2023年高考數(shù)學(xué)一模試題（江蘇）10 計數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布（解析版）

專題io計數(shù)原理、柢率、隨機(jī)變量及其分布

一、單選題

1.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測）二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.80B.-80C.-40D.40

【答案】B

15-5A

Λ

【解析】二項(xiàng)的展開式的通項(xiàng)為TM=C=(-2)C*X-

15一5”

令=0,則左=3,

所以常數(shù)項(xiàng)為（-2）3C；=-80.

故選：B.

2.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模）為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)A,B,C三門德

育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一

位同學(xué)參加，則不同的報名方法有（）

A.54種B.240種C.150種D.60種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)選A,B,C三門德育校本課程,

每位同學(xué)僅報一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，有兩類情況，

①三組人數(shù)為1、1、3,此時有隼G?Aj=60種；

L此時有等次=9。種.

②三組人數(shù)為2、2、

所以共有60+90=150種.

故選：C

3.（2023?江蘇連云港?模擬預(yù)測）某航母編隊(duì)將進(jìn)行一次編隊(duì)配置科學(xué)演練，要求2艘攻擊型核潛艇一前一

后，2艘驅(qū)逐艦和2艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)2艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法數(shù)為

（）

A.16B.32C.36D.64

【答案】B

【解析】2艘攻擊型核潛艇放在中間，共有2種順序,

這2艘攻擊型核潛艇前方是1艘護(hù)衛(wèi)艦和1艘驅(qū)逐艦，剩余的1艘護(hù)衛(wèi)艦和1艘驅(qū)逐艦列在攻擊型核潛艇的后

方，

由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的配方案的方法數(shù)為2x232x2=32.

故選：B.

4.(2022?江蘇常州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布若函數(shù)f(x)=P(x≤J≤x+2)

是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)〃=()

A.0B.?C.?D.2

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=P(x≤J≤x+2)是偶函數(shù)，

所以/(-X)=/(x),即P(T<ξ<-x+2)=P(x<ξ≤x+2),

故選：C

5.(2023?江蘇?統(tǒng)考一模)若隨機(jī)變量X~B(3,p),y~N(2,"),若P(X≥1)=0.657,P(0<V<2)=p,

則p(y>4)=()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【答案】A

【解析】山題意，P(X≥1)=I-P(X=O)=1-(1-p)3=0.657,解得P=C).3,則P(0<V<2)=0.3,所以

p(y>4)=p(y<o)=o.5-p(o<y<2)=o.2.

故選：A.

6.(2023?江蘇連云港?江蘇省贛榆高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)(∕r+l)(χ+l)6的展開式中V的系數(shù)為()

A.5B.6C.7D.15

【答案】A

6r

【解析】(x+l)6展開式通項(xiàng)為：C^x-;

令6—r=5,即r=l,!?∣J?v2C?x3=6x7；令6—r=6,B∣Jr=0,則-XC*=-『；

.?.J的系數(shù)為6-1=5.

故選：A.

7.(2023?江蘇南通?沐陽如東中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)。->+2)5的展開式中，的系數(shù)為()

A.80B.40C.-80D.-40

【答案】D

【解析】（x-y+2）5=[x-（y-2）T的展開式中含/的項(xiàng)為C&3（y_2「

（尸2）2的展開式中含〉的項(xiàng)為。?（-2）,

所以（x-y+2）5的展開式中，Jy的系數(shù)為*?&?（-2）=-40,

故選：D

8.（2023?江蘇蘇州?蘇州市第六中學(xué)校校考三模）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、

冰球和冰壺4個項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的

分配方案共有（）

A.60種B.120種C.240種D.480種

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，有一個項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者

中任選2人，組成一個小組，有C；種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項(xiàng)目看成四個不同的

位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4!種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有

Cs×4!=240種不同的分配方案，

故選：C.

