高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè) 直線與平面平行 學(xué)案

8.5.2直線與平面平行

考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

理解直線與平面平行的定義，會(huì)用圖

形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)

語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行的判定

直線與平面平行的判定直觀想象、邏輯推理

定理，會(huì)用直線與平面平

行的判定定理證明一些空間線面位置

關(guān)系

理解并能證明直線與平面平行的性質(zhì)

定理，明確定理的條件，

直線與平面平行的性質(zhì)直觀想象、邏輯推理

能利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解

決有關(guān)的平行問題

■預(yù)習(xí)案，@@@

?研遞:導(dǎo)學(xué)?嘗試.4

◎問題導(dǎo)學(xué)

預(yù)習(xí)教材P135—P138的內(nèi)容，思考以下問題：

1.直線與平面平行的判定定理是什么？

2.直線與平面平行的性質(zhì)定理是什么？

1.直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平

文字語(yǔ)言

面平行

符號(hào)語(yǔ)言a-。，buQ,旦a"b0alia

——a

圖形語(yǔ)言Z—N

■名師點(diǎn)撥...................................................................

用該定理判斷直線a和平面a平行時(shí)，必須同時(shí)具備三個(gè)條件：

(1)直線a在平面a外，即aQ。.

⑵直線Z?在平面Q內(nèi)，即bua.

(3)兩直線a,b平行,即?！?/p>

2.直線與平面平行的性質(zhì)定理

一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么

文字語(yǔ)言

該直線與交線平行

符號(hào)語(yǔ)言a//a,auB,aClB=bna//b

\pa\

圖形語(yǔ)言

/b

■名師點(diǎn)撥...................................................................

(1)線面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個(gè)：

①直線4與平面a平行，即a〃a；

②平面a,￡相交于一條直線，即aCl夕=匕；

③直線a在平面￡內(nèi)，即au￡.

以上三個(gè)條件缺一不可.

(2)定理的作用：

①線面平行=線線平行；

②畫一條直線與已知直線平行.

(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得

到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

檢測(cè)?

fl判斷(正確的打“卜：錯(cuò)誤的打“X”)

(1)如果一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.()

(2)若直線/上有兩點(diǎn)到平面a的距離相等，則/〃平面a.()

(3)若直線/與平面a平行，則/與平面a內(nèi)的任意一條直線平行.()

(4)若直線a〃平面a,直線a〃直線江則直線匕〃平面a.()

(5)若直線a〃平面a,則直線a與平面a內(nèi)任意一條直線都無公共點(diǎn).()

答案：⑴X(2)X(3)X(4)X(5)V

?能保證直線a與平面a平行的條件是()

A.bua,a//b

B.bua,c//a,a//b,a//c

C.bua,A,BSa,C,D?b,S.AC//BD

D.aQa,bua,a//b

答案：D

?如圖，在三棱錐S-A8C中，E,尸分別是SB,SC上的點(diǎn)，且EF〃平面ABC,則()

A.EF與BC相交B.EF//BC

C.EF與8c異面D.以上均有可能

解析：選B.因?yàn)槠矫鍿BCC平面4BC=BC,又因?yàn)镋尸〃平面ABC,所以EF〃BC.

0已知/,，〃是兩條直線，。是平面，若要得到“/〃a”，則需要在條件“，"Ua,I//

W中另外添加的一個(gè)條件是.

解析：根據(jù)直線與平面平行的判定定理，知需要添加的一個(gè)條件是“/《a”.

答案：/Qa

解惑?探究,突破

探究點(diǎn)包

直線與平面平行的判定

函廳1如圖，在正方體48aMiBiGDi中，E,F,G分別是BC,CG，

BBi的中點(diǎn)，求證：EF〃平面AAG.

【證明】連接8G,則由E,尸分別是BC,CG的中點(diǎn)，知EF〃BC\.

又AB/ABiZOiG,所以四邊形ABC。1是平行四邊形，

所以BCi〃ADi,所以EF〃4D|.

