異常處理流程課件(-24張)

第八章假設(shè)檢驗生活中的統(tǒng)計檢驗的例子生活中可謂無處不在、無時不有：買件日常用品要檢驗它的長度、重量；產(chǎn)品出廠要檢驗它的性能、質(zhì)量；升學(xué)要檢驗學(xué)習(xí)成績的優(yōu)劣、功底的深厚……等等。與參數(shù)估計不同的是，對檢驗的對象我們并不是事先一無所知，而是已經(jīng)得到過一些“宣稱”，我們的工作是對此“宣稱”進行核實，這便是“檢驗”的由來。檢驗過程開始后，首先需要抽取一定大小的樣本，算出對應(yīng)統(tǒng)計量大小然后加以判斷，但眾所周知，樣本并非總體的嚴格反映，不少情況下會發(fā)生總體“合格”而樣本“不合格”或者總體“不合格”而樣本“合格”的矛盾現(xiàn)象，如何從往往只能一次試驗中進行判斷，這便是“假設(shè)檢驗”的任務(wù)。

重點：假設(shè)檢驗的基本思路、工作原理、方法特點；難點：檢驗時所用的繁雜公式以及公式之間的細微差別第八章假設(shè)檢驗生活中的統(tǒng)計檢驗

現(xiàn)實中的統(tǒng)計案例一：時下不少大學(xué)生在一邊學(xué)習(xí)的同時也不斷尋找一些機會打些零工以賺點錢彌補學(xué)習(xí)和生活之需，這已經(jīng)是學(xué)生們之間人所共知的事情。這沒有絲毫的讓人好奇之處，讓人好奇的是這些打工的學(xué)生究竟一個月平均能賺多少錢？假設(shè)有人說：這個數(shù)據(jù)是500元，你覺得信不信它呢？當然，你首先需要收集證據(jù)，沒有證據(jù)是肯定說明不了任何問題的。又假設(shè)有人通過組織調(diào)查取得過如下數(shù)據(jù)（調(diào)查到一共30人，單位：元）：350500900100100200240300100320450260650380290400800400250400290870540320140160300400500340第八章假設(shè)檢驗現(xiàn)實中的統(tǒng)計第八章假設(shè)檢驗

這時你該做何結(jié)論？就算是你得到以上數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于423元，你是否就可以作出“是”或“不是”的回答？因為你要作出的回答是針對整個總體的，根據(jù)卻又只是來自部分總體——即樣本，所以事實上不論你最終作出的是“是”還是“不是”的回答，其實都存在犯錯誤的可能。那么，如何以樣本的數(shù)據(jù)去對總體參數(shù)下結(jié)論才最科學(xué)？才最不容易犯錯誤呢？這就是一個屬于單個總體參數(shù)假設(shè)檢驗的問題了，是本章需要解決的問題。第八章假設(shè)檢驗這時你該做何結(jié)論？就算是你得到以上數(shù)據(jù)的平均數(shù)等于4一、基本概念

1、假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的另一種方式，它與區(qū)間估計的差別主要在于：區(qū)間估計是用給定的大概率推斷出總體參數(shù)的范圍，而假設(shè)檢驗是以小概率為標準，對總體的狀況所做出的假設(shè)進行判斷。假設(shè)檢驗與區(qū)間估計結(jié)合起來，構(gòu)成完整的統(tǒng)計推斷內(nèi)容。假設(shè)檢驗分為兩類：一類是參數(shù)假設(shè)檢驗，另一類是非參數(shù)假設(shè)檢驗。第一節(jié)假設(shè)檢驗的基本思想一、基本概念第一節(jié)假設(shè)檢驗的基本思想對于隨機變量X的分布參數(shù)，可以提出如下一些假設(shè)：

