2024屆福建永安市中考數(shù)學最后一模試卷含解析

2024屆福建永安市中考數(shù)學最后一模試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．如圖在△ABC中，AC＝BC，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，過D作DE∥BC交AC于點E，若BD＝6，AE＝5，則sin∠EDC的值為（）A． B． C． D．2．點A（a，3）與點B（4，b）關(guān)于y軸對稱，則（a+b）2017的值為（）A．0 B．﹣1 C．1 D．720173．一只不透明的袋子中裝有2個白球和1個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個球（不放回），再從余下的2個球中任意摸出1個球則兩次摸到的球的顏色不同的概率為（）A． B． C． D．4．的相反數(shù)是（）A． B．2 C． D．5．從甲、乙、丙、丁四人中選一人參加詩詞大會比賽，經(jīng)過三輪初賽，他們的平均成績都是86.5分，方差分別是S甲2＝1.5，S乙2＝2.6，S丙2＝3.5，S丁2＝3.68，你認為派誰去參賽更合適（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．如圖，⊙O內(nèi)切于正方形ABCD，邊BC、DC上兩點M、N，且MN是⊙O的切線，當△AMN的面積為4時，則⊙O的半徑r是（）A． B．2 C．2 D．47．若一組數(shù)據(jù)2，3，，5，7的眾數(shù)為7，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()A．2 B．3 C．5 D．78．如圖，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC=1，CE=3，連接AF交CG于M點，則FM=（）A． B． C． D．9．如圖，AB是定長線段，圓心O是AB的中點，AE、BF為切線，E、F為切點，滿足AE=BF，在上取動點G，國點G作切線交AE、BF的延長線于點D、C，當點G運動時，設AD=y，BC=x，則y與x所滿足的函數(shù)關(guān)系式為（）A．正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0，x＞0）B．一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，kb≠0，x＞0）C．反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0，x＞0）D．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，x＞0）10．甲、乙兩人約好步行沿同一路線同一方向在某景點集合，已知甲乙二人相距660米，二人同時出發(fā)，走了24分鐘時，由于乙距離景點近，先到達等候甲，甲共走了30分鐘也到達了景點與乙相遇.在整個行走過程中，甲、乙兩人均保持各自的速度勻速行走，甲、乙兩人相距的路程（米）與甲出發(fā)的時間（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，下列說法錯誤的是（）A．甲的速度是70米/分 B．乙的速度是60米/分C．甲距離景點2100米 D．乙距離景點420米二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．如果把拋物線y=2x2﹣1向左平移1個單位，同時向上平移4個單位，那么得到的新的拋物線是_____．12．如圖△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，現(xiàn)將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到△ACD，延長AD、BC交于點E，則DE的長是_____．13．已知拋物線開口向上且經(jīng)過點，雙曲線經(jīng)過點，給出下列結(jié)論：；；，c是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根；其中正確結(jié)論是______填寫序號14．關(guān)于x的方程（m﹣5）x2﹣3x﹣1=0有兩個實數(shù)根，則m滿足_____．15．如圖，已知點A是一次函數(shù)y＝x(x≥0)圖象上一點，過點A作x軸的垂線l，B是l上一點(B在A上方)，在AB的右側(cè)以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，反比例函數(shù)y＝(x＞0)的圖象過點B，C，若△OAB的面積為5，則△ABC的面積是________．16．如圖，正比例函數(shù)y1=k1x和反比例函數(shù)y2=的圖象交于A（﹣1，2），B（1，﹣2）兩點，若y1＞y2，則x的取值范圍是_____．三、解答題（共8題，共72分）17．（8分）據(jù)城市速遞報道，我市一輛高為2.5米的客車，卡在快速路引橋上高為2.55米的限高桿的上端，已知引橋的坡角∠ABC為14°，請結(jié)合示意圖，用你學過的知識通過數(shù)據(jù)說明客車不能通過的原因．（參考數(shù)據(jù)：sin14°=0.24，cos14°=0.97，tan14°=0.25）18．（8分）山西特產(chǎn)專賣店銷售核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天的銷售可增加20千克，若該專賣店銷售這種核桃要想平均每天獲利2240元，請回答：每千克核桃應降價多少元？在平均每天獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？19．（8分）如圖，為的直徑，，為上一點，過點作的弦，設．（1）若時，求、的度數(shù)各是多少？（2）當時，是否存在正實數(shù)，使弦最短？如果存在，求出的值，如果不存在，說明理由；（3）在（1）的條件下，且，求弦的長．20．（8分）（1）計算：；（2）解不等式組：21．（8分）如圖，某校一幢教學大樓的頂部豎有一塊“傳承文明，啟智求真”的宣傳牌CD．小明在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿山坡向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度i＝1:，AB＝10米，AE＝15米，求這塊宣傳牌CD的高度．（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）22．（10分）某景區(qū)門票價格80元/人，景區(qū)為吸引游客，對門票價格進行動態(tài)管理，非節(jié)假日打a折，節(jié)假日期間，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超過10人的部分打b折，設游客為x人，門票費用為y元，非節(jié)假日門票費用y1（元）及節(jié)假日門票費用y2（元）與游客x（人）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）a=，b=；（2）確定y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式：（3）導游小王6月10日（非節(jié)假日）帶A旅游團，6月20日（端午節(jié)）帶B旅游團到該景區(qū)旅游，兩團共計50人，兩次共付門票費用3040元，求A、B兩個旅游團各多少人？23．（12分）觀察下列等式：第1個等式：a1=-1，第2個等式：a2=，第3個等式：a3==2-，第4個等式：a4=-2，…按上述規(guī)律,回答以下問題：請寫出第n個等式：an=__________.a1+a2+a3+…+an=_________.24．如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）．DE∥AB交AC于點F，CE∥AM，連結(jié)AE．（1）如圖1，當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；（2）如圖2，當點D不與M重合時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）如圖3，延長BD交AC于點H，若BH⊥AC，且BH=AM．①求∠CAM的度數(shù)；②當FH=，DM=4時，求DH的長．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1、A【解析】