9.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測）現(xiàn)要從A,B,C,D,E這5人中選出4人，安排在甲、乙、丙、丁

4個崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則安排的方法有（）

A.56種B.64種C.72種D.96種

【答案】D

【解析】由題意可知：根據(jù)A是否入選進(jìn)行分類：

若A入選：則先給A從乙、丙、丁3個崗位上安排一個崗位有C；=3種，再給剩下三個崗位安排人有

A：=4X3X2=24種，共有3x24=72種方法；

若A不入選：則4個人4個崗位全排有A：=4、3、2、1=24種方法，

所以共有72+24=96種不同的安排方法，

故選：D.

10.（2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測）在A,8,C三個地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有6%,5%,4%

的人患了流感.假設(shè)這三個地區(qū)的人口數(shù)的比為5:7:8,現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一人，則這個人患流

感的概率為（）

A.0.515B.0.05C.0.0495D.0.0485

【答案】D

【解析】由題意得，從這三個地區(qū)中任意選取一人，則這個人可能來至于三個地區(qū)中患流感的人當(dāng)中，

578

故這個人患流感的概率為P=6%X——+5%×——+4%×——=0.0485,

5+7+85+7+85+7+8

故選：D

二、多選題

11.(2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知f(x)=(χ2+gj,則下列說法中正確的有()

A.f(x)的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84

B./(x)的展開式中不含提的項(xiàng)

C./(x)的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和相等

D./(x)的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng)

【答案】AC

【解析】因?yàn)椴?gj展開式的通項(xiàng)公式J=G(X2廣［』'=3心，所以

當(dāng)r=6,1=C；=84,A正確;

當(dāng)r=7時，I=C；獷3=與，B錯誤；

X

/(X)的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為2"，二項(xiàng)式系數(shù)之和為23C正確；

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知l,C；=C；最大,所以，〃x)的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)和第六項(xiàng)，

D錯誤.

故選：AC.

12.(2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模)一個袋中有大小、形狀完全相同的3個小球，顏色分別為紅、黃、藍(lán)，從袋

中先后無放回地取出2個球，記“第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到黃球”為事件B,則()

A.P(A)=∣B.A8為互斥事件

C.P(8∣A)=gD.A8相互獨(dú)立

【答案】AC

【解析】P(A)=AiE確;

A,8可同時發(fā)生，即“即第一次取紅球，第：次取黃球”，AB不互斥，B錯誤;

在第一次取到紅球的條件下，第二次取到黃球的概率為1,C正確；

P(B)=gxg+gxO=g，P(A8)=gx：=:，2(AB)HP(A)P(B),..4,8不獨(dú)立，

D錯誤；

故選；AC.

13.(2022?江蘇南京?統(tǒng)考模擬預(yù)測)下列命題中，正確的命題的序號為()

A.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8(",p),若E(X)=3O,D(X)=2O,貝∣Jp=(

B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變

C.設(shè)隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N(0,1),若PC>1)=。，則P(-l<J≤O)=g-p

D.某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,X?8(10,0.8),則當(dāng)X=8時概率最大

【答案】BCD

[E(X)=np=301

【解析】對于A,,",解得P=：，A錯誤；

[D(X)=np(l-p)=203

對FB,方差反映的是數(shù)據(jù)與均值的偏移程度，因此每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，每個新數(shù)據(jù)與新均值

的偏移不變，方差恒不變，B正確；

為HFC,J服從正態(tài)分布N(0,l),P(-l<?≤O)=P(O<?<l)=l-P(?>l)=l-p,C正確；

對于D,X~B(10,0.8),則P(X=A)=CO.8"X()2。"，

Cζ0.8*×O.2'o^t≥CV'0.8A^I×0.2"-t

111?11解得M≤k≤W,所以左=8.D正確.

lotlt+19A

[C1*)0,8*×O.2^>Cl^0.8×0.2^

故選：BCD.

14.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?揚(yáng)中市第二高級中學(xué)校考模擬預(yù)測)若(1-2X產(chǎn)2=%+叩+々/+...+囁/2°22,則下

列結(jié)果正確的是()

∣+3≡2

A.%+4+&+…+O2(l21~?B.%+的+%+…+42022=?