等等，其中和是已知數(shù)，而和是未知常數(shù)。特別地，如果已知X服從伯努利分布，參數(shù)p（0<p<1）未知，則可以提出如下假設(shè)：

H：p＝p0；

H：p≤p0；對于隨機變量X的分布參數(shù)，可以提出如下一些假設(shè)：如：在對一批產(chǎn)品的質(zhì)量驗收過程中，若用p表示這批產(chǎn)品的不合格品率，而p0表示不合格品率的最大允許值。當假設(shè)H：p≤p0成立時，這批產(chǎn)品被接收，否則被拒收。以上各例中，統(tǒng)計假設(shè)可能成立也可能不成立。2、假設(shè)檢驗（也稱顯著性檢驗），就是根據(jù)對隨機變量進行實際觀察的結(jié)果（即樣本取值）來判定事先給定的統(tǒng)計假設(shè)H是否成立的一種推斷過程。例如，驗收一大批產(chǎn)品，就是要檢驗假設(shè)H：p≤p0。假設(shè)檢驗在理論研究和實際應(yīng)用中都占有重要地位。但在這里只能介紹假設(shè)檢驗的基本概念和思想，作為例子介紹一些常用的統(tǒng)計檢驗方法。

如：在對一批產(chǎn)品的質(zhì)量驗收過程中，若用p表示這批產(chǎn)品的不合格二、統(tǒng)計假設(shè)分類以后把關(guān)于隨機變量（的分布、特征、相互關(guān)系等）的每一種論斷都叫做統(tǒng)計假設(shè)。前面已經(jīng)列舉了一些統(tǒng)計假設(shè)的例子。一般地，根據(jù)問題的著眼點、條件和特點不同，統(tǒng)計假設(shè)有參數(shù)假設(shè)和非參數(shù)假設(shè)、簡單假設(shè)和復(fù)合假設(shè)、零假設(shè)和備擇假設(shè)之分。

（一）參數(shù)假設(shè)和非參數(shù)假設(shè)假設(shè)X是所研究的隨機變量。那么，在X的分布函數(shù)F（x,θ）的數(shù)學(xué)形式已知的情形下，關(guān)于參數(shù)的各種統(tǒng)計假設(shè)稱作“參數(shù)假設(shè)”；在X的分布函數(shù)的形式不確知（或完全未知）的情況下，與分布函數(shù)相關(guān)的各種一般性論斷則稱作“非參數(shù)假設(shè)”。二、統(tǒng)計假設(shè)分類例如，已知X～N（μ，σ2

），但是其參數(shù)μ和σ2

未知，那么H：μ＝0，σ2

＝1或μ≤0，σ2>0都是參數(shù)假設(shè)。而諸如：H：X的分布是正態(tài)的H：X服從普阿松分布H：X和Y相互獨立H：X1，X2，…，Xn服從相同的分布等，則都是非參數(shù)假設(shè)。例如，已知X～N（μ，σ2），但是其參數(shù)μ和σ2未知，（二）簡單假設(shè)和復(fù)合假設(shè)如果一個統(tǒng)計假設(shè)完全決定隨機變量的概率分布，或者說假設(shè)只針對參數(shù)在某一單點取值而作，稱之為“簡單假設(shè)”，否則便是“復(fù)合假設(shè)”。比如X～N（μ，1），則假設(shè)H：μ＝0是簡單假設(shè)，而H：μ≤0則是復(fù)合假設(shè)。（二）簡單假設(shè)和復(fù)合假設(shè)（三）零假設(shè)和備擇假設(shè)假定關(guān)于X有兩個統(tǒng)計假設(shè)H0和H1，并且已知H0和H1中要么H0真實H1不真，要么H1真實H0不真，稱這樣的兩個假設(shè)為二者必居其一的。例如，對于X～（μ，1），H0：μ≤0和H1：μ>0就是二者必居其一的兩個假設(shè)。對于兩個二者必居其一的假設(shè)，習(xí)慣上稱其中一個為“零假設(shè)”（或者稱為“基本假設(shè)”），而另一個為它的“備擇假設(shè)”（或者“對立假設(shè)”）。以后永遠以H0表示“零假設(shè)”，而H1表示H0

