利用函數(shù)性質(zhì)判斷方程解的存在性高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊

利用函數(shù)性質(zhì)判斷方程解的存在性1.理解函數(shù)零點概念，了解函數(shù)零點與方程根的關(guān)系.提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)（難點）2.掌握函數(shù)零點的判斷方法并會判斷函數(shù)零點的個數(shù).提升數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)(易錯點）3.會求函數(shù)的零點.提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)（重點）給定的二次函數(shù)y＝x2＋2x－3，其圖像如下：問題1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？提示：方程的根為－3,1.

問題2：函數(shù)的圖像與x軸的交點是什么？提示：交點為(－3,0)，(1,0)．問題3：方程的根與交點的橫坐標有什么關(guān)系？提示：相等．

問題導(dǎo)入：

一．函數(shù)的零點1.函數(shù)的零點：函數(shù)y＝f(x)的

與

稱為這個函數(shù)的零點．2.注意：（1）求函數(shù)的零點就是求方程f(x)=0的根。（2）函數(shù)的零點不是一個點，而是具體的自變量的取值。（3）函數(shù)的零點可以有一個或多個，也可能沒有。圖像橫軸的交點的橫坐標3.方法：方程f(x)＝0有實數(shù)根

函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點

函數(shù)y＝f(x)有零點

例1求下列函數(shù)的零點．(1)y＝－x2－x＋20；

(2)f(x)＝x4－1.

[思路點撥]先因式分解，再確定函數(shù)的零點．[精解詳析]

(1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)＝－(x＋5)(x－4)，方程－x2－x＋20＝0的兩根為－5,4.故函數(shù)的零點－5,4；(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，∴方程x4－1＝0的實數(shù)根是－1,1.故函數(shù)的零點是－1,1.[一點通]求函數(shù)的零點常用方法是解方程(1)一元二次方程可用求根公式求解．(2)高次方程可用因式分解法求根．練習(xí)：求出下列函數(shù)的零點(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；

(2)f(x)＝1＋log3x；(3)f(x)＝4x－16.解:(1)令-8x2+7x+1=0,即8x2-7x-1=0,∴x=-或x=1∴f(x)的零點為-和1(2)令1+log3x=0,則log3x=-1解得X=所以函數(shù)的零點為(3)令4x-16=0,則4x=42，解得x=2，所以函數(shù)的零點為2二．函數(shù)零點的判定1.方法：如果函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是________的一條曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號

，即______________，則(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少_________零點，即相應(yīng)的方程f(x)＝0在(a，b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解．f(a)f(b)<0有一個連續(xù)相反2.注意:a.函數(shù)y=f(x)的圖像必須是連續(xù)曲線，且f(a)·f(b)<0.b.只能判斷零點的存在，可能有一個或多個，但并不能求出根的值c.當f(a)·f(b)>0時,在區(qū)間(a,b)內(nèi)可能有零點也可能沒零點。d.如果知道y=f(x)是單調(diào)函數(shù)，那么零點就只有一個。例2.已知函數(shù)f(x)=3x-x2.問：方程f(x)=0在區(qū)間[-1，0]內(nèi)有沒有實數(shù)解？為什么?解因為f(-1)＜0,f(0)＞0,其圖像是連續(xù)曲線，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，0]內(nèi)有零點即方程f(x)=0在區(qū)間[-1，0]內(nèi)有實數(shù)解變式：方程f(x)=0在R上有幾個實數(shù)解呢？函數(shù)對應(yīng)的方程為3x-x2＝0即求函數(shù)y＝3x

與y＝x2圖像交點個數(shù)．在同一坐標系下，畫出兩個函數(shù)的圖像，如圖知有1個交點．從而函數(shù)y＝3x-x2有一個零點．1.已知方程2x-1=5-x,則該方程在哪個區(qū)間內(nèi)一定有解（）A.(0,1）B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

題組練習(xí)：答案：C解：(1)函數(shù)對應(yīng)的方程為log2x－x＋2＝0.即求函數(shù)y＝log2x與y＝x－2圖像交點個數(shù)．在同一坐標系下，畫出兩個函數(shù)的圖像，如圖只有2個交點．從而函數(shù)y＝log2x－x＋2有兩個零點．

5.判斷下列函數(shù)有幾個零點？(1)y＝log2x－x＋2(2)y＝ex＋2x－6；方法二：由于y1＝ex在R上單調(diào)遞增，y2＝2x－6在R上單調(diào)遞增，∴y＝ex＋2x－6在R上單調(diào)遞增．又f(0)＝1＋0－6＝－5<0，f(3)＝e3＋6-

6＝e3>0.∴y＝f(x)在(0,3)上有一個零點．從而知此函數(shù)只有一個零點；（2）方法一：函數(shù)對應(yīng)的方程為ex+2x-6=0.即求函數(shù)y＝ex

與y＝--2x+6圖像交點個數(shù)．在同一坐標系下，畫出兩個函數(shù)的圖像，如圖，只有一個交點.所以此函數(shù)只有一個零點

5.判斷下列函數(shù)有幾個零點？(1)y＝log2x－x＋2(2)y＝ex＋2x－6；[一點通]

判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法主要有：(1)解方程：當能直接求解零點時，就直接求出進行判斷．(2)用定理：零點存在性定理,及函數(shù)的單調(diào)性。

(3)利用圖像的交點：有些題目可先畫出某兩個函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的圖像，其交點的橫坐標是f(x)－g(x)的零點．補充練習(xí)1.函數(shù)f(x)=-x2-2x+3的零點是()A.3,-1B.-3,1C.1,3D.-1,-32.二次函數(shù)y=ax2+bx+c,a*c＜0,則函數(shù)的零點個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3

BC3.若函數(shù)f(x)=ax+2在區(qū)間[-2,1]上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是()A.[-2,1]B.[-1,2]C.[-2.5,4]D.（-∞,-2]∪[1，+∞）D4．若函數(shù)f(x)＝ax－b有一個零點是3，那么函數(shù)

g(x)＝bx2＋3ax的零點是________．

解析：∵函數(shù)f(x)＝ax－b的零點是3，

∴3a－b＝0，即b＝3a.于是函數(shù)g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx

＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.

答案：0，－1思