又ERI平面ADiG,A￡>iu平面A9G,

所以EF〃平面AD\G.

應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟

上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有:

①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法;

②三角形中位線法；

③平行四邊形法；

④成比例線段法.

［提醒］線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)

(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外

(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線.

跟蹤訓(xùn)練

1.如圖，下列正三棱柱4BC4SG中，若M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則不能

得出A8〃平面MNP的是()

G

解析：選C.在題圖A,B中，易知MNu平面MNP,ABC平面MNP,

所以A8〃平面MNP;在圖D中，易知AB〃尸N,PNu平面MNP,ABC平面MNP,所以A8〃

平面MNP.

2.已知有公共邊A8的兩個(gè)全等的矩形ABC。和A8EF不同在一個(gè)平面內(nèi)，P,。分別

是對(duì)角線A￡8。上的點(diǎn)，且AP=￡>Q.求證：P0〃平面CBE.

證明：如圖，作PM//AB交8E于點(diǎn)M,作QN〃AB交8c于點(diǎn)N,

連接MV,則PM〃。/V,

PM_EPQN_BQ《

AB~EA'CD~BD--7/V

因?yàn)镋A=8O,AP^DQ,

所以EP=BQ.

又因?yàn)锳B=CD,所以PM!LQN,

所以四邊形PMNQ是平行四邊形，

所以PQ//MN.

又因?yàn)镻Q(t平面CBE,MMz平面CBE,

所以「?！ㄆ矫鍯BE.

探究點(diǎn)畫__________________________

線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用

他叼如圖，尸是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在。M上

取一點(diǎn)G,過點(diǎn)G和AP作平面，交平面8OM于GH.求證：AP//GH.

/?\

【證明】如圖，連接AC,交BQ于點(diǎn)0,連接M0.

因?yàn)樗倪呅蜛8C。是平行四邊形，

所以點(diǎn)。是AC的中點(diǎn).

又因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，

所以AP〃OM.

又因?yàn)锳因平面BOM,OMu平面8。例,

所以AP〃平面BDM.

因?yàn)槠矫嬉訦GC平面BDM=GH,

APu平面例”G,所以AP〃GH.

駟倒癰用

利用；系乏，民事或5二泰量屋年行手-￥￥?"'

線面

平行：金比7/拿我5豆豆紊直鼻五入京市而

的性

質(zhì)定［交的平面

理解

題的

步驟

尉跟蹤訓(xùn)練;如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且以=3.尸在

棱以上，且AF=1,E在棱PQ上.若CE〃平面BDF,求PE：E。的值.

解：過點(diǎn)E作EG//FD交AP于點(diǎn)G,連接CG,連接AC交BD于點(diǎn)O,

連接FO.

因?yàn)镋G〃F￡),EGC平面BDF,

尸。u平面BDF,

所以EG〃平面BDF,又EGCCE=E,CE〃平面BDF,EGu平面CGE,

CEu平面CGE,

所以平面CGE//平面BDF,

又CGu平面CGE,

所以CG〃平面BDF,

又平面8￡)Fri平面A4C=FO,CGu平面P4C,

所以FO〃CG.又O為4c的中點(diǎn)，

所以F為AG的中點(diǎn)，

所以FG=GP=1,

即G是PF的中點(diǎn)，又EG//FD,

所以E為PO的中點(diǎn)，所以PE：EO=1：1.

》惻評(píng)案▼?O侈國(guó)］驗(yàn)證?反饋?達(dá)標(biāo)—.

1.已知6是平面a外的一條直線，下列條件中，可得出b〃a的是（）

A.b與a內(nèi)的一條直線不相交

B.b與a內(nèi)的兩條直線不相交

C.匕與a內(nèi)的無數(shù)條直線不相交

D.。與a內(nèi)的所有直線不相交

解析：選D.若。與a內(nèi)的所有直線不相交，即匕與a無公共點(diǎn)，故匕〃a.