的“備擇假設(shè)”。盡管二者的劃分并不是絕對的，但是在處理具體問題時，通常把那些需要著重考察且不允許或不應(yīng)該輕易被否定的假設(shè)視為“零假設(shè)”。例如，往往稱“H0：X服從正態(tài)分布”為“零假設(shè)”，而把“H1：X不服從正態(tài)分布”叫做“備擇假設(shè)”。這是因為，隨機變量服從正態(tài)分布的場合占大多數(shù)情況，所以不應(yīng)該輕易被否定。（三）零假設(shè)和備擇假設(shè)三、統(tǒng)計假設(shè)的檢驗考慮關(guān)于某個總體的統(tǒng)計假設(shè)H0，并以H1表示它的“備擇假設(shè)”。所謂對假設(shè)H0的檢驗，就是根據(jù)隨機取樣的結(jié)果（即來自該總體的隨機樣本），按照一定的規(guī)則來判斷假設(shè)H0的真?zhèn)我詻Q定它的取舍，即是“拒絕”還是“接受”假設(shè)H0。以后，把用來判斷所作假設(shè)真?zhèn)涡缘囊?guī)則叫做檢驗準則，簡稱之為“檢驗”。三、統(tǒng)計假設(shè)的檢驗檢驗的準則以拒絕域的形式給出。為此，按一定的規(guī)則把整個樣本空間分割成不相交的兩部分和。檢驗按如下規(guī)則進行：當樣本點x＝（x1，x2，…，xn）落在區(qū)域中[1][2]時，認為所作假設(shè)H0不真實，從而拒絕它（這時，自然接受它的備擇假設(shè)H1）；相反，當樣本點x＝（x1，x2，…，xn）落在中時，認為H0真實，從而接受它（這時，自然拒絕H1）。這里叫做H0的拒絕域，而叫做H0的接受域。然而，由于“樣本值落入拒絕域”和“樣本值落入接受域”都是隨機事件，故這里可能出現(xiàn)兩種類型的錯誤：檢驗的準則以拒絕域的形式給出。為此，按一定的規(guī)則把整個樣本空

接受拒絕真實判斷正確棄真錯誤(第一類錯誤或α錯誤)

不真實取偽錯誤(第二類錯誤或β錯誤)

判斷正確兩種類型的錯誤

接受拒絕真實判斷正確棄真錯誤(第一類錯誤或第一類錯誤：拒絕了真實假設(shè)。即H0本來真實，卻被拒絕了，叫做“棄真”；第二類錯誤：接受了不真實假設(shè)。即H0本來不真實，卻被接受了，叫做“納偽”。以上兩類錯誤至少要出現(xiàn)一類。但在樣本容量n固定的條件下選定檢驗準則時，不可能追求得到使兩類錯誤的概率都最小，因為這種要求是矛盾的。習(xí)慣上處理這個問題是選定第一類錯誤概率（記為“α”）的一個上界，然后使第二類錯誤的概率盡可能小。第一類錯誤：拒絕了真實假設(shè)。即H0本來在犯第一類錯誤概率得到控制的條件下，犯取偽錯誤的概率也要盡可能地小，或者說，不取偽的概率1-β應(yīng)盡可能增大。1-β越大，意味著當原假設(shè)不真實時，檢驗判斷出原假設(shè)不真實的概率越大，檢驗的判別能力就越好；1-β越小，意味著當原假設(shè)不真實時，檢驗結(jié)論判斷出原假設(shè)不真實的概率越小，檢驗的判別能力就越差?？梢?-β是反映統(tǒng)計檢驗判別能力大小的重要標志，我們稱之為檢驗功效或檢驗力。檢驗功效在犯第一類錯誤概率得到控制的條件下，犯取偽錯誤的概率也要盡可