由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AD=DB=6，∠BDC=∠ADC=90°，由AE=5，DE∥BC知AC=2AE=10，∠EDC=∠BCD，再根據(jù)正弦函數(shù)的概念求解可得．【詳解】∵△ABC中，AC＝BC，過點C作CD⊥AB，∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，∵AE＝5，DE∥BC，∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝，故選：A．【點睛】本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)等知識點．2、B【解析】

根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)，可得答案．【詳解】解：由題意，得a=-4，b=1．（a+b）2017=（-1）2017=-1，故選B．【點睛】本題考查了關(guān)于y軸對稱的點的坐標，利用關(guān)于y軸對稱的點的縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)得出a，b是解題關(guān)鍵．3、B【解析】

本題主要需要分類討論第一次摸到的球是白球還是紅球，然后再進行計算.【詳解】①若第一次摸到的是白球，則有第一次摸到白球的概率為，第二次，摸到白球的概率為，則有；②若第一次摸到的球是紅色的，則有第一次摸到紅球的概率為，第二次摸到白球的概率為1，則有，則兩次摸到的球的顏色不同的概率為.【點睛】掌握分類討論的方法是本題解題的關(guān)鍵.4、D【解析】

因為-+＝0，所以-的相反數(shù)是.故選D.5、A【解析】

根據(jù)方差的概念進行解答即可.【詳解】由題意可知甲的方差最小，則應該選擇甲.故答案為A.【點睛】本題考查了方差，解題的關(guān)鍵是掌握方差的定義進行解題.6、C【解析】

