2022年全國甲卷數(shù)學(理科)高考試題原卷參考答案

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國甲卷)

理科數(shù)學(參考答案)

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

I.若z=-1+6i?則T=

zz—\

A.-14-5/3iB.-1-C.—y4-D.—g------

；斤】/I..：；〔一「(71

ZZ~~IoJJ

【答案】。

2.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了他講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他

們在講廓前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這這位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正

確率如下圖：

則

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

［解析】講座訪中位欲為衛(wèi)"*二>70%,所以.4錯；

講座后問卷不超的正碉串只有一個是SU%,J個&3%,M下仝部大于/于例)％，所以講座后問及芬延的

正就率的平均上大于85%，所以B對；

濟莊前問卷冬咫的正確年史加分或，所以講座前問卷S，迫的正力」廿作；,1二人于講座后正確畢的近準

。所以C仔；

講座后問卷答題的正碇率的極是為100%-80%=20%,講莊荷問卷答題的正確車的板,為。5%

-G0%=35%>20%，所以D-

【答案】8

3.設全集17={-2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},8={工1/_4工+3=0},則(：(；(4118)=

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【解析】B={sk---13：+3=()}={l,.i］，所以八,所以C『?(/1UB)={-2.()}.

【答案】D

-1-

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多而體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為

A.8B.12C.16D.20

［解析］由三視圖還原幾何體，如圖，

則該直四核柱的體積！/=2■方

【答案】8

5.函數(shù)？=（3，一3-，）COHN在區(qū)間［一￡,冷］的圖像大致為

V

【解析】令/(7)=(y—,3')cosx,x￡|-今,與[，

則/(一/)=(31-3])cos(—z)=—(3工—3r)cosx=—f(x),所以/(：/;)為專函數(shù)，排除BD\

又當工W(()，用時，3=—3->0,COSX>0,所以/(x)>0,排除C.

【答案】A

6.當工=1時，函數(shù)人工）=alnz+里取得最大值一2,則（2）=

X

ATB.--1C.j-D.1

【解析】因為函數(shù)jf（H）定義域為（0,+8），所以依題可知，/（1）=一2,/<1）=（）,而/㈤=且一上，

NX'

所以b=_2,ai=0，即。=-24=一2，所以/㈤=-三+3，因此函數(shù)/（:力在（0.1）上遞增.在

?I*31"

（1,+8）上遞成，x=i時取景大值，滿足題意，即有/⑵=一1+J=g.

【答案】3

-2-

既然已經(jīng)出發(fā)，就一定能到達！

7.在長方體ABCD-4B1GA中，己知8。與平面ABCD和平而AA正田所成的角均為30°,則

\.AB=2ADB.AB與平面AbiGD所成的角為30°

C.AC=CB{D.BQ與平面BBQ。所成的角為45°

【解析】如圖所示：不妨設/lB=a.AD='AA]=c,

依題意及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，

BQ與平面ABC?所成角為與平面所成角為NDB,4

所以sin30°==力/，即b=c,旦。=2c=V<r+b'+c-，鋅得a=V"c.

對于A,AB=a,AD=b,AB=gAD,A錯誤；

對于5,過B作BEJ./LB1于E,易知BEJL平面AB^D.

所以AB與平面ABCQ所成角為Z.BAE,

因為tanZBAS=芯=殍，所以ZBAEW3<T,B錯誤；

對于。，AG=\kr+b2=V3c,CD,=、/>+<?=6c、AC￥=CB、、C''

對于。，BQ與平面RBQC所成角為NDBQ,

,_CD_a_-\p2,

?S|i6。=蘋=宣=丁

而0VZDBCC9U',所以4DBQ=15：。正確.