C.?+工+???+黑=0D.at+2a2+3a3+...+2022?2=4044

【答案】ABD

【解析】令X=I可得4+4+?2+…+%022=(-1)-",=1,①，故A正確；

2022

令X=-I可得：a0-a1÷a2-a3+...+a2022=3,②

1.o2022

=+,

①+②可得：2(?+6t2+?+...+?)22)???故%+〃2+。4+…+。2022=，故BlE確；

令X=Ouj得：?=I2022=1,③

令X=T可得：+黑=0,④

把③代入④即可得出：自+墨+…+黑=T,故C錯誤；

兩邊對X求導(dǎo)得一4044(l-2x)202∣=4+24^+36/+…+2O22∕o"χ2⑼.

令X=I可得q+2色+3%+…+2022i?a=4044,故D正確.

故選：ABD

15.(2023?江蘇常州?華羅庚中學(xué)校聯(lián)考三模)甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3

個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以A，&和A,表示由甲口袋

取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機(jī)取出一球，以8表示由乙口袋取出的球是紅球的

事件，則下列結(jié)論中正確的是()

A.A,A2,4是兩兩互斥的事件B.事件A與事件B相互獨(dú)立

32

C?P(8∣4)=ττD.P(B)=M

【答案】AC

【解析】由題意得可知A,A2,4是兩兩互斥的事件，故A正確;

32I1

尸⑷=歷，^2)=-=-,ΛA)=-

13

，尸(司4)=今翳=斗■=《，故C正確；

5

24

由尸(始)=山=事,

k1"P(A)311

10

P(B)=P(網(wǎng))+P(%)+P(8AJ=∕Q3*Hq

P(8∣A)≠P(8)

事件A與事件B不獨(dú)立，故B、D錯誤;

故選：AC

三、填空題

16.(2023?江蘇南京?南京市江寧高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)某次演出有5個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目間

的先后順序已確定，則不同的排法有種.

【答案】20

【解析】根據(jù)題意，設(shè)5個節(jié)目中除甲、乙、丙之外的2個節(jié)目為“，b,

分2步進(jìn)行分析：①，將甲乙丙三個節(jié)目按給定順序排好，②，排好后有4個空位，將。安排到空位中，

有4種情況，排好后有5個空位，將匕安排到空位中，有5種情況，則不同的排法有4x5=20種；

故答案為：20

17.(2023?江蘇蘇州?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知χ5=%+%(l+χ)+%(l+χ)2+-+%(l+x)5,則q=.

【答案】5

【解析】因?yàn)閂=%+4(l+x)+a2(l+x/+…+為(l+x)5，

5

令t=x+l,則x=r-l,則(f-l)'=%+α∣f+%產(chǎn)H----Fa5t,

其中(一1)5展開式的通項(xiàng)為0I=C"A(T)',令5-廠=1,解得r=4,

所以4=C)(-l)4=5r,所以4=5；

故答案為：5

18.(2023?江蘇常州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)隨機(jī)變量J的分布列如下：

自12345678910

P%。2〃3%R%%《0

且數(shù)列｛%｝滿足PCSk)=kak｛k=1,2,3,,10),則Ee)=

【答案】5.5

【解析】令SLPe,,k)=%(k=l,2,3,…，10),

1

WJ?÷l=SM-Sli=(k+1)?+,-kak,即4+∣=%,(?=1,2,3,…，9),

乂4+^2+4++4o=i,所以q=%=…=4o=J?,

所以Ee)=IX^-+2X'+3X-!→+10×?

10101010

,、1(l+10)×101

=(1+2+3+.10)×-??-------,——x—=5.5

'+7102IO

故答案為：5.5

19.(2023?江蘇連云港?江蘇省贛榆高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)柯西分布(Ca"c%ydis療沏是一個數(shù)學(xué)期望不

存在的連續(xù)型概率分布.記隨機(jī)變量X服從柯西分布為X~C(y,Λ0),其中當(dāng)，=1,XO=O時的特例稱為

標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，其概率密度函數(shù)為/(x)=M?gj.已知X~C(l,0),P(∣X∣≤√5)=∣,P(1≤X≤6)=?,

則P(X≤-1)=.

