向量的數(shù)量積(第1課時)

（第一課時）6.2.4向量的數(shù)量積問題1：我們已經(jīng)學習了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？向量的加法、減法及數(shù)乘運算

復習舊知溫故知新這些運算的結(jié)果仍是一個向量向量有大小和方向，是矢量，那它和標量能產(chǎn)生聯(lián)系嗎？類比數(shù)的運算，出現(xiàn)了一個自然的問題：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義呢？與向量的數(shù)乘一樣嗎？一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積概念一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積概念問題2：某人拉車，沿著繩子方向上的力為，車的位移為，力和位移的夾角為，力所做的功為多少？一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積概念問題3：決定功的大小的量有哪幾個？一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積概念問題4：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個一般向量，其結(jié)果又該如何表述？兩個向量的乘積等于向量的大小及其夾角余弦的乘積。

功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；

與

反向OAB

與

同向OAB

兩個非零向量

和，作，則叫做向量

和

的夾角．記作：與

垂直O(jiān)AB注意:在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的問題5：不共線的向量有不同的方向，它們的位置關(guān)系可用夾角來表示。如何定義向量的夾角？OAB

已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積（innerproduct）），記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積概念10注意：(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos

的符號所決定．(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成

，不能寫成

或，書寫時要嚴格區(qū)分．①兩個非零向量的數(shù)量積是個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積；②零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即a·0=0；③符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替；④當0≤θ＜時，cosθ＞0，從而a·b>0；

當

＜θ≤π時，cosθ<0，從而a·b<0．數(shù)量積概念辨析：一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積概念例1

已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=，求a·b．解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×=5×4×(-)=-10．例2設(shè)|a|=12，|b|=9，a·b=-54，求a與b的夾角

．解：由a·b=|a||b|cosθ，得cosθ=

．

因為θ∈[0，π]，所以θ=．一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入數(shù)量積概念

二、引入投影概念，體會投影意義觀察，你覺得是什么？如果加上向量符號呢？

二、引入投影概念，體會投影意義

設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，請你探究

與e，a，θ之間的關(guān)系．AA1Bbac

bac

顯然，與e共線，于是由于有正負，我們可以討論當θ為銳角、直角、鈍角時的值。二、引入投影概念，體會投影意義

(1)當θ為銳角時，

與e方向相同，

，所以；(2)當θ為直角時，λ=0，所以

；(3)當θ為鈍角時，

與e方向相反，所以

，

即

．特別地，當θ=0時，λ=|a|，所以

；

當θ=π時，λ=-|a|，所以

．AA1B二、引入投影概念，體會投影意義

追問：從上面的探究我們看到，兩個非零向量a與b相互平行或垂直時，a在b上的投影具有特殊性．這時，它們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性？a與b相互平行a與b相互垂直a·b=|a||b|a·b=0如果a·b=0，無法判斷a=0，或b=0．二、引入投影概念，體會投影意義如果a·b=0，是否有a=0，或b=0？(1)

；(2)若與同向，則

；若與反向，則

；特別地，

，

依據(jù)數(shù)量積定義完成以下問題(與是非零向量)(4)

.≤(3)

；判定兩向量垂直用于計算向量的模用于計算向量的夾角,以及判斷三角形的形狀.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(與是非零向量)三、研究數(shù)量積的性質(zhì)總結(jié)一、向量的數(shù)量積二、向量的投影三、向量數(shù)量積的性質(zhì)a·b=|a||b|cosθ目標檢測設(shè)計1．下列各式中正確的是（

）．A．0

a=0

B．0

a=0

C．0

a=0

D．0

a=02．已知e為單位向量，|a|=4，a與e夾角為，則a在e方向上的

投影向量為

．3．已知|a|=3，|b|=8，則：（1）當a

b=0時，a與b的關(guān)系為

．（2）當a

b=24時，a與b的關(guān)系為

．（3）當a

b=-12

時，a與b的夾角為

．在學生所處的現(xiàn)實生活中為了讓在教學“自由落體運動”時，除了教材安排的演示實驗之外，教師還可以引入生活中的趣味情境：教師將一小塊鐵片、一片樹葉拿在手中，詢問如果教師將手中的物品從空中扔下，哪一個會先落地？積極思考后，有的學生表示是鐵片;有的學生覺得未必，有可能是樹葉，還有的學生表示實踐是檢驗真理的唯一標準，需要看看實驗結(jié)果。教師在學生的面前憑借生活情境的創(chuàng)設(shè)進行演示，將生活中十分常見的事物作為教育資源進行應用，借助生活中趣味化的情境進行教育引導，幫助學生完成知識學習，激發(fā)學習興趣。

學生感受到物理與生活之間的關(guān)系，筆者組織學生借助“社會調(diào)查”的方式對生活中的物理現(xiàn)象進行整理。比如：摩擦起電、電梯的失重和超重、彩虹的形成等，引導學生以小組為單位自主將這些與物理知識有關(guān)的生活現(xiàn)象進行整理。之后，在小組互補的過程中完善這一實踐調(diào)查的結(jié)果。之后，各小組在其中選擇一種現(xiàn)象，利用生活中常見的“用品”來進行實驗論證，并嘗試用物理知識進行解釋，以此幫助學生掌握相關(guān)的物理知識，為學生應用意識的提升打好基礎(chǔ)。而且，這樣的實驗要比單純地要求學生在實驗室里按照教材中的步驟進行驗證效果要好得多，學生的參與積極性也能被調(diào)動，也能在這個過程中獲得成就感。除此之外，我們還可以直觀展示的方式將生活中的物理現(xiàn)象呈現(xiàn)在課堂上，引導學生結(jié)合所學進行分析，以此讓學生真切地感受到物理與生活之間的密切關(guān)系。

有許多與物理學科有關(guān)的現(xiàn)象和素材，這為教師構(gòu)建“生活化”的物理實驗提供了一定的素材支持。教師要善于利用生活中的素材來改進物理實驗，使學生感受到物理課程的“生活性”特點，讓物理課堂逐漸回歸到現(xiàn)實生活中，將以往枯燥、沉悶的教學變得“活”起來，為物理課增添更多的生活氣息，逐漸轉(zhuǎn)變學生以往對物理課程的消極態(tài)度。因此，通過生活素材的引用在很大程度上可以改善物理課堂的氛圍，讓學生以更高的熱情投入對物理實驗的建構(gòu)、分析中，使學生接下來的學習更簡單。

例如，在教學“超重與失重”中的失重現(xiàn)象時，一般情況下