【答案】D

8.沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度

的“會I?術(shù)”.如圖，存是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，。是AB的中點,

。在您上，CDJ_,“會圓術(shù)”給出您的弧長的近似值s的計算公

式：$=45+鳧1,當。4=2,NAOB=60°時，s=

.11-3/D11-4/

A.2口，2

C9-349-4人

C.------2------nD------7------

【解析】加圖，連接OC,因為。是A3的中點,所以OC1AB,

又CD_LAB,所以0,。,。三點共線，即。。=OA=。5=2,

又NHOB=60°,所以AB=OA=08=2,

則。。=小,故3=2-75,

所以s=4E+黑=2+?二*=且三將

【答案】B

9.甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2x,側(cè)面積分別為Sp和S乙，體積分別為4

和吃.若%=2,則裳=

J乙/乙

A.y/5B.2V2c,>/nrD.。丫1。

q

【解析】設母線長為/,甲圓饞底面半徑為r,,乙圓錐底而圓半徑為7、.

則知=普=1=2,所以『2乃，

--斗^=2元，則f"=L所以71=4?，'2'

-3-

2022高考理科數(shù)學（全國甲卷）

所以甲圓錐的高從=/_杼=爭

乙圓錐的高/?.,=c，=竽,，

所以?）=710.

吃初九吉aX

【答案I。

10.橢圓C：M+^=l（a＞b＞0）的左頂點為A,點P,Q均在C上,且關(guān)于y軸對稱.若直線AP,AQ的斜

aro-

率之積為則。的離心率為

4

A?字B-挈C.4D?寺

【解析】A（-a.0），設布（工“新），則Q（一孫“），則座”=y、R二y、

工?十a(chǎn)‘、"‘-X|-t-a

■>

VI

故2Ap,如Q=1/1出_=

巧+a-電+a-xf+a2」，

62(a2-xf)

又之+萼=1,則濟=史土也，所以

a-b'—工；+a'

所以橢圓。的離心率c=f=\A-f瓜

—?

【答案】力

11.設函數(shù)*工）=sin（sz+給在區(qū)間（0,TT）恰有三個極值點、兩個零點，則s的取值范圍是

B

A.旨,號）-[f'T)c?(居D陪,售]

【解析】依題意可律①＞。，因為cE（U,;r）,所以a）riY￡）

要使函裁在區(qū)間（U,K）恰有三個極值點，兩個冬點.

又2/二sinz,xG（?;樂）的圖象加下所示：

則晉〈麗+,43芯,解得替V?膏，即3W（皆用.

【答案】。

12.已知a=2,b=cos4，c=4sin\4lj

J/44

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【解析】因為尹4tan卜因為當工€（嗯）應皿＜工＜3皿所以12]＞與即￡＞1，所以0江

=cosri;+-y.7；2—1,xG（（）,+8）,f（J;）=-sinrr+U,所以f（x）在（0,+B）單調(diào)通增，

-4-

既然已經(jīng)出發(fā)，就一定能到達!

則f（，■）>/（（））=0,所以cos-j->U,所以>>a.所以c>b>a.

【答案】A

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13,設向量a,6的夾角的余弦值為4，且㈤=1,同=3,則（2a+8）4=.

【解析】設方與b的夾角為〃，因為五與不的夾角的余弦值為--、即co41

又|a|=1，Ml=3,所以d*b=|訃1X3xy=1，

BB（23+6）-fr=2a-fe2a-b4忖-2x1+3?=11.

【答案】11

14.若雙曲線力-%=1（m>0）的漸近線與圓爐+必一如+3=0相切，則m=.

nr

【解析】雙曲線/一二7=l（m>（））的漸近線為y=±—?即c±7ny=（）.

iivm

一妨?。篿：Imy=0，/：/;JI-//-,—!i/-r3=0,即..（y—2）2=1,所以同心為（。,2）,半徑r=I,

依惡意E］心（0.2）到浙近線x+my=0的距離d=，尸”1=1,解?得m=Am=—乎~（舍去）.

5/1+m--?->

【答案】李

15.從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為.

【解析】從正方體的S個頂點中任取」個Mn=C、'=7（M、結(jié)果，

這，個點在同一個平面的有m=6+6=12個，

故所求慨辛尸=詈=備=5?

