文科導數(shù)講義

導數(shù)專題一、導數(shù)的根本概念〔1〕平均變化率：函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應地有增量=f〔x+〕－f〔x〕，比值叫做函數(shù)y=f〔x〕在x到x+之間的平均變化率，即=〔2〕瞬時變化率：當時，此時的就叫做瞬時變化率2.導數(shù)的定義如果當時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f〔x〕在點x處的導數(shù)，記作f′(x)或y′|。即f′〔x〕==。說明：〔1〕函數(shù)f〔x〕在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點x處不可導，或說無導數(shù)。〔2〕是自變量x在x處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f〔x〕在點x處的導數(shù)的步驟：①求函數(shù)的增量=f〔x+〕－f〔x〕②求平均變化率=③取極限，得導數(shù)f’(x)=例1．在處可導，那么2-1例2．f(x)在x=a處可導，且f′(a)=b，求以下極限：〔1〕；〔2〕例3．設f(x)=x|x|,那么f0)=習題精煉：1.在內(nèi)的平均變化率為〔〕A．3B．2C．1D．02.設函數(shù)，當自變量由改變到時，函數(shù)的改變量為〔〕A．B．C．D．3.質點運動動規(guī)律，那么在時間中，相應的平均速度為〔〕A．B．C．D．在附近的平均變化率是____5.一直線運動的物體，從時間到時，物體的位移為，那么為〔〕Ａ．從時間到時，物體的平均速度；Ｂ．在時刻時該物體的瞬時速度；Ｃ．當時間為時物體的速度；Ｄ．從時間到時物體的平均速度6.在=1處的導數(shù)為〔〕A．2B．2C．D．1函數(shù),那么，＝.在高臺跳水運動中,t秒時運發(fā)動相對于水面的高度為,那么運發(fā)動在1秒時的瞬時速度為,此時運動狀態(tài)是函數(shù)y=f〔x〕在點x處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f〔x〕在點p〔x，f〔x〕〕處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f〔x〕在點p〔x，f〔x〕〕處的切線的斜率是f〔x〕。相應地，切線方程為y－y=f/〔x〕〔x－x〕。例1：在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是 () A．3 B．2 C．1 D．0例2：求函數(shù)過點〔1,1〕的切線例3：直線與相切，求K的值例4：求在點和處的切線方程。根本函數(shù)的導數(shù)公式:①〔C為常數(shù)〕②③;④;⑤⑥;⑦;⑧例1：以下求導運算正確的選項是(B)A．(x+B．(log2x)′=C．(3x)′=3xlog3eD．(x2cosx)′=-2xsinx例2：設f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，那么f2005(x)＝ (C)A． B． C．D．－導數(shù)的運算法那么假設的導數(shù)都存在，那么：①②為常數(shù)〕；③④例1：求以下函數(shù)的導數(shù)〔1〕(2〕例2：設f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x＜0時,＞0.且g(3)=0.那么不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(-3,0)∪(3,+∞)B．(-3,0)∪(0,3)C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-∞,-3)∪(0,3)[解析]：∵當x＜0時,＞0，即∴當x＜0時，f(x)g(x)為增函數(shù)，又g(x)是偶函數(shù)且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0故當時，f(x)g(x)＜0，又f(x)g(x)是奇函數(shù)，當x>0時，f(x)g(x)為減函數(shù)，且f(3)g(3)=0故當時，f(x)g(x)＜0應選D習題精煉：1.曲線求(1).曲線在P(1,1)處的切線方程.(2).曲線過點Q(1,0)的切線方程.(3).滿足斜率為-的切線的方程.2.求在點和處的切線方程。3.【2012高考真題陜西理7】設函數(shù)，那么〔〕A.為的極大值點B.為的極小值點C.為的極大值點D.為的極小值點4.【2012高考真題遼寧理12】假設，那么以下不等式恒成立的是(A)(B)(C)(D)5.【2012高考真題全國卷理10】函數(shù)y＝x2-3x+c的圖像與x恰有兩個公共點，那么c＝〔A〕-2或2〔B〕-9或3〔C〕-1或1〔D〕-3或16.〔福建理10〕函數(shù)，對于曲線上橫坐標成等差數(shù)列的三個點A，B，C，給出以下判斷： ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中，正確的判斷是 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④7.〔湖南文8〕函數(shù)假設有那么的取值范圍為A．B．C．D．8.〔全國Ⅰ文4〕曲線在點〔1,0〕處的切線方程為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、導數(shù)的應用〔1〕設函數(shù)在某個區(qū)間〔a，b〕可導，如果，那么在此區(qū)間上為增函數(shù)；如果，那么在此區(qū)間上為減函數(shù)?！?〕如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，那么為常數(shù)。簡單函數(shù)單調(diào)性例1.函數(shù)的圖象如下圖〔其中是函數(shù)的導函數(shù)〕，下面四個圖象中的圖象大致是()[解析]：由函數(shù)的圖象可知：當時，<0，>0，此時增當時，>0，<0，此時減當時，<0，<0，此時減當時，>0，>0，此時增應選C例2.設恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。解：假設，對恒成立，此時只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾假設，∴，也只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾假設∵，此時恰有三個單調(diào)區(qū)間∴且單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為例3.函數(shù)的圖象過點P〔0,2〕,且在點M處的切線方程為.〔Ⅰ〕求函數(shù)的解析式；〔Ⅱ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：〔Ⅰ〕由的圖象經(jīng)過P〔0，2〕，知d=2，所以由在處的切線方程是，知故所求的解析式是〔Ⅱ〕解得當當故內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù).含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性例1：函數(shù)，其中(Ⅰ)討論的單調(diào)性；(Ⅱ)求證：對，都有。定區(qū)間上函數(shù)單調(diào)性例1：，假設函數(shù)在〔-1,1〕內(nèi)是減函數(shù)，求的范圍。例2：函數(shù)f〔x〕=x-3ax+3x+1?！并瘛吃Oa=2，求f〔x〕的單調(diào)期間；〔Ⅱ〕設f〔x〕在區(qū)間〔2,3〕中至少有一個極值點，求a的取值范圍。