連接,交于點設則根據(jù)△AMN的面積為4，列出方程求出的值，再計算半徑即可.【詳解】連接,交于點內(nèi)切于正方形為的切線，經(jīng)過點為等腰直角三角形，為的切線，設則△AMN的面積為4，則即解得故選:C.【點睛】考查圓的切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，綜合性比較強.7、C【解析】試題解析：∵這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7，∴x=7，則這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：2，3，1，7，7，中位數(shù)為：1．故選C．考點：眾數(shù)；中位數(shù).8、C【解析】

由正方形的性質(zhì)知DG=CG-CD=2、AD∥GF，據(jù)此證△ADM∽△FGM得,求出GM的長，再利用勾股定理求解可得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，

∴AD=CD=BC=1、CE=CG=GF=3，∠ADM=∠G=90°，

∴DG=CG-CD=2，AD∥GF，

則△ADM∽△FGM，∴，即,解得：GM=,∴FM===,故選：C．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識點．9、C【解析】

延長AD，BC交于點Q，連接OE，OF，OD，OC，OQ，由AE與BF為圓的切線，利用切線的性質(zhì)得到AE與EO垂直，BF與OF垂直，由AE=BF，OE=OF，利用HL得到直角三角形AOE與直角BOF全等，利用全等三角形的對應角相等得到∠A=∠B，利用等角對等邊可得出三角形QAB為等腰三角形，由O為底邊AB的中點，利用三線合一得到QO垂直于AB，得到一對直角相等，再由∠FQO與∠OQB為公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形FQO與三角形OQB相似，同理得到三角形EQO與三角形OAQ相似，由相似三角形的對應角相等得到∠QOE=∠QOF=∠A=∠B，再由切線長定理得到OD與OC分別為∠EOG與∠FOG的平分線，得到∠DOC為∠EOF的一半，即∠DOC=∠A=∠B，又∠GCO=∠FCO，得到三角形DOC與三角形OBC相似，同理三角形DOC與三角形DAO相似，進而確定出三角形OBC與三角形DAO相似，由相似得比例，將AD=x，BC=y代入，并將AO與OB換為AB的一半，可得出x與y的乘積為定值，即y與x成反比例函數(shù)，即可得到正確的選項．【詳解】延長AD，BC交于點Q，連接OE，OF，OD，OC，OQ，∵AE，BF為圓O的切線，∴OE⊥AE，OF⊥FB，∴∠AEO=∠BFO=90°，在Rt△AEO和Rt△BFO中，∵，∴Rt△AEO≌Rt△BFO（HL），∴∠A=∠B，∴△QAB為等腰三角形，又∵O為AB的中點，即AO=BO，∴QO⊥AB，∴∠QOB=∠QFO=90°，又∵∠OQF=∠BQO，∴△QOF∽△QBO，∴∠B=∠QOF，同理可以得到∠A=∠QOE，∴∠QOF=∠QOE，根據(jù)切線長定理得：OD平分∠EOG，OC平分∠GOF，∴∠DOC=∠EOF=∠A=∠B，又∵∠GCO=∠FCO，∴△DOC∽△OBC，同理可以得到△DOC∽△DAO，∴△DAO∽△OBC，∴，∴AD?BC=AO?OB=AB2，即xy=AB2為定值，設k=AB2，得到y(tǒng)=，則y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0，x＞0）．故選C．【點睛】本題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，切線長定理，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，做此題是注意靈活運用所學知識．10、D【解析】

根據(jù)圖中信息以及路程、速度、時間之間的關(guān)系一一判斷即可.【詳解】甲的速度==70米/分，故A正確，不符合題意；設乙的速度為x米/分．則有，660+24x-70×24=420，解得x=60，故B正確，本選項不符合題意，70×30=2100，故選項C正確，不符合題意，24×60=1440米，乙距離景點1440米，故D錯誤，故選D．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，行程問題等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11、y=2（x+1）2+1．【解析】原拋物線的頂點為（0，-1），向左平移1個單位，同時向上平移4個單位，那么新拋物線的頂點為（-1，1）；可設新拋物線的解析式為y=2（x-h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+1．12、【解析】