【答案】：##0.25

4

【解析】由已知，概率密度函數(shù)圖象關(guān)于X=O對稱，

p(∣X∣≤√3)=∣,.?.p(θ≤x≤√3)=∣

又?P(1≤X≤√3)=^,

.?.P(O≤X≤1)=-,P(-1≤X≤O)=;,

.?.P(X≤T)=g-P(7≤X≤0)=gL

故答案為：—.

4

20.(2023?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測)甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進(jìn)行某種勞動技能比賽，決出第1名到第5

名的名次.甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你

當(dāng)然不會是最差的"，從這個回答分析，5人的名次排列共可能有種不同的情況.(用數(shù)字作答)

【答案】54

【解析】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，

先排乙，有第二、三、四名3種情況，

再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，

其他三名同學(xué)排在三位置全排列有A；種，

由分步乘法計數(shù)原理可知共有3x3xA；=54種，

故答案為：54.

四、解答題

21.(2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測)為了豐富在校學(xué)生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運(yùn)動會活動，

學(xué)校設(shè)置項(xiàng)目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項(xiàng)目B“袋鼠接力跳”.甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個項(xiàng)目，

進(jìn)行班級對抗賽.每一個比賽項(xiàng)目均采取五局三勝制(即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束)，假設(shè)在項(xiàng)

目A中甲班每一局獲勝的概率為g,在項(xiàng)目B中甲班每一局獲勝的概率為且每一局之間沒有影響.

(1)求甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率;

(2)設(shè)甲班獲勝的項(xiàng)目個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【解析】(1)記“甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A,

則P(A)g∣x沁X圖WX沁djXl嚕

所以甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率為暮

O1

(2)記“甲班在項(xiàng)目8中獲勝”為事件8,

35

則P(B)+C；X

X的可能取值為0，1，2,

117

則P(X=O)=P(通)=P⑸P⑻=_I_X__=____

812^162,

P(X=2)=P(AB)=WA)P⑻=簫奇

o1Zo1

P(X=1)=1—P(X=O)-P(X=2)=；.

所以X的分布列為

X012

1732

P?

1622麗

L/SC17I1C32209

E(X)=OX------1-1×—F2X—=-------.

v7162281162

所以甲班獲勝的項(xiàng)目個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2普09

IoZ

22.(2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預(yù)測)2022年10月1日，女籃世界杯落幕，時隔28年，中國隊(duì)再次獲得

亞軍，追平歷史最佳成績統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國隊(duì)主力隊(duì)員A能夠勝任小前鋒(SF)大前鋒(PF)和得分后

衛(wèi)(SG)三個位置，且出任三個位置的概率分別為；,罟，同時，當(dāng)隊(duì)員A出任這三個位置時，球隊(duì)贏

482

球的概率分別為(隊(duì)員A參加所有比賽均分出勝負(fù))

(1)當(dāng)隊(duì)員A參加比賽時，求該球隊(duì)某場比賽獲勝的概率;

(2)在賽前的友誼賽中，第一輪積分規(guī)則為：勝一場積3分，負(fù)一場積T分.本輪比賽球隊(duì)一共進(jìn)行5場比

賽，且至少獲勝3場才可晉級第二輪，已知隊(duì)員A每場比賽均上場且球隊(duì)順利晉級第二輪，記球隊(duì)第一輪

比賽最終積分為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

141R1??

【解析】（1）解：根據(jù)題意，隊(duì)員A參加比賽時，比賽獲勝的概率為P=；x?+：x'+：x3=3.

4949233

（2）解：根據(jù)題意，可得A贏3場，負(fù)兩場積分7；A贏4場負(fù)一場積分10；A贏5場，積分15分，所

以隨機(jī)變量X的所有可能取值為7,11,15,記G表示第一輪比賽最終積分為￡（，=7,",15）,。表示“A所

在的球隊(duì)順利晉級第二輪”，

可得陪展4|15苧P（GQ）=C5（啰,

竽，則P(Z))=竽,

P(G.H)=

??