“小概率事件不發(fā)生”原則與顯著性水平根據(jù)大數(shù)定律，在大量重復(fù)試驗中事件出現(xiàn)的頻率會越來越接近于它們的概率。倘若某事件A出現(xiàn)的概率α甚小，則它在大量重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率也應(yīng)該很小。例如，若α＝0.001，則大體上1000次試驗中A才出現(xiàn)一次。因此，概率很小的事件在一次試驗中實際上不大可能出現(xiàn)。在概率論的應(yīng)用中，稱這樣的事件為“小概率事件”?！靶「怕适录话l(fā)生”原則與顯著性水平在應(yīng)用統(tǒng)計的每一個具體的領(lǐng)域，人們總是根據(jù)所研究的具體問題，規(guī)定一個界限α（0<α<1）；當一事件的概率P≤α?xí)r，就認為該事件是一小概率事件，而且概率小到可以認為它實際上不會發(fā)生的地步，這就是所謂“小概率事件不發(fā)生”原則。事實上，生活中我們也在無意識的情況下不斷地使用這一原則。如一般情況下人們都敢于乘火車而不擔心火車顛覆、敢于搭飛機而不擔心飛機墜毀、敢于坐輪船而不擔心輪船沉沒等等，就是因為所對應(yīng)的事件很少發(fā)生，我們實際上就把它當成不發(fā)生對待的緣故。在應(yīng)用統(tǒng)計的每一個具體的領(lǐng)域，人們總是根據(jù)所然而事實上，根據(jù)“小概率事件不發(fā)生”原則所作的判斷也可能是錯誤的，因為小概率事件畢竟不是零概率事件，還是可能發(fā)生，只不過發(fā)生的概率非常小而已。但，我們卻可以控制它，這種錯誤發(fā)生的概率最多也就α這么大，而α是個“很小”的正數(shù)。這樣的界限α在假設(shè)檢驗中叫做“顯著性水平”。α的選擇要根據(jù)實際情況而定：對于某些重要場合，事件的出現(xiàn)會引起嚴重的后果，如上述撞車、墜機、沉船等等，α就應(yīng)選得小一些，否則應(yīng)該選得大一些。在一般應(yīng)用中，也象參數(shù)估計中選擇置信水平一樣，常選α＝0.01，0.05和0.10等這樣一些比較整的值以便于造表。統(tǒng)計假設(shè)顯著性檢驗遵循“小概率事件不發(fā)生”原則，其理論依據(jù)是大數(shù)定律。

然而事實上，根據(jù)“小概率事件不發(fā)生”原則所作的四、統(tǒng)計假設(shè)顯著性檢驗的一般步驟：假設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F（x，θ）依賴于未知參數(shù)θ，以x1，x2，…，xn表示來自總體X的簡單隨機樣本。統(tǒng)計假設(shè)的顯著性檢驗大致可分以下幾步進行：第一步：提出零假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1。零假設(shè)和備擇假設(shè)一般可以表示為：H0：θ滿足某某條件；H1:θ不滿足上述條件。第二步：規(guī)定檢驗的顯著性水平α（0<α<1）。第三步：建立零假設(shè)H0的拒絕域。是樣本空間的一個特定區(qū)域，滿足條件：當零假設(shè)成立時，樣本點落入其中的概率不大于α。檢驗的拒絕域常借助一統(tǒng)計量T＝T（x1,x2,…,xn）來構(gòu)造，而T的分布是完全已知的。第四步：對假設(shè)H0作出推斷。如果樣本點（x1,x2,…,xn）落入中，則認為H0不真，從而拒絕它，否則便不拒絕假設(shè)H0。四、統(tǒng)計假設(shè)顯著性檢驗的一般步驟：

上述推斷的依據(jù)是“小概率事件不發(fā)生”原則：由于樣本點落入拒絕域的概率α“很小”，故認為實際不可能落入中。因此，一旦確實落入則說明實際觀測結(jié)果與所作假設(shè)H0嚴重不符，所以理應(yīng)拒絕假設(shè)H0。必須強調(diào)指出：當樣本點未落入拒絕域中，即當（x1,x2,…,xn）落入時，并沒有理由認定H0是真實的，只能說“未發(fā)現(xiàn)所作假設(shè)與觀測結(jié)果有顯著矛盾”，確切些說只是不能拒絕假設(shè)H0而已，并不是說已經(jīng)“接受”了H0。這時，事實上需要對X進行進一步的觀測才能下進一步的結(jié)論。所以從這一意義看正如前面所說，假設(shè)檢驗有一個顯著特點，即“含含糊糊地接受，信心十足地拒絕”。上述推斷的依據(jù)是“小概率事件不發(fā)生”原則：由