過點作于，根據(jù)三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可計算再由旋轉(zhuǎn)可得，，根據(jù)三角形外角和性質(zhì)計算，根據(jù)含角的直角三角形的三邊關(guān)系得和的長度，進而得到的長度，然后利用得到與的長度，于是可得.【詳解】如圖，過點作于，∵，∴．∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點落在點處，此時點落在點處，∴∵∴在中，∵∴∴，在中，∵，∴，∴．故答案為．【點睛】本題考查三角形性質(zhì)的綜合應用，要熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的三邊關(guān)系，旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)．13、①③【解析】試題解析：∵拋物線開口向上且經(jīng)過點（1，1），雙曲線經(jīng)過點（a，bc），∴，∴bc＞0，故①正確；∴a＞1時，則b、c均小于0，此時b+c＜0，當a=1時，b+c=0，則與題意矛盾，當0＜a＜1時，則b、c均大于0，此時b+c＞0，故②錯誤；∴可以轉(zhuǎn)化為：，得x=b或x=c，故③正確；∵b，c是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴a﹣b﹣c=a﹣（b+c）=a+（a﹣1）=2a﹣1，當a＞1時，2a﹣1＞3，當0＜a＜1時，﹣1＜2a﹣1＜3，故④錯誤；故答案為①③．14、m≥且m≠1．【解析】

根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到m﹣1≠0且然后求出兩個不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據(jù)題意得m﹣1≠0且解得且m≠1．故答案為:且m≠1．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．15、【解析】

如圖，過C作CD⊥y軸于D，交AB于E．設AB=2a，則BE=AE=CE=a，再設A（x，x），則B（x，x+2a）、C（x+a，x+a），再由B、C在反比例函數(shù)的圖象上可得x（x+2a）=（x+a）（x+a），解得x=3a，由△OAB的面積為5求得ax=5，即可得a2=，根據(jù)S△ABC=AB?CE即可求解.【詳解】如圖，過C作CD⊥y軸于D，交AB于E．∵AB⊥x軸，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BE=AE=CE，設AB=2a，則BE=AE=CE=a，設A（x，x），則B（x，x+2a），C（x+a，x+a），∵B、C在反比例函數(shù)的圖象上，∴x（x+2a）=（x+a）（x+a），解得x=3a，∵S△OAB=AB?DE=?2a?x=5，∴ax=5，∴3a2=5，∴a2=，∴S△ABC=AB?CE=?2a?a=a2=．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積，熟練掌握反比例函數(shù)上的點符合反比例函數(shù)的關(guān)系式是關(guān)鍵．16、x＜﹣2或0＜x＜2【解析】

仔細觀察圖像，圖像在上面的函數(shù)值大，圖像在下面的函數(shù)值小，當y2＞y2，即正比例函數(shù)的圖像在上，反比例函數(shù)的圖像在下時，根據(jù)圖像寫出x的取值范圍即可.【詳解】解：如圖，結(jié)合圖象可得：①當x＜﹣2時，y2＞y2；②當﹣2＜x＜0時，y2＜y2；③當0＜x＜2時，y2＞y2；④當x＞2時，y2＜y2．綜上所述：若y2＞y2，則x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜2．故答案為x＜﹣2或0＜x＜2．【點睛】本題考查了圖像法解不等式，解題的關(guān)鍵是仔細觀察圖像，全面寫出符合條件的x的取值范圍.三、解答題（共8題，共72分）17、客車不能通過限高桿，理由見解析【解析】

根據(jù)DE⊥BC，DF⊥AB，得到∠EDF=∠ABC=14°．在Rt△EDF中，根據(jù)cos∠EDF=，求出DF的值，即可判斷.【詳解】∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠EDF=∠ABC=14°．在Rt△EDF中，∠DFE=90°，∵cos∠EDF=，∴DF=DE?cos∠EDF=2.55×cos14°≈2.55×0.97≈2.1．∵限高桿頂端到橋面的距離DF為2.1米，小于客車高2.5米，∴客車不能通過限高桿．【點睛】考查解直角三角形，選擇合適的銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.18、（1）4元或6元；（2）九折.【解析】