例3：函數(shù)設在區(qū)間〔2,3〕中至少有一個極值點，求的范圍。例4函數(shù)，xQUOTE其中a>0.〔I〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔II〕假設函數(shù)在區(qū)間〔-2，0〕內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；〔III〕當a=1時，設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為M〔t〕，最小值為m〔t〕,記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間上的最小值。【答案】在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f在[a，b]上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間〔a，b〕內(nèi)連續(xù)函數(shù)f〔x〕不一定有最大值，例如?！?〕函數(shù)的最大值和最小值是一個整體性的概念，最大值必須是整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須在整個區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值?！?〕函數(shù)的最大值、最小值是比擬整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比擬極值點附件的函數(shù)值得出來的。函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值那么可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點處必定是極值。簡單的求極值最值例1：函數(shù)在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是.[解析]：由=0，得，當時，>0，當時，<0，當時，>0，故的極小值、極大值分別為，而故函數(shù)在[-3，0]上的最大值、最小值分別是3、-17。例2：設，集合，，.〔1〕求集合〔用區(qū)間表示〕〔2〕求函數(shù)在內(nèi)的極值點.【答案】【解析】〔1〕令，。①當時，，方程的兩個根分別為，，所以的解集為。因為，所以。②當時，，那么恒成立，所以，綜上所述，當時，；當時，。〔2〕，令，得或。①當時，由〔1〕知，因為，，所以，所以隨的變化情況如下表：0↗極大值↘↗所以的極大值點為，沒有極小值點。②當時，由〔1〕知，所以隨的變化情況如下表：00↗極大值↘極小值↗所以的極大值點為，極小值點為。綜上所述，當時，有一個極大值點，沒有極小值點；當時，有一個極大值點，一個極小值點。例3：函數(shù)其中(1)當時，求曲線處的切線的斜率；(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：〔=1\*ROMANI〕〔=2\*ROMANII〕以下分兩種情況討論?！?〕＞，那么＜.當變化時，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗〔2〕＜，那么＞，當變化時，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗恒成立與能成立問題例1：函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.〔1〕假設對一切x∈R，f(x)1恒成立，求a的取值集合；〔2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A〔x1,f(x1)〕,B(x2,f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈〔x1,x2〕,使恒成立.【答案】解：令.當時單調(diào)遞減；當時單調(diào)遞增，故當時，取最小值于是對一切恒成立，當且僅當.①令那么當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.故當時，取最大值.因此，當且僅當時，①式成立.綜上所述，的取值集合為.〔Ⅱ〕由題意知，令那么令，那么.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.故當，即從而，又所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.例2：設函數(shù)在及時取得極值．〔Ⅰ〕求a、b的值；〔Ⅱ〕假設對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．例3：函數(shù).(Ⅰ)當時，討論的單調(diào)性；〔Ⅱ〕設當時，假設對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.例4：設函數(shù)〔1〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設函數(shù)在內(nèi)沒有極值點，求的取值范圍；〔3〕假設對任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍。交點個數(shù)的問題例1：是函數(shù)的一個極值點?！并瘛城?；〔Ⅱ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅲ〕假設直線與函數(shù)的圖象有3個交點，求的取值范圍。例2：函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間在處取得極值，直線與的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍。習題精煉：1.【2012高考真題廣東理21】〔本小題總分值14分〕設a＜1，集合，，?！?〕求集合D〔用區(qū)間表示〕；〔2〕求函數(shù)在D內(nèi)的極值點．2.【2012高考真題安徽理19】〔本小題總分值13分〕設?！?1\*ROMANI〕求在上的最小值；〔=2\*ROMANII〕設曲線在點的切線方程為；求的值。【解析】〔=1\*ROMANI〕設；那么，=1\*GB3①當時，在上是增函數(shù)，得：當時，的最小值為。=2\*GB3②當時，，當且僅當時，的最小值為。〔=2\*ROMANII〕，由題意得：。3.【2012高考重慶文17】〔本小題總分值13分〕函數(shù)在處取得極值為〔1〕求a、b的值；〔2〕假設有極大值28，求在上的最大值．【解析】〔Ⅰ〕因故由于在點處取得極值故有即，化簡得解得〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，令，得當時，故在上為增函數(shù)；當時，故在上為減函數(shù)當時，故在上為增函數(shù)。由此可知在處取得極大值，在處取得極小值由題設條件知得此時，因此上的最小值為4.【2012高考湖北文22】〔本小題總分值14分〕設函數(shù)，n為正整數(shù)，a,b為常數(shù)，曲線y=f(x)在〔1，f(1)〕處的切線方程為x+y=1.〔1〕求a,b的值；〔2〕求函數(shù)f(x)的最大值〔3〕證明：f(x)<.【答案】5.〔江西理19〕設.〔1〕假設在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；〔2〕當時，在上的最小值為，求在該區(qū)間上的最大值.6.【2012高考安徽文17】〔本小題總分值12分〕設定義在〔0，+〕上的函數(shù)〔Ⅰ〕求的最小值；〔Ⅱ〕假設曲線在點處的切線方程為，求的值。【解析】〔=1\