我們開始討論具體的假設(shè)檢驗問題。由于正態(tài)分布的特殊性及其應(yīng)用的廣泛性，討論在沒有特別說明的條件下都默認為是就正態(tài)分布總體進行的。所討論的檢驗方法同時也是實踐中常用的統(tǒng)計檢驗方法。對于一個正態(tài)總體，我們考慮其數(shù)學(xué)期望和方差是否為某一特定值的檢驗問題；對于兩個正態(tài)總體，則考慮兩者數(shù)學(xué)期望或方差是否相等的檢驗問題。假設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），而（x1,x2,…,xn）是來自X的簡單隨機樣本。檢驗均值時，按標準差已知和未知兩種不同情況來考慮；檢驗標準差時，則按均值已知和未知兩種不同情況來考慮。第二節(jié)單個總體的檢驗我們開始討論具體的假設(shè)檢驗問題。由一、單個總體均值的檢驗（一）總體標準差已知——ｚ檢驗（標準正態(tài)分布檢驗法）法在已知標準差σ＝σ0時，檢驗假設(shè)μ＝μ0，使用ｚ檢驗：零假設(shè)H0：μ＝μ0

（已知σ＝σ0

）；備擇假設(shè)H1：μ≠μ0

（已知σ＝σ0

）；顯著性水平：α（0<α<1）；檢驗統(tǒng)計量：其中，X是樣本均值。由概率論理論得知：在假設(shè)H0：μ＝μ0

（已知σ＝σ0

）下樣本平均數(shù)服從正態(tài)分布N（μ0,σ02/n），從而統(tǒng)計量ｚ服從標準正態(tài)分布N（0，1）。拒絕零假設(shè)的條件：對于給定的α，必可從標準正態(tài)分布表中查出一個正數(shù)（稱之為標準正態(tài)分布的α水平雙側(cè)分位數(shù)），使下式成立：P0{|ｚ|≥}＝α

一、單個總體均值的檢驗上式的意思是：在H0確實成立的條件下|ｚ|超過臨界值的概率只有α這么大。因此，如下不等式成立時，拒絕零假設(shè)H0：或。再用反證法的思想來檢驗H0：既然假設(shè)H0為真，即μ＝μ0，而我們已經(jīng)知道：σ＝σ0，所以理應(yīng)服從分布：N（μ0,σ02／n），從而ｚ應(yīng)服從標準正態(tài)分布N（0，1），從而應(yīng)遵循規(guī)律：P0{|ｚ|≥}＝α上式的意思是：在H0確實成立的條件下|ｚ|超過臨界值的概率只例1中，按歷史資料，總體的標準差是4毫升。我們通過檢驗總體均值是否等于250毫升，來判斷飲料廠商是否欺騙了消費者。程序如下：第一步：確定原假設(shè)與備選假設(shè)。：=250；：<250以上的備選假設(shè)是總體均值小于250毫升，因為消費者協(xié)會希望通過樣本數(shù)據(jù)推斷出廠商的欺騙行為(大于250毫升一般不會發(fā)生)。因此使用左側(cè)檢驗。例1中，按歷史資料，總體的標準差是4毫升。我們通過檢驗總體均第二步：構(gòu)造出檢驗統(tǒng)計量。我們知道，如果總體的標準差已知，則正態(tài)總體(正常情況下，生產(chǎn)飲料的容量服從正態(tài)分布)的抽樣平均數(shù)，也服從正態(tài)分布，對它進行標準化變換，可得到：可用z作為檢驗統(tǒng)計量。第二步：構(gòu)造出檢驗統(tǒng)計量。第三步：確定顯著性水平，確定拒絕域。通常顯著水平由實際問題確定，我們這里取α=0.05，左側(cè)檢驗，拒絕域安排在左邊，查標準正態(tài)分布表得臨界值：Zα=-1.645，拒絕域是z<-1.645。第四步：計算檢驗統(tǒng)計量的數(shù)值。樣本平均數(shù)，n=50,代入檢驗統(tǒng)計量得：第三步：確定顯著性水平，確定拒絕域。第四步：計算檢驗統(tǒng)計量的第五步：判斷。檢驗統(tǒng)計量的樣本取值落入拒絕域。拒絕原假設(shè)，接受備選假設(shè)，認為有足夠的證據(jù)說明該種紙包飲料的平均容量小于包裝盒上注明的250毫升，廠商有欺詐之嫌。例：設(shè)總體服從標準差為50的正態(tài)分布，從該總體中隨機抽出容量為25的隨機樣本，得出樣本平均值為70，試以α＝0.05的顯著性水平檢驗假設(shè)H0：μ0＝90。

