大學(xué)物理競賽專題輔導(dǎo)之電學(xué)

數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析1§1實(shí)數(shù)§2數(shù)集.確界原理§3函數(shù)概念§4具有某些特性的函數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)2第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)§1實(shí)數(shù)第一章實(shí)數(shù)集與函數(shù)§1實(shí)數(shù)3

§1實(shí)數(shù)教學(xué)內(nèi)容:實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)和絕對值的不等式．教學(xué)重點(diǎn):實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)、絕對值的不等式．教學(xué)難點(diǎn):絕對值的不等式.教學(xué)要求:掌握實(shí)數(shù)的基本概念和最常見的不等式．

§1實(shí)數(shù)教學(xué)內(nèi)容:實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)和絕對值的不等41.我們用符號“”表示“任取”.或“對于任意的”或“對于所有的”,幾個(gè)常用符號1.我們用符號“”表示“任取”.或“對于任意的”或“對52.我們用符號“”表示“存在”.例：命題“對任意的實(shí)數(shù)x,都存在實(shí)數(shù)y,

使得x+y=1”可表示為“

x

R,y

R,

使x+y=1”.2.我們用符號“”表示“存在”.例：命題“對任意的實(shí)數(shù)x63.我們用符號“

”表示“充分條件”.比如,若用p,q分別表示兩個(gè)命題或陳述句.或“推出”這一意思.則“p

q”表示“若p成立,則q也成立”.即p是q成立的充分條件.3.我們用符號“”表示“充分條件”.比如,若用p,q74.我們用符號“

”表示“當(dāng)且僅當(dāng)”.比如“p

q”表示“p成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立”或者說p成立的充要條件是q成立.或“充要條件”這一意思.4.我們用符號“”表示“當(dāng)且僅當(dāng)”.比如“pq”表8集合

集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.

集合可用大寫的字母A,B,C,D等標(biāo)識.元素組成集合的事物稱為集合的元素.

集合的元素可用小寫的字母a,b,c,d等標(biāo)識.

a是集合M的元素記為a

M,讀作a屬于M.

a不是集合M的元素記為a

M,讀作a不屬于M.集合9集合的表示列舉法

把集合的全體元素一一列舉出來.例如A

{a,b,c,d,e,f,g}.描述法

若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成,則M可表示為M

{x|x具有性質(zhì)P}.例如M

{(x,y)|x,y為實(shí)數(shù),x2

y2

1}.集合的表示10幾個(gè)數(shù)集

所有自然數(shù)構(gòu)成的集合記為N,稱為自然數(shù)集.所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合記為R,稱為實(shí)數(shù)集.所有整數(shù)構(gòu)成的集合記為Z,稱為整數(shù)集.所有有理數(shù)構(gòu)成的集合記為Q,稱為有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,則稱A是B的子集,記為A

B(讀作A包含于B).A

B

若x

A,則x

B.顯然,N

Z,Z

Q,Q

R.幾個(gè)數(shù)集子集11直積(笛卡兒乘積)

設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合,則有序?qū)?/p>

A

B

{(x,y)|x

A且y

B}稱為集合A與集合B的直積.例如,R

R

{(x,y)|x

R且y

R}即為xOy面上全體點(diǎn)的集合,R

R常記作R2.直積(笛卡兒乘積)12

本節(jié)主要講兩個(gè)問題：實(shí)數(shù)及其性質(zhì)、絕對值與不等式.就整個(gè)數(shù)學(xué)分析課來說，劃線（確定討論范圍）、工具（不等式）.一實(shí)數(shù)及其性質(zhì)實(shí)數(shù)1、實(shí)數(shù)

回顧中學(xué)中關(guān)于有理數(shù)和無理數(shù)的定義．本節(jié)主要講兩個(gè)問題：實(shí)數(shù)及其性質(zhì)、絕對值與不等式13

若規(guī)定

(1)有限十進(jìn)小數(shù)的無限循環(huán)表示：

;

(2)正整數(shù)的無限循環(huán)表示：若為正整數(shù)，則

；

(3)負(fù)有限十進(jìn)小數(shù)（負(fù)整數(shù)）的無限循環(huán)表示：若

為負(fù)有限十進(jìn)小數(shù)，則先將表示為無限小數(shù)，再在所得無限小數(shù)前加負(fù)號．

兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)大小、相等的定義：若規(guī)定

(1)有限十進(jìn)小數(shù)的無限循環(huán)表示：14定義1:定義1:15定義2:定義2:16如:如:17

注:(1)定義1給出了兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)相等與不等的定義，請注意它的定義方式.(2)定義2給出非負(fù)實(shí)數(shù)的位不足近似與位過剩近似，蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想—“逼近”，應(yīng)引起同學(xué)們的注意.同時(shí)，非負(fù)實(shí)數(shù)的位不足近似與位過剩近似都是有理數(shù)，且它們分別遞增、遞減.

注:(1)定義1給出了兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)相等與18命題

注:設(shè)為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則

.這個(gè)命題的證明以及實(shí)數(shù)運(yùn)算法則的定義可參看附錄。命題注:設(shè)為兩個(gè)實(shí)數(shù)，則.這個(gè)命題的證明以19例1

證明

即得則r為有理數(shù),且有.::yrxr,yx<<滿足存在有理數(shù)證明為實(shí)數(shù)設(shè)<n,y

,x<故存在非負(fù)整數(shù)由于使得即有理數(shù)對實(shí)數(shù)具有稠密性.例1證明即得則r為有理數(shù),且有.::20

2、實(shí)數(shù)的性質(zhì)

1.

四則運(yùn)算封閉性;

2.有序性;

3.實(shí)數(shù)大小具有傳遞性;

4.

Achimedes性;

5.稠密性;

6.實(shí)數(shù)集的幾何表示───數(shù)軸:實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)．

2、實(shí)數(shù)的性質(zhì)1.四則運(yùn)算封閉性;21例2

證明

根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性,有例2證明根據(jù)實(shí)數(shù)的有序性,有22在數(shù)學(xué)分析中,許多重要的概念,定理及證明都要利用絕對值不等式來刻劃（表示）.因此它是數(shù)學(xué)分析中論述問題不可缺少的工具之一.學(xué)好它特別重要.

實(shí)數(shù)a的絕對值定義：-aao二絕對值與不等式從數(shù)軸上看a的絕對值就是到原點(diǎn)的距離：在數(shù)學(xué)分析中,許多重要的概念,定理及證明都要利23絕對值的一些主要性質(zhì):性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4對任何，有如下的三角不等式：性質(zhì)5

性質(zhì)6性質(zhì)1；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有．絕對值的一些主要性質(zhì):性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4對任何24

性質(zhì)4（三角不等式）的證明：

由性質(zhì)2

，兩式相加，有再由性質(zhì)3，上式等價(jià)于(1)在(1)式中把b換成-b即得：將(2)中b換成-b,得從而性質(zhì)4的右半部分成立.從而得（2）又,據(jù)(1)式證畢.性質(zhì)4（三角不等式）的證明：由性質(zhì)2，兩式相加25(算術(shù)平均值)三幾個(gè)重要不等式(1)⑵對,記(幾何平均值)(調(diào)和平均值)

(算術(shù)平均值)三幾個(gè)重要不等式(1)⑵對,記(幾何平26有平均值不等式:等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.⑶

Bernoulli不等式:有平均值不等式:等號當(dāng)且僅當(dāng)27證明：(幾何平均值小于算數(shù)平均值)證明：(幾何平均值28⑷

利用二項(xiàng)展開式得到的不等式:由二項(xiàng)展開式⑷利用