專題04 反比例函數(shù)綜合的壓軸真題訓練（解析版）-中考數(shù)學壓軸題

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學選擇、填空壓軸真題匯編專題04反比例函數(shù)綜合的壓軸真題訓練一．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共4小題）1．（2022?十堰）如圖，正方形ABCD的頂點分別在反比例函數(shù)y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的圖象上．若BD∥y軸，點D的橫坐標為3，則k1+k2＝（）A．36 B．18 C．12 D．9【答案】B【解答】解：連接AC交BD于E，延長BD交x軸于F，連接OD、OB，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，設(shè)AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y軸，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函數(shù)y＝（k1＞0）的圖象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函數(shù)y＝（k1＞0）的圖象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的圖象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故選：B．2．（2022?通遼）如圖，點D是?OABC內(nèi)一點，AD與x軸平行，BD與y軸平行，BD＝，∠BDC＝120°，S△BCD＝，若反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過C，D兩點，則k的值是（）A．﹣6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣12【答案】C【解答】解：過點C作CE⊥y軸，延長BD交CE于點F，∵四邊形OABC為平行四邊形，∴AB∥OC，AB＝OC，∴∠COE＝∠1，∵BD與y軸平行，∴∠1＝∠ABD，∠ADB＝90°，∴∠COE＝∠ABD，在△COE和△ABD中，，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE＝BD＝，∵S△BDC＝BD?CF＝，∴CF＝9，∵∠BDC＝120°，∴∠CDF＝60°，∴DF＝3，點D的縱坐標為4，設(shè)C（m，），則D（m+9，4），∵反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象經(jīng)過C，D兩點，∴k＝m＝4（m+9），∴m＝﹣12，∴k＝﹣12，故選：C．3．（2022?宜賓）如圖，△OMN是邊長為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與邊MN、OM分別交于點A、B（點B不與點M重合）．若AB⊥OM于點B，則k的值為．【答案】9【解答】解：過點B作BC⊥x軸于點C，過點A作AD⊥x軸于點D，如圖，∵△OMN是邊長為10的等邊三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°設(shè)OC＝b，則BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B兩點都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b?b，解得b＝3或5，當b＝5時，OB＝2b＝10，此時B與M重合，不符題意，舍去，∴b＝3，∴k＝b?b＝9，故答案為：9．4．（2022?樂山）如圖，平行四邊形ABCD的頂點A在x軸上，點D在y＝（k＞0）上，且AD⊥x軸，CA的延長線交y軸于點E．若S△ABE＝，則k＝．【答案】3【解答】解：設(shè)BC與x軸交于點F，連接DF、OD，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，∴S△OAD＝S△ABE＝，∴k＝3，故答案為：3．二．反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征（共4小題）5．（2022?宿遷）如圖，點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，以O(shè)A為一邊作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，則線段OB長的最小值是（）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【解答】解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴當OB最小時，OA最小，設(shè)A點坐標為（a，），∴OA＝，∵≥0，即：﹣4≥0，∴≥4，∵≥0，兩邊同時開平方得：a﹣＝0，∴當a＝時，OA有最小值，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），∴A點坐標為（，），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB為斜邊，∴OB＝OA＝2．故選：C．6．（2022?棗莊）如圖，正方形ABCD的邊長為5，點A的坐標為（4，0），點B在y軸上，若反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象過點C，則k的值為（）A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3【答案】C【解答】解：如圖，過點C作CE⊥y軸于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵點A的坐標為（4，0），∴OA＝4，∵AB＝5，∴OB＝＝3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，∴點C的坐標為（﹣3，1），∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象過點C，∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，故選：C．7．（2022?江西）已知點A在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長為5，則AB的長為．