第五步：判斷。解：建立假設(shè)H0

：μ＝μ0；H1

：μ≠μ0因為σ已知，該檢驗的統(tǒng)計量為：ｚ＝將x＝70，μ0＝90，σ＝50，n＝25代入，得：ｚ＝＝－2；另一方面，通過查正態(tài)分布表得臨界值Zα/2＝1.96。|ｚ|≥Zα/2

，故拒絕零假設(shè)H0，即有95％的把握認為，μ不等于90。解：建立假設(shè)（二）總體標準差未知—t檢驗法總體標準差未知時對總體均值檢驗經(jīng)常用t統(tǒng)計量：但是，在大樣本場合(樣本容量n大于30時)，t-統(tǒng)計量與標準正態(tài)分布統(tǒng)計量近似，通常用z檢驗代替t檢驗。零假設(shè)H0:μ＝μ0，0<σ<∞；備擇假設(shè)H1:μ≠μ0，0<σ<∞。顯著性水平：α（0<α<1）；檢驗統(tǒng)計量：第八章假設(shè)檢驗（二）總體標準差未知—t檢驗法第八章假設(shè)檢驗由于在假設(shè)H0下，盡管知道的分布是正態(tài)分布N（μ0，σ2/n），但因為σ未知，已不是統(tǒng)計量。改用σ無偏估計s代替，然后再進行檢驗。不過，替代后的新統(tǒng)計量不再服從正態(tài)分布而服從t分布，t分布的自由度（參數(shù)）為n-1。拒絕零假設(shè)的條件：對于給定的σ和n，有其中是自由度為n－1的t分布的α水平雙側(cè)分位數(shù)，查t分布表可得該數(shù)值。因此，如下不等式成立時拒絕零假設(shè)：或，其中第八章假設(shè)檢驗P0{|t|≥}＝α由于在假設(shè)H0下，盡管知道的分布是正態(tài)分布N（μ0，σ2/n例：某制造廠生產(chǎn)某裝置的平均工作溫度是190℃，今從一個由16臺裝置所構(gòu)成的隨機樣本中求得的工作溫度的平均數(shù)和標準差分別是194℃和8℃，能否說明平均工作溫度與制造廠規(guī)定的溫度不一致呢?（設(shè)α＝0.05，并假定工作溫度服從正態(tài)分布）解：建立假設(shè)H0:μ＝190℃；H1:μ≠190℃因方差未知，選取統(tǒng)計量。則t～tα/2(15)，tα/2

(15)＝2.13。將＝194，μ0＝190，s＝8，n＝16代人計算得:因|t|<tα/2(15)，故接受零假設(shè)，即沒有95％的把握認為，μ≠190℃。第八章假設(shè)檢驗例：某制造廠生產(chǎn)某裝置的平均工作溫度是190℃，今從一個由1總結(jié)：單個總體的假設(shè)檢驗總體均值的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1(1)H0：

H1： z(2)H0：

H1：(3)H0：

H1：z0z0正態(tài)總體σ2已知總結(jié)：單個總體的假設(shè)檢驗總體均值的檢驗條件檢驗條件量拒絕第八章假設(shè)檢驗總體均值的檢驗條件檢驗條件量拒絕域H0、H1(1)H0：