具體問(wèn)題時(shí)不妨先構(gòu)造出形式，再驗(yàn)證不等關(guān)系