【答案】5或2或【解答】解：當AO＝AB時，AB＝5；當AB＝BO時，AB＝5；當OA＝OB時，設(shè)A（a，）（a＞0），B（5，0），∵OA＝5，∴＝5，解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB＝＝2或AB＝＝；綜上所述，AB的長為5或2或．故答案為：5或2或．8．（2022?寧波）如圖，四邊形OABC為矩形，點A在第二象限，點A關(guān)于OB的對稱點為點D，點B，D都在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，BE⊥x軸于點E．若DC的延長線交x軸于點F，當矩形OABC的面積為9時，的值為，點F的坐標為．【答案】，（，0）．【解答】解：如圖，方法一：作DG⊥x軸于G，連接OD，設(shè)BC和OD交于I，設(shè)點B（b，），D（a，），由對稱性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，∴OI＝BI，∴DI＝CI，∴＝，∵∠CID＝∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI＝∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，∵S△BOE＝S△DOG＝＝3，S四邊形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD＝S△BOD＝，∴?（a﹣b）＝，∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）?（2a+b）＝0，∴a＝2b，a＝﹣（舍去），∴D（2b，），即：（2b，），在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2＝OB2，∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，∴b＝，∴B（，2），D（2，），∵直線OB的解析式為：y＝2x，∴直線DF的解析式為：y＝2x﹣3，當y＝0時，2﹣3＝0，∴x＝，∴F（，0），∵OE＝，OF＝，∴EF＝OF﹣OE＝，∴＝，方法二：如圖，連接BF，BD，作DG⊥x軸于G，直線BD交x軸于H，由上知：DF∥OB，∴S△BOF＝S△BOD＝，∵S△BOE＝|k|＝3，∴＝＝，設(shè)EF＝a，F(xiàn)G＝b，則OE＝2a，∴BE＝，OG＝3a+b，DG＝，∵△BOE∽△DFG，∴＝，∴＝，∴a＝b，a＝﹣（舍去），∴D（4a，），∵B（2a，），∴＝＝，∴GH＝EG＝2a，∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，∴△ODG∽△DHG，∴，∴，∴a＝，∴3a＝，∴F（，0）故答案為：，（，0）．三．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共1小題）9．（2022?湖州）如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的負半軸上，點B在y軸的負半軸上，tan∠ABO＝3，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖象經(jīng)過點C的反比例函數(shù)的解析式是y＝，則圖象經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式是．【答案】y＝﹣【解答】解：如圖，過點C作CT⊥y軸于點T，過點D作DH⊥CT交CT的延長線于點H．∵tan∠ABO＝＝3，∴可以假設(shè)OB＝a，OA＝3a，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，∴∠ABO＝∠BCT，∴△AOB≌△BTC（AAS），∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，∴OT＝BT﹣OB＝2a，∴C（a，2a），∵點C在y＝上，∴2a2＝1，同法可證△CHD≌△BTC，∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，∴D（﹣2a，3a），設(shè)經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式為y＝，則有﹣2a×3a＝k，∴k＝﹣6a2＝﹣3，∴經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式是y＝﹣．故答案為：y＝﹣．四．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共2小題）10．（2022?懷化）如圖，直線AB交x軸于點C，交反比例函數(shù)y＝（a＞1）的圖象于A、B兩點，過點B作BD⊥y軸，垂足為點D，若S△BCD＝5，則a的值為（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【解答】解：設(shè)點B的坐標為（m，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×m×＝5，解得：a＝11，故選：D．11．（2022?巴中）將雙曲線y＝向右平移2個單位，再向下平移1個單位，得到的新雙曲線與直線y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，…，1011）相交于2022個點，則這2022個點的橫坐標之和為．【答案】4044【解答】解：直線y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）可由直線y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）向右平移2個單位，再向下平移1個單位得到，∴直線y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）到直線y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的平移方式與雙曲線雙曲線的相同，∴新雙曲線與直線y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的交點也可以由雙曲線與直線y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的交點以同樣的方式平移得到，設(shè)雙曲線與直線y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的交點的橫坐標為xi，x'i，（i＝1，2，3，???，1011），則新雙曲線與直線y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的交點的橫坐標為xi+2，x'i+2（i＝1，2，3，???，1011），根據(jù)雙曲線與直線y＝kix（ki＞0，i＝1