【答案】捻

16.己知△ABC中，點。在邊8C上，NADB=120",AD=2,CD=23。，當嘿■取得最小值時，BD=

AJLJ

【解析】設CD=2GD=2m>（）,

則在AB。中，AB-=BD1-rAD"-'2BD?.二ADB=m、+」+2m.

在ACD中，AC2=CD1+AD2-2CD-ADcos/LADC=Am--rI-ini.

一、，AC2_-lmJ+Ihn一lOnr4-14-2/n）—12（1-4-m）

AB17n~-1+2mirr4--14-2m

=I--------------------l>1——/里一=?一2人一七

（）

-7^2\/m+l'^+T\

當且僅當za+I=-1］即7〃=，：；-1時，號號成立.._______/___\

-r1nc

所以當?取?最小位時"，—1.

/LD

【答案（或T+、8）

三、解答題:本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

（一）必考題:共60分.

17.（12分）

n71

記Sn為數(shù)列｛?！埃那绊椇?已知+=2Q“+1.

（1）證明：｛4｝是等差數(shù)列；

-5-

2022高考理科數(shù)學（全國甲卷）

(2)若為，的,的成等比數(shù)列，求S.的最小值.

2

［答案/(1)因為二:巴+n=2a?+1,印2Sn4-n=2nan+n①.

2

當n>2時，2S“i+(n-l)=2(n-l)an44-(n-l)②,

-2==

①一②得?2Sn+7T—2Sn-i(n—1)2nan4-n—2(n—l)an.I—(n-1)>

即2%+2n—1=2na.n-2(九一1)%-i+1?

即2(n—l)a?—2(n—l)an-i=2(n-1)，所以a?—an-i=1?n>2且nGN*,

所以{aj是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)由⑴可得。［=。1+3,。了=6+6,西=。1+8,

又@1，%,QJJ成等比數(shù)列，所以a；=Qi,的，

印(a1+6)2=(四+3)?(&1+8),解得。1=-12,

所以0T尸n—13,所以&=-12n+"=梟?-==(n—冬)--嚶,

所以，當n=12或n=13時(Sn)mill=-78.

18.(12分)

在四棱錐產(chǎn)一ABCD中，PD_L底面ABCD,CD〃AB,40=0C=CB=1,45=2,DP=4.

（1）證明：BDJ_PA；

（2）求PO與平面PAB所成的角的正弦值.

【答案】證明（1）PD_L底而ABCD，二PD±BD.

取AB中點E,連接DE,可知DE=梟15=1,

CD//AB,CD=BE,CDIIBE

四邊形BCDE為平行四邊形，;.DE=CB=L

???DE=1■⑷3,.?.△45。為直角三角形，AB為斜邊，.A。，

'.-PDCiAD=DB。_L平面PAD.：.BD±PA.

解：（2）由（1）知，尸D,AD,8。兩兩垂直，B。=-JAB2-AD2=瓜

建立空向直角坐標系如圖所示，則D(0,0,0),4(1,0,0).5((),《,0),P(0,0.x/3),

.-.PD=(O.O,-73),PA=(l,O,-^),AB=(-l,73,0),

設平面PAB的法向量為五=3，y,z),則

T—yf^Z=()

：內(nèi)1不妨設y=z=l,則五=(小/」)，

{-x+=0

設PD與平面F48的所成角為0,

-6-

既然已經(jīng)出發(fā)，就一定能到達！

則sin<7=|8sV兩，4>|=勇則-=

\PD\\n\V3xV5。

.?.P0與平面PAB的所成的角的正弦值為尊.

5

19.(12分)

甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個

項目比賽結(jié)束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,

0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.

(1)求甲學校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

【答案】解：(1)設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為AB,。，

所以甲學校獲得冠軍的概率為P=P{ABC)+P[ABC)+P(ABC)I-PiABC)

=0.5x0.4X0.S+0.5x0.4X0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0,4x0.2

=().16+0.16+0.24+0.04=().6.