2.給出下列命題：

①如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與這個(gè)平面平行；

②過直線外一點(diǎn)，可以作無數(shù)個(gè)平面與這條直線平行：

③如果一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的任何直線平行.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B.①中，直線可能與平面相交，故①錯(cuò)；②是正確的；③中，一條直線與平

面平行，則它與平面內(nèi)的直線平行或異面，故③錯(cuò).

3.三棱臺(tái)ABC-481cl中，直線與平面Ai8cl的位置關(guān)系是（）

A.相交B.平行

C.在平面內(nèi)D.不確定

解析：選B.在三棱臺(tái)ABC-481cl中，AB//A\B\,ABC平面AiBG,A^u平面AHG,

所以A8〃平面Ai81cl.

4.如圖，直三棱柱ABC-ABiG中，D是A8的中點(diǎn).證明：BG〃平面4CD

證明：如圖，連接AG交4c于點(diǎn)F,則F為AG的中點(diǎn).

又。是AB的中點(diǎn)，連接DF,則DF//8cl.

因?yàn)?。Fu平面ACC,8GG平面ACQ,所以BG〃平面ACD

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

I.下列選項(xiàng)中，一定能得出直線機(jī)與平面a平行的是（）

A.直線〃?在平面a外

B.直線m與平面a內(nèi)的兩條直線平行

C.平面a外的直線切與平面內(nèi)的一條直線平行

D.直線m與平面a內(nèi)的一條直線平行

解析：選C.選項(xiàng)A不符合題意，因?yàn)橹本€〃?在平面a外也包括直線與平面相交；選項(xiàng)

B與D不符合題意，因?yàn)槿鄙贄l件Mia；選項(xiàng)C中，由直線與平面平行的判定定理，知直

線m與平面a平行，故選項(xiàng)C符合題意.

2.如圖，已知S為四邊形ABC。外一點(diǎn)，G,H分別為SB,BD1.於、

的點(diǎn)，若G"〃平面SCD,則（）/；

ZDXZT-7

A.GH//SA//

B.GH//SD

C.GH//SC

D.以上均有可能

解析：選A因?yàn)镚H〃平面SCD,G”u平面SBD,平面SBCC平面SCD=SD,所以

GH//SD,顯然GH與SA,SC均不平行，故選8.

3.已知直線a〃平面a,a〃平面夕，anfi=h,則”與仇）

A.相交B.平行

C.異面D.共面或異面

解析：選B.因?yàn)橹本€?！╝,a//H,所以在平面a,。中分別有一直線平行于a,不妨

設(shè)為nz,n,所以“〃m，a//n,所以機(jī)〃機(jī)又a,8相交，在平面a內(nèi)，〃在平面4內(nèi)，

所以，"〃夕，所以，“〃/?,所以a〃尻

4.在空間四邊形ABCD中，E,F,G,”分別是A8,BC,CD,D4上的點(diǎn)，當(dāng)80〃

平面EFGH時(shí)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.E,F,G,，一定是各邊的中點(diǎn)

B.G,H一定是CD,D4的中點(diǎn)

C.BE:EA=BF：FC,且DH:HA=DG：GC

D.AE:EB=AH:HD,且BF:FC=DG:GC

解析：選D.由于BO〃平面EFGH,由線面平行的性質(zhì)定理，有BD〃EH,BD//FG,

則AE:EB=AH：HD,且BF:FC=DG:GC.

5.若直線/〃平面a,則過/作一組平面與a相交，記所得的交線分別為a,b,c,…,

那么這些交線的位置關(guān)系為（）

A.都平行

B.都相交且一定交于同一點(diǎn)

C.都相交但不一定交于同一點(diǎn)

D.都平行或交于同一點(diǎn)

解析：選A.因?yàn)橹本€/〃平面a,所以根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)知/〃氏/〃"l//c,…，

所以a〃匕〃c〃…，故選A.

6.在正方體ABC。481cl，中，E、F分別是對(duì)角線40、5口的中點(diǎn)，則正方體

6個(gè)表面中與直線EF平行的平面有________________.