所以P(X=7)=P(G⑼卷，尸(X=Il)=P(CUg)=晦

P(X=I5)=pz(q⑼.?=P3(C總HD)氣1，

所以隨機(jī)變量X的分布列如下表：

X71115

55?

P

12126

期望為E（X）=7x』+llx』+15x，=10.

12126

23.（2023?江蘇南通?校聯(lián)考模擬預(yù)測）某次知識競賽共有兩道不定項(xiàng)選擇題，每小題有4個選項(xiàng)，并有多

個選項(xiàng)符合題目要求.評分標(biāo)準(zhǔn)如下：全部選對得10分，部分選對得4分，有選錯得0分.由于準(zhǔn)備不

充分，小明在競賽中只能隨機(jī)選擇，且每種選法是等可能的（包括一個也不選）.

（1）已知兩題都設(shè)置了3個正確選項(xiàng)，求小明這兩題合計得分為14分的概率；

（2）已知其中一題設(shè)置了2個正確選項(xiàng)，另一題設(shè)置了3個正確選項(xiàng).小明準(zhǔn)備從以下兩個方案中選擇一種

進(jìn)行答題.為使得得分的期望最大，小明應(yīng)選擇哪一種方案？并說明理由.

方案一：每道題都隨機(jī)選1個選項(xiàng)；

方案二：每道題都隨機(jī)選2個選項(xiàng).

【解析】（1）合計得14分的情形為一題全部選對，-題部分選對，P=C；.Jr生盧=上

242464

（2）若選方案一，小明得分X的所有可能取值為0,4,8,

小明對有2個正確選項(xiàng)那題部分選對的概率[=；,選錯的概率不=；

31

小明對有3個正確選項(xiàng)那題部分選對的概率邛=[,選錯的概率g

.?.P（X=0）=1χ1=LP（X=4）=1χLL2=LP（χ=8]=-×-=~

‘7248'724242v7248

113

得分X的數(shù)學(xué)期望為：E(X)=0×→4×→8×^=5

o2o

若選方案二，小明得分X'的所有可能取值為0,4,10,14,

小明對有2個正確選項(xiàng)那題選錯的概率為：全部選對的概率為,

6o

小明對有3個正確選項(xiàng)那題選錯的概率為：?,部分選對的概率為T

p(x?=o)=9χLW,p(χ,=4)=9χLW

P(X=IO)=IxL=J-,p(χ>=i4)=LLJ-

`76212`76212

???得分X'的期望為E(X')=0x[+4x]+10χ]+14x]=q,

1乙1乙1乙?乙J

?；E(X)<E(X),

???應(yīng)選擇方案一作答.

24.(2023?江蘇蘇州?蘇州市第六中學(xué)校?？既?2022年冬奧會剛剛結(jié)束，比賽涉及到的各項(xiàng)運(yùn)動讓人們

津津樂道.高山滑雪(AIPineSkiing)是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖為主要用具，從山上向山下，

沿著旗門設(shè)定的賽道滑下的雪上競速運(yùn)動項(xiàng)目，冬季奧運(yùn)會高山滑雪設(shè)男子項(xiàng)目、女子項(xiàng)目、混合項(xiàng)目.其

中，男子項(xiàng)目設(shè)滑降、回轉(zhuǎn)、大回轉(zhuǎn)、超級大回轉(zhuǎn)、全能5個小項(xiàng)，其中回轉(zhuǎn)和大回轉(zhuǎn)屬技術(shù)項(xiàng)目，現(xiàn)有

90名運(yùn)動員參加該項(xiàng)目的比賽，組委會根據(jù)報名人數(shù)制定如下比賽規(guī)則：根據(jù)第一輪比賽的成績，排名在

前30位的運(yùn)動員進(jìn)入勝者組，直接進(jìn)入第二輪比賽，排名在后60位的運(yùn)動員進(jìn)入敗者組進(jìn)行一場加賽,

加賽排名在前10位的運(yùn)動員從敗者組復(fù)活，進(jìn)入第二輪比賽，現(xiàn)已知每位參賽運(yùn)動員水平相當(dāng).