解：（1）設每千克核桃應降價x元.根據(jù)題意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，化簡，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃應降價4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降價4元或6元.∵要盡可能讓利于顧客，∴每千克核桃應降價6元.此時，售價為：60﹣6=54（元），.答：該店應按原售價的九折出售.19、（1），;（2）見解析；（3）．【解析】

（1）連結(jié)AD、BD,利用m求出角的關(guān)系進而求出∠BCD、∠ACD的度數(shù);

（2）連結(jié),由所給關(guān)系式結(jié)合直徑求出AP，OP，根據(jù)弦CD最短，求出∠BCD、∠ACD的度數(shù)，即可求出m的值．

（3）連結(jié)AD、BD，先求出AD，BD，AP，BP的長度，利用△APC∽△DPB和△CPB∽△APD得出比例關(guān)系式，得出比例關(guān)系式結(jié)合勾股定理求出CP，PD，即可求出CD．【詳解】解：（1）如圖1，連結(jié)、．是的直徑，又，，（2）如圖2，連結(jié)．，，，則，解得要使最短，則于，，，故存在這樣的值，且；（3）如圖3，連結(jié)、．由（1）可得，，，，，，，，①，②同理，③，由①得，由③得，在中，，，由②，得，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系和圓周角定理等知識，掌握圓周角定理以及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．20、（1）；（2）．【解析】

（1）根據(jù)冪的運算與實數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.（2）先整理為最簡形式，再解每一個不等式，最后求其解集.【詳解】（1）解：原式==（2）解不等式①，得.解不等式②，得.∴原不等式組的解集為【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算和解一元一次不等式組，熟練掌握和運用相關(guān)運算性質(zhì)是解答關(guān)鍵.21、2.7米【解析】解：作BF⊥DE于點F，BG⊥AE于點G在Rt△ADE中∵tan∠ADE=,∴DE="AE"·tan∠ADE=15∵山坡AB的坡度i=1：，AB=10∴BG=5，AG=，∴EF=BG=5，BF=AG+AE=+15∵∠CBF=45°∴CF=BF=+15∴CD=CF+EF—DE=20—10≈20—10×1.732=2.68≈2.7答：這塊宣傳牌CD的高度為2.7米．22、（1）a=6，b=8；（2）;（3）A團有20人，B團有30人.【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)圖像，用購票款數(shù)除以定價的款數(shù)，計算即可求得a的值；用11人到20人的購票款數(shù)除以定價的款數(shù)，計算即可解得b的值；（2）分0≤x≤10與x＞10，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式求得y2的函數(shù)關(guān)系式即可；（3）設A團有n人，表示出B團的人數(shù)為（50-n），然后分0≤x≤10與x＞10兩種情況，根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式列出方程求解即可.【詳解】（1）由y1圖像上點（10,480），得到10人的費用為480元，∴a=；由y2圖像上點（10,480）和（20，1440），得到20人中后10人的費用為640元，∴b=；（2）0≤x≤10時，設y2=k2x,把（10,800）代入得10k2=800,解得k2=80，∴y2=80x，x＞10，設y2=kx+b,把（10,800）和（20,1440）代入得解得∴y2=64x+160∴（3）設B團有n人，則A團的人數(shù)為（50-n）當0≤n≤10時80n+48（50-n）=3040，解得n=20(不符合題意舍去)當n＞10時，解得n=30.則50-n=20人，則A團有20人，B團有30人.【點睛】此題主要考查一次函數(shù)的綜合運用，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式.23、（1）=；（2）．【解析】

（1）根據(jù)題意可知，，，，，…由