解析：如圖，連接4G,CiD,

所以F為4cl的中點(diǎn)，

在△4G。中，EF為中位線，

所以EF//CiD,又ERI平面C\CDD\,

GOu平面C\CDD\,所以E尸〃平面C\CDD\.

同理，EF〃平面AiSBA.

故與所平行的平面有平面GCDCi和平面A/iBA.

答案：平面CiCDA和平面A山1BA

7.如圖，在正方體中，AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，

點(diǎn)F在C。上.若EF〃平面A8C,則線段EF的長(zhǎng)度等于________."室—r\

解析：因?yàn)樵谡襟wABCD-AiBiCiDi中，AB=2,所以AC=2啦.'，二、;g

又E為AO的中點(diǎn)，EF〃平面ABC,EFu平面AOC,平面4OCC平面4B,

ABxC=AC,所以EF〃AC,

所以F為0c的中點(diǎn)，

所以EF=%C=也.

答案：也

8.如圖，正方體ABS-AiBiGOi中，AB=2,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)FD

在C。上，若E/〃平面AB1C,則線段EF的長(zhǎng)度等于.4仔

解析：因?yàn)镋F〃平面ABC,EFu平面ACQ,平面ACCA平面A8C=0^

所以E尸〃AC,又E為AD的中點(diǎn)，48=2,

所以EF—^AC—^Xyj22+22—y]?..

答案：也

9.如圖所示，四棱錐P-ABC。的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，E為PC的中點(diǎn)，PF=2FD,

求證：BE〃平面AFC.

證明：如圖，連接8。，交AC于點(diǎn)。，取PF的中點(diǎn)G,連接EG,

ED,ED交CF于點(diǎn)、M,連接MO.

在△「（；尸中，E,G分別為PC,PF的中點(diǎn),

則EG//FC.

在△ECG中，MF//EG,且尸為DG的中點(diǎn)，則M為的中點(diǎn).

在△BED中，O,M分別為B。，EQ的中點(diǎn)，

則BE//MO.

又MOu平面AFC,8EQ平面AFC,所以BE〃平面AFC.

10.如圖，在正方體ABCDAiBiGG中,E,F分別是棱5C,CD

的中點(diǎn)，求證：EF〃平面A,

解：如圖，取。山?的中點(diǎn)0,連接OF,0B.

因?yàn)镚,BE^BiCy,A

所以O(shè)F^LBE,所以四邊形OFEB是平行四邊形，所以E尸〃B0.

因?yàn)槠矫鍮Ou平面BDDiBi,

所以EF〃平面BDD\B\.

D,F

AR

[B能力提升]

11.如圖所示，在空間四邊形ABCQ中，E,F,G,"分別是AB,BC,CD,D4上的

點(diǎn)，EH//FG,則與8。的位置關(guān)系是（）

A.平行

C.異面D.不確定

解析：選A.因?yàn)镋H〃FG,FGu平面8C￡）,EHQ平面BCD,所以E”〃平面BCD因?yàn)?/p>

EHu平面ABD,平面ABDC平面BCD=BD,所以EH//BD.

12.已知直線a〃平面a,P?a,那么過點(diǎn)P且平行于〃的直線（）

A.只有一條，不在平面a內(nèi)

B.有無數(shù)條，一定不在a內(nèi)

C.只有一條，一定在a內(nèi)

D.有無數(shù)條，一定在a內(nèi)

解析：選C.若這樣的直線不只一條，由基本事實(shí)4知，這些直線互相平行，這與這些

直線都過點(diǎn)P矛盾，因此只有一條.又由直線與平面平行的性質(zhì)定理知，這條直線一定在

a內(nèi).

13.如圖所示，P為矩形A8C。所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線的交

點(diǎn)為0,M為PB的中點(diǎn)，給出五個(gè)結(jié)論：@0M//PD；②。何〃平面

PCD；③〃平面PD4；④0M〃平面P84；⑤0M〃平面P8C.其中

正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.