(1)從所有參賽的運(yùn)動員中隨機(jī)抽取5人，設(shè)這5人中進(jìn)入勝者組的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)從敗者組中選取10人，其中最有可能有多少人能復(fù)活？試用你所學(xué)過的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)理論進(jìn)行分析.

【解析】(1)每位運(yùn)動員進(jìn)入勝者組的概率為P=黑=J，且

所以P(X=〃)=*)]|j",其中〃=0,1,2,3,4,5.

所以P(X=O)=(IJ=募P(X=…刖Ij喘,

P-?)=4J(Ij=篝尸(X=3)Y

p(χ=4)=cg)?嗜,P(x=5)=(g)=擊,

所以X的分布列為

X012345

32808040101

P

243243243243243243

其數(shù)學(xué)期望為E(X)=5xg=g.

(2)設(shè)從敗者組選取的IO人中有k人復(fù)活.

因?yàn)槊课粩≌呓M運(yùn)動員復(fù)活的概率為P=W所以“。喝,

6

?0-k

所以P(A)=Co

P(?)≥P(A-1),

當(dāng)P(Z)最大時，應(yīng)滿足

P(?)≥P(?+1),

≥cτ

解得。≤A≤2,

GP-

OO

又因?yàn)椋ァ蔔*,所以左=1,即最有可能有1人能復(fù)活.

25.(2023?江蘇南京?南京市寧海中學(xué)?？寄M預(yù)測)某公司計劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被

淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個100元，在機(jī)器使用期

間，如果備件不足再購買，則每個300元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并

整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零

件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),

n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù).

(2)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，在〃=19與〃=20之中選其一，應(yīng)選用哪個更合理？

【解析】(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,

一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,

X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22,

從而P(X=I6)=02x0.2=0.04；

P(X=I7)=2x0.2x0.4=0.16；

P(X=I8)=2X0.2X0.2+0.4X0.4=0.24；

P(X=I9)=2x0.2x0.2+2x04x0.2=0.24；

P(X=20)=2X0.2X0.4+0.2×0.2=0.2；

P(X=21)=2X0.2X0.2=0.08；

P(X=22)=0.2x0.2=0.04；

所以X的分布列為

X16171819202122

P0.040.160.240.240.20.080.04

(2)購買零件所需費(fèi)用含兩部分：

一部分為購買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時額外購買的費(fèi)用，

當(dāng)”=19時，費(fèi)用的期望為：

19x100+300x0.2+600x0.08+900x0.04=2044元，

當(dāng)〃=20時，費(fèi)用的期望為：

20χ100+300χ0.08+600χ0.04=2048元，

因?yàn)?044<2048,所以選〃=19更適合.

26.(2023?江蘇?統(tǒng)考一模)某大學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)在大一新生中招募成員，由于報名人數(shù)過多，需要進(jìn)行選

拔.為此，社團(tuán)依次進(jìn)行筆試、機(jī)試、面試三個項(xiàng)目的選拔，每個項(xiàng)目設(shè)置“優(yōu)”、“良"、“中"三個成績等第；

當(dāng)參選同學(xué)在某個項(xiàng)目中獲得“優(yōu)''或"良”時，該同學(xué)通過此項(xiàng)目的選拔，并參加下一個項(xiàng)目的選拔，否則

該同學(xué)不通過此項(xiàng)目的選拔，且不能參加后續(xù)項(xiàng)目的選拔.通過了全部三個項(xiàng)目選拔的同學(xué)進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模

社團(tuán).現(xiàn)有甲同學(xué)參加數(shù)學(xué)建模社團(tuán)選拔，已知該同學(xué)在每個項(xiàng)目中獲得“優(yōu)”、“良"、"中''的概率分別為:，

O

且該同學(xué)在每個項(xiàng)目中能獲得何種成績等第相互獨(dú)立.