(2)依談可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

F(X=0)=0.5X0.4X0.8=0.10,

產(chǎn)(X=10)=().5x0.4X0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x1).4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.Gx0.8+0.5x().4x().2+0.5x().6x().2=0.34,

P(X=30)=0.5X0.GX0.2=0.06.

印X的分布列為

X()1()2030

0.1G().440.340.0G

期望E(X)=l)x().lG+10x0.44+2UX0.34+30x0.06=13.

20.(12分)

設拋物線C:/=2「工g>0)的焦點為尸，點Z?(p,0),過尸的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于

工軸時，|A/F|=3.

(1)求。的方程：

(2)設直線MD,ND與C的另一個交點分別為A,B,記直線4W,A3的傾斜角分別為a,/L當“一口

取得最大值時，求直線AB的方程.

【答案】(1)拋物線的準線為①=—§，當兒。與C軸垂直時，點A/的橫坐標為P，

此時|八彼|=p+§=3,所以p=2,

所以拋物線。的方程為才=女；

⑵設M(,,y)N(號,yj,A(凈,疝,B(號,,立級MN:x=my+1,

■憶=T7VIJ+1

由｛可得y2-4my-4=(),△>0,劭如=一」，

I曠=4z

一偵=V3

由斜串公式可得用小=M4,=一小=4

顯_誼_劭+如，'山一遺—城一協(xié)十”

-7-

2022高考理科數(shù)學(全國甲卷)

直線MD：T=巴二2?y+2,代入拋物線方程可得才一鮑產(chǎn)?？-8=(),

y\

△>0，幼幼=-8,所以魴=2的,同理可得以=2M，

所以卜八8=44

物+妨2(y+s)2

又因為直線MN、AB的傾斜角分別為a*,

所以比u,=tan夕=警=粵一區(qū)，

若要使"0最大，則作(0號)，

tana-tan￡1__。

設由\雨=2A4B—2k>0?則tan(a—0)=

1+tanatan/i1+2fc2JL+2k

k

當且僅當/=次印人=卓時，等號成立，

所以當a-0最大時，卜八8=^^設直線AB:l+

代入拋物線,方程可得式一2y—4?i=0?

△>°，加汕=-4n=4yly2=-16,所以n=J,

所以直線AB:N="5"+-1.

21.(12分)已知函數(shù)f(c)=￡—Inx4-rr—a.

(I)若fQ)>0,求實數(shù)a的取值范圍：

(2)證明：若f(c)有兩個零點生，則皿物VI.

6,(工—I)(ex+x)(x—1)

【答案】(1才3)定義域為(o,+8)，r㈤=--+i=

X

令r(0=0=工=1,所以當UV。VI時，r(0VOJ(a)單調(diào)遞減；

當8>1時/(6)>0,/3)單調(diào)遞增;=/(I)=e+1—a,要使得f(七)NO恒成立，

即滿足f3)min=e+1—a20=Q<C+1.

(2)由(1)知要使fQ)有兩個零點，則/3)“IE=/(1)=e+1—aV0=e+1<a?

而f(x)=—Inx-\-x-a—e1nx+x—Inrr—a,

令±=c-Inrc,則/(a;)=er4-1—a有兩個零點3,附等價于關(guān)于e的方程Z一Inx=〃有兩個不相等的

實根，

再令九(工)=工—In-易知人㈤在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,十8)上單調(diào)遞增,

不妨設0V①］V1V要證明sgV1,印證明1V6V—,

皿

又由于h(x)在(1,+8)單調(diào)遞增，印證明拉包)<立弓)u>g)V拉(擊)在(0,1)上成立.

下面構(gòu)造函數(shù)尸(工)=九(二)一九(專)(。VhV1),

則F'(x)=h1(x)+及'(?■>方■=⑶？)?>(>恒成立，

F(x)在(0,1)單調(diào)遞J曾，而尸⑴=/(1)—/(1)=0,

所以F(x)〈尸(1)=。，即拉(工)V九(。)得證-

(二