新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 情境問題的探究之概率部分（教師版）

專題16情境問題的探究之概率部分

一、題型選講

題型一、通過列舉法研究概率

例1、(2020屆山東省濰坊市高三上期中)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的

上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)齊王

與田忌各出上等馬、中等馬、下等馬一匹，共進行三場比賽，規(guī)定：每一場雙方均任意選一匹馬參賽，且

每匹馬僅參賽一次，勝兩場或兩場以上者獲勝.則田忌獲勝的概率為()

1II1

A.-B.-C.一D.—

36936

【答案】B

【解析】

設(shè)齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A，B,C,

設(shè)田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為a,b,c,

每一場雙方均任意選一匹馬參賽，且每匹馬僅參賽一次，勝兩場或兩場以上者獲勝.

基本事件有：(Aa,Bb.Cc),(Aa,Be,Cb),(Ab,Be,Ca),(Ab,Be,Ca),(Ac,Bb，Cd),

(Ac,Ba,Cb),共6個，

田忌獲勝包含的基本事件有：(Ac,Ba,Cb),只有1個，

二田忌獲勝的概率為

6

故選：B.

例2、【2018年高考全國II卷理數(shù)】我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥

德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和"，如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中，

隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是

【答案】C

【解析】不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個，

隨機選取兩個不同的數(shù)，共有C：o=45種方法，

因為7+23=11+19=13+17=30,所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法,

故所求概率為二3=上1，故選C.

4515

古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：（1）列舉法；（2）樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件

的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法；（3）列表法：適用于多元

素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化；（4）排列組合法：適用于

限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.

例3、（2020?衡陽三模）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上

有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點

為陰數(shù).如圖，若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中各隨機選取1個數(shù)，則選取的兩數(shù)之和能被5整除的概率（）

【答案】C

【解析】：陰數(shù)為：2,4,6,8,陽數(shù)為：1,3,5,7,9,

各選一個數(shù)，其和能被5整除的分別為：2,3；4,1；6,9；8,7.

所以能被5整除的概率

4X55

故選：C.

例4、如圖，《宋人撲棗圖軸》是作于宋朝的中國古畫，現(xiàn)收藏于中國臺北故宮博物院.有甲、乙兩人想根

據(jù)該圖編排一個舞蹈，舞蹈中他們要模仿該圖中小孩撲棗的爬、扶、撿、頂中的兩個動作，每人模仿一

個動作，若他們采用抽簽的方式來決定誰模仿哪個動作，則甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”

或“撿”的概率是

【答案】C

【解析】：有題意可知甲乙分別從爬、扶、撿、頂中的兩個動作，共有12種方法，

若甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“撿”有（爬，扶）（爬，撿）

（扶，撿）3中情況。

題型二、與排列組合相關(guān)的概率

例5、（2020?山東省淄博實驗中學(xué)高三上期末）“總把新桃換舊符”（王安石）、“燈前小草寫桃符”（陸

游），春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)代人們通過貼“福”

字、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿，某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動，顧客凡購物金

額滿50元，則可以從“福”字、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費領(lǐng)取一件，若有4名顧客都領(lǐng)取一件禮

品，則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是（）

5479

A.-B.-C.—D.—

991616

【答案】B

【解析】從“?！弊?、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費領(lǐng)取一件，

有4名顧客都領(lǐng)取一件禮品，基本事件總數(shù)〃=3'=81,

他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同包含的基本事件個數(shù)m==36,

則他們中有且僅有2人領(lǐng)取的禮品種類相同的概率是p=m-='36=—4.

"819

故選：B.

例6、（2020屆山東省德州市高三上期末）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十

二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，

甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一個作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛、馬和羊，乙同學(xué)喜歡牛、兔、狗和羊，丙同學(xué)

哪個吉祥物都喜歡，則讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意的概率是（）

1155

A.—B.—C.—D.—

66556611

【答案】C

【解析】若甲選牛或羊作禮物，則乙有3種選擇，丙同學(xué)有10種選擇，此時共有2x3x10=60種；

若甲選馬作禮物，則乙有4種選擇，丙同學(xué)有10種選擇，此時共有1x4x10=40種.

60+401005

因此，讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意的概率為〒=同=而

故選：C.

例7、（2021年江蘇淮陰中學(xué)調(diào)研）考古發(fā)現(xiàn)，在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857,因為

142857x2=285714,142857x3=428571,…所以這組數(shù)字又叫走馬燈數(shù).該組數(shù)字還有如下規(guī)律：

142+857=999,571+428=999,…若從1,4,2,8,5,7這6個數(shù)字中任意取出3個數(shù)字構(gòu)成一個三

位數(shù)x,則999-x的結(jié)果恰好是剩下3個數(shù)字構(gòu)成的一個三位數(shù)的概率為（）

4323

A.-B.-C.-D.—

55510

【答案】C

【解析】記事件A為：999-x的結(jié)果恰好是剩下3個數(shù)字構(gòu)成的一個三位數(shù)?由0+8=9

<2+7=9

4+5=9

可知情況共有110，個位數(shù)可能結(jié)果有1,4,2,8,5,7共6種

二、達標訓(xùn)練

1、【2019年高考全國HI卷理數(shù)】《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱

為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱

讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》

且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值

為

B.

C.0.7D.

【答案】C

【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70,則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為.故選C.

2、（2019?新課標I）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6

個爻組成，爻分為陽爻“一”和陰爻“一一”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該

重卦恰有3個陽爻的概率是（）

A.2B.旦C.21D.11

16323216

【答案】.A

【解析】:在所有重卦中隨機取一重卦，

基本事件總數(shù)〃=2'=64,

該重卦恰有3個陽爻包含的基本個數(shù)勿=（;需=20,

則該重卦恰有3個陽爻的概率P=a=20=_L.

n6416

故選：A.

3、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）吸煙有害健康，小明為了幫助爸爸戒煙，在爸爸包里放一個小盒

子，里面隨機擺放三支香煙和三支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”，并且和爸爸約定，每次想吸煙

時，從盒子里任取一支，若取到口香糖則吃一支口香糖，不吸煙；若取到香煙，則吸一支煙，不吃口香糖，

假設(shè)每次香煙和口香糖被取到的可能性相同，則“口香糖吃完時還剩2支香煙”的概率為（）

1833

A.-B.—C.-D.—

515520

【答案】D

【解析】由題：“口香糖吃完時還剩2支香煙”說明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有兩次口香糖

一次香煙，記香煙為4,4，厶3，口香糖為4，員,員，進行四次取物，

基本事件總數(shù)為：6x5x4x3=360種

事件“口香糖吃完時還剩2支香煙”前四次取物順序分為以卜三種情況：

煙、糖、糖、糖：3x3x2x1=18種

糖、煙、糖、糖：3x3x2x1=18種

糖、糖、煙、糖：3x2x3x1=18種

包含的基本事件個數(shù)為：54,

543

所以，其概率為卞=F

36020

故選：D

4、（2020?5月份模擬）紋樣是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它既代表著中華民族的悠久歷史、社會的發(fā)

展進步，也是世界文化藝術(shù)寶庫中的巨大財富.小楠從小就對紋樣藝術(shù)有濃厚的興趣.收集了如下9枚

紋樣微章，其中4枚鳳紋徽章，5枚龍紋微章.小楠從9枚徽章中任取3枚，則其中至少有一枚鳳紋徽

章的概率為（）

【答案］B

【解析】：從9枚徽章中任取3枚的