(1)求甲同學(xué)能進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的概率；

(2)設(shè)甲同學(xué)在本次數(shù)學(xué)建模社團(tuán)選拔中恰好通過X個項(xiàng)目，求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

【解析】⑴該同學(xué)在每個項(xiàng)目中得優(yōu)、良、中互為互斥事件，由題意得，→-?+4=1'解得P=1，

則甲在每個項(xiàng)目中通過的概率都為』+與=I，設(shè)事件A為甲能進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模社團(tuán)，

623

因甲在每個項(xiàng)目中通過的概率都為?:，且在每個項(xiàng)目中的成績均相互獨(dú)立，則有P(A22)2=行X，

Q

所以甲能進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的概率為輸.

(2)X的可能取值為0,1,2,3,

P(X=O)=LP(X=I)=NxL2……2214779Q

一,P(X=2)=一×一×一=—,P(X=3)=-x-x-=-

33393332733327

則X的概率分布為：

XO123

48

p?2

Γ

392727

1?AQaQ

^≡XWW≡E(X)=0x→lx→2x-÷3x-=-.

27.(2023?江蘇南京?校考模擬預(yù)測)隨著時代發(fā)展和社會進(jìn)步，教師職業(yè)越來越受青睞，考取教師資格證

成為不少人的就業(yè)規(guī)劃之一.當(dāng)前，中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分.已知某市2021年共有IOOOO

名考生參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100人的筆試成績(滿分視為100分)作為樣

本，整理得到如下頻數(shù)分布表：

筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,l∞]

人數(shù)5153530105

(1)假定筆試成績不低于90分為優(yōu)秀，若從上述樣本中筆試成績不低于80分的考生里隨機(jī)抽取2人，求至

少有1人筆試成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；

(2)由頻數(shù)分布表可認(rèn)為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布,其中〃近似為100名樣本

考生筆試成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)，=180,據(jù)此估計該市全體考生中

筆試成績不低于82.4的人數(shù)(結(jié)果四舍五入精確到個位)；

(3)考生甲為提升綜合素養(yǎng)報名參加了某拓展知識競賽，該競賽要回答3道題，前兩題是哲學(xué)知識，每道題

答對得3分，答錯得。分；最后一題是心理學(xué)知識，答對得4分，答錯得0分.已知考生甲答對前兩題的

概率都是:，答對最后一題的概率為4，且每道題答對與否相互獨(dú)立，求考生甲的總得分V的分布列及數(shù)

學(xué)期望.(參考數(shù)據(jù)：√180≈13.4i若X~TV(",52),則P(M-S<X<M+S)念0.6827,

P(〃-%<X<4+加卜0.9545,P(M-3S<X<+35卜().9973.)

【解析】(1)由已知，樣本中筆試成績不低于80分的考生共有15人，其中成績優(yōu)秀的10人.

故至少有1人筆試成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為P=G=9.

C∣57

(2)由表格中的數(shù)據(jù)可知,μ=0.05×45÷0.15×55+().35×65+().3×75+0.1()×85+0.05×95=69,

又4二180,即CrBI3.4,

.?.P(X≥82.4)=P(X≥∕∕+^)=i[l-P(∕∕-σ<X<∕z+σ)]≈0.15865,

由此可估計該市全體考生中筆試成績不低于82.4的人數(shù)為10000×0.15865≈1587人.

(3)考生甲的總得分丫的所有可能取值為0,3,4,6,7,10,

1

則呼=0)傘"哈叩=3)=叱"M4)=出XlV

6-

"=6)=(%9!P(y=7)=c名卜滑，=

故y的分布列為:

Y0346710

1??11?

P

n66T236

E(y)=0xL3x』+4x1+6xL7x1+10xLU.

