重積分的應(yīng)用

第四節(jié)一、立體體積二、曲面的面積三、物體的質(zhì)心四、物體的轉(zhuǎn)動慣量五、物體的引力機動目錄上頁下頁返回結(jié)束重積分的應(yīng)用第十章第一頁，共三十三頁。1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是對區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計算要簡便2.用重積分解決問題的方法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁，共三十三頁。一、立體體積

曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為

占有空間有界域

的立體的體積為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共三十三頁。任一點的切平面與曲面所圍立體的體積V.解:曲面的切平面方程為它與曲面的交線在xoy面上的投影為(記所圍域為D)在點例1.求曲面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共三十三頁。PPT內(nèi)容概述第四節(jié)。1.能用重積分解決的實際問題的特點。從定積分定義出發(fā)建立積分式。畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、。所圍立體的體積V.。出的面積A.。方法2利用直角坐標(biāo)方程.。方法1利用球坐標(biāo)方程.。距地面的高度為h=36000km,。的連線為z軸,建立坐標(biāo)系,如右圖所示.。半頂角為的圓錐面所截得的部分.。設(shè)物體占有空間域,。將第k塊看作質(zhì)量集中于點。在第k塊上任取一點。若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,。例6.一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線。內(nèi)儲有高為h的均質(zhì)鋼液,。設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)。對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為。對y軸的轉(zhuǎn)動慣量。例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑。物體對位于原點的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力。設(shè)面密度為μ,半徑為R的圓形薄片。(t為時間)的雪堆在融化過程中,其。(比例系數(shù)0.9),。問高度為130cm的雪堆全部融化需要第五頁，共三十三頁。例2.求半徑為a的球面與半頂角為

的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解:在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域為則立體體積為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共三十三頁。二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D上的投影為d

,(稱為面積元素)則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共三十三頁。故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共三十三頁。若光滑曲面方程為若光滑曲面方程為隱式則則有且機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共三十三頁。例3.計算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影為則出的面積A.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共三十三頁。例4.計算半徑為a的球的表面積.解:設(shè)球面方程為球面面積元素為方法2利用直角坐標(biāo)方程.方法1利用球坐標(biāo)方程.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(P170例1)第十一頁，共三十三頁。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5設(shè)有一顆地球同步軌道通信衛(wèi)星,距地面的高度為h=36000km,速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同.通信衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值.運行的角試計算該解取地心為坐標(biāo)原點,地心到通信衛(wèi)星的連線為z軸,建立坐標(biāo)系,如右圖所示.通信衛(wèi)星覆蓋的曲面

是上半球面被半頂角為

的圓錐面所截得的部分.

的方程為于是,通信衛(wèi)星的覆蓋面積為其中,Dxy是曲面在xOy面上的投影區(qū)域.第十二頁，共三十三頁。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用極坐標(biāo),得由于代入上式得由此得這顆通信衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為由已上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積.地球全部表面.故使用三顆相隔角度的通信衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎第十三頁，共三十三頁。三、物體的質(zhì)心設(shè)空間有n個質(zhì)點,其質(zhì)量分別由力學(xué)知,該質(zhì)點系的質(zhì)心坐標(biāo)設(shè)物體占有空間域

,有連續(xù)密度函數(shù)則公式,分別位于為為即:采用“大化小,常代變,近似和,取極限”可導(dǎo)出其質(zhì)心機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共三十三頁。將

分成n小塊,將第k塊看作質(zhì)量集中于點例如,令各小區(qū)域的最大直徑系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).的質(zhì)點,即得此質(zhì)點在第k塊上任取一點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁，共三十三頁。同理可得則得形心坐標(biāo)：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共三十三頁。若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D的面積)得D的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對x軸的

靜矩—對y軸的

靜矩機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共三十三頁。例5.求位于兩圓和的質(zhì)心.

解:利用對稱性可知而之間均勻薄片機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(P173例3)第十八頁，共三十三頁。例6.一個煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形,剖面壁線的方程為內(nèi)儲有高為

h的均質(zhì)鋼液,解:利用對稱性可知質(zhì)心在z

軸上，采用柱坐標(biāo),則爐壁方程為因此故自重,求它的質(zhì)心.若爐不計爐體的其坐標(biāo)為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共三十三頁。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共三十三頁。四、物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域,有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x,y,z)處的微元因此物體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量:對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為因質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量之和,故連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共三十三頁。類似可得:對x軸的轉(zhuǎn)動慣量對y軸的轉(zhuǎn)動慣量對原點的轉(zhuǎn)動慣量機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共三十三頁。如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動慣量的表達式是二重積分.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共三十三頁。例7.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(P175例5)第二十四頁，共三十三頁。解:

取球心為原點,z軸為l軸,則球體的質(zhì)量例8.求均勻球體對于過球心的一條軸

l的轉(zhuǎn)動慣量.設(shè)球所占域為(用球坐標(biāo))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十五頁，共三十三頁。G

為引力常數(shù)五、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對位于原點的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力利用元素法,在上積分即得各引力分量:其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十六頁，共三十三頁。對xoy面上的平面薄片D,它對原點處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力分量為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十七頁，共三十三頁。例9.設(shè)面密度為μ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點解:由對稱性知引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十八頁，共三十三頁。例10.求半徑R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點的引力.解:利用對稱性知引力分量點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(P177例7)第二十九頁，共三十三頁。為球的質(zhì)量機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三十頁，共三十三頁。(t為時間)的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長度單位為厘米,時間單位為小時,設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù)0.9),問高度為130cm的雪堆全部融化需要多少小時?(2001考研)機動