126612363

28.(2023?江蘇揚(yáng)州?揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測)中醫(yī)藥傳承數(shù)千年，治病救人濟(jì)蒼生.中國工程院院士張伯禮

在接受記者采訪時說：“中醫(yī)藥在治療新冠肺炎中發(fā)揮了核心作用，能顯著降低輕癥病人發(fā)展為重癥病人

的幾率.對改善發(fā)熱、咳嗽、乏力等癥狀，中藥起效非?？?，對肺部炎癥的吸收和病毒轉(zhuǎn)陰都有明顯效

果.”2021年12月某地爆發(fā)了新冠疫情,醫(yī)護(hù)人員對確診患者進(jìn)行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，

平均分成A,B兩組，A組服用甲種中藥，B組服用乙種中藥.服藥一個療程后，A組中每人康復(fù)的概率都為

33

139

B組3人康復(fù)的概率分別為正,4-4-

(1)設(shè)事件C表示A組中恰好有1人康復(fù)，事件。表示B組中恰好有1人康復(fù)，求P(C/))；

(2)若服藥一個療程后，每康復(fù)1人積2分，假設(shè)認(rèn)定：積分期望值越高藥性越好，請問甲、乙兩種中藥哪

種藥性更好？

【解析】(1)依題意有，尸(C)=CX巨x(l=呈

315I,15J1125

9111c4=3

P(D)=一X—X-H-------X

10441024432

又事件C與。相互獨(dú)立,

52313

則P(Cz))=P(C)P(D)=——X—=——，

1125323000

13

所以尸3）=耐

（2）設(shè)A組中服用甲種中藥康復(fù)的人數(shù)為X一則X

∏B

所以E(XJ=3X^=M

設(shè)A組的積分為X2,則X2=2x∣,

所以E(XJ=2E(XJ=等

設(shè)B組中服用乙種中藥康復(fù)的人數(shù)為X,則X的可能取值為：0,123,

P(Y,=O)=LXLXJ=^-

L71044160

oλvlλ9111E1315

v17104410244160

93113363

P(X=2)=qX-----X-X------1-------X-X-=--------

IO441044160

93381

Pa=3)=一×-×-=---,

1044160

故X的分布列為

O123

1156381

P

160T60T60160

所以Ea)=OX-L+1X叵+2x至+3x生=出=IZ

'"1601601601601605

設(shè)8組的枳分為匕，則匕=2乂，

24

所以石化)=E(2X)=2E(K)=M

,?,?.2624

因?yàn)閃'

所以甲種中藥藥性更好.

29.（2023?江蘇南京?統(tǒng)考模擬預(yù)測）春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費(fèi)政策某路橋公司

為了解春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費(fèi)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)大年初三上午9：20~10：40這一時間段內(nèi)有

600輛車通過，將其通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻繪成頻率分布直方圖.其中時間段9：20~9：40記作區(qū)間［20,40）,

9：40-10：OO記作［40,60),10：00-10：20記作［60,80),10：20-10：40記作［80,100］,例如：10點(diǎn)04

（1）估計這600輛車在9：20-10：40時間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值代表）;

（2）為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4

輛，記X為9：20~10：00之間通過的車輛數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望:

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻7服從正態(tài)分布N（〃,〃），其中〃可用這

600輛車在9：20~10：40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值近似代替，4可用樣本的方差近似代替（同

一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知大年初五全天共有IOOO輛車通過該收費(fèi)點(diǎn),估計在9：46~10：

40之間通過的車輛數(shù)（結(jié)果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若則尸(〃一σ?<T<M+b)=0.6826,P(//-2σ<T<χ∕+2σ)=0.9544,

P(∕7-3σ<T<∕∕+3σ)=0.9974.

【解析】（1）解：這600輛乍在9:20~10:40時間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值為

(30×0.∞5+50×0.015+70×0.020+90×0.010)×20=64,即10：04

（2）解：結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在10:00前通過的車輛數(shù)就是

位于時間分組中在［20,60）這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即（0.005+0.015）x20x10=4,所以X的可能的取值為0,

1,2,3,4.

所以P(X=O)=母=(,P(X=I)=等=春，P(X=2)=警=]P(X=3)=等

"=4）唔*

所以X的分布列為:

XO123