微分方程數(shù)值解-課件

微分方程數(shù)值解

12024/4/3微分方程數(shù)值解12024/4/2微分方程數(shù)值解今天的數(shù)值計(jì)算方法，無論從形式到內(nèi)容，還是從工具到效果，已遠(yuǎn)非半世紀(jì)前VonNeumann、Lax等先驅(qū)們所處的環(huán)境和條件了，計(jì)算機(jī)技術(shù)和應(yīng)用軟件的發(fā)展，讓計(jì)算數(shù)學(xué)展開了雙翼。許多迅速發(fā)展的其他學(xué)科和社會(huì)進(jìn)步給計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展開拓出更為廣闊的新天地。2微分方程數(shù)值解今天的數(shù)值計(jì)算方法，無論從形式到內(nèi)容，還是從工精品資料3精品資料3你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結(jié)一節(jié)課的重點(diǎn)的難點(diǎn)，你是否會(huì)認(rèn)為老師的教學(xué)方法需要改進(jìn)？你所經(jīng)歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽曬，也不怕那風(fēng)雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學(xué)問無顏見爹娘……”“太陽當(dāng)空照，花兒對(duì)我笑，小鳥說早早早……”44隨著計(jì)算機(jī)軟件硬件的不斷更新和計(jì)算方法的迅速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算與實(shí)驗(yàn)以及理論研究成為現(xiàn)代科學(xué)研究的三大主要手段?？茖W(xué)計(jì)算還能解決實(shí)驗(yàn)及理論無法解決的問題，并由此發(fā)現(xiàn)一些新的物理現(xiàn)象，加深人們對(duì)物理機(jī)理的理解和認(rèn)識(shí)，促進(jìn)科學(xué)的發(fā)展。作為三種科學(xué)研究手段之一的科學(xué)計(jì)算是一門工具性、方法性、邊緣性的新學(xué)科，發(fā)展迅速，它的物質(zhì)基礎(chǔ)是計(jì)算機(jī)(包括其軟硬件系統(tǒng))，其理論基礎(chǔ)主要是計(jì)算數(shù)學(xué)。5隨著計(jì)算機(jī)軟件硬件的不斷更新和計(jì)算方法的迅速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算與微分方程數(shù)值解26微分方程數(shù)值解2677微分方程數(shù)值解28微分方程數(shù)值解28微分方程數(shù)值解計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)工程計(jì)算是緊密相聯(lián)的，計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史也就是與其他學(xué)科結(jié)合，利用計(jì)算機(jī)不斷形成新的理論及數(shù)值方法并不斷形成新的學(xué)科的歷史，例如：“計(jì)算物理”。9微分方程數(shù)值解計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)工程計(jì)算是緊密相聯(lián)的，計(jì)算微分方程數(shù)值解10微分方程數(shù)值解10微分方程數(shù)值解計(jì)算物理的物質(zhì)基礎(chǔ)是計(jì)算機(jī)；計(jì)算物理的關(guān)鍵技術(shù)是“計(jì)算方法”和“程序設(shè)計(jì)”;計(jì)算物理發(fā)展的原始動(dòng)力是美國(guó)核武器研制的刺激。11微分方程數(shù)值解11微分方程數(shù)值解12微分方程數(shù)值解12微分方程數(shù)值解13微分方程數(shù)值解13微分方程數(shù)值解14微分方程數(shù)值解14微分方程數(shù)值解15微分方程數(shù)值解15微分方程數(shù)值解16微分方程數(shù)值解16微分方程數(shù)值解17微分方程數(shù)值解17微分方程數(shù)值解18微分方程數(shù)值解18微分方程數(shù)值解19微分方程數(shù)值解19微分方程數(shù)值解20微分方程數(shù)值解20微分方程數(shù)值解21微分方程數(shù)值解21微分方程數(shù)值解22微分方程數(shù)值解22微分方程數(shù)值解23微分方程數(shù)值解23微分方程數(shù)值解24微分方程數(shù)值解24微分方程數(shù)值解25微分方程數(shù)值解25微分方程數(shù)值解“戰(zhàn)略計(jì)算”一詞首次出現(xiàn)在1995年美國(guó)為了確保核庫存的性能、安全性、可靠性和更新需要而實(shí)施的“加速戰(zhàn)略計(jì)算創(chuàng)新（ASCI）計(jì)劃”。26微分方程數(shù)值解“戰(zhàn)略計(jì)算”一詞首次出現(xiàn)在1995年美國(guó)為了確微分方程數(shù)值解27微分方程數(shù)值解27微分方程數(shù)值解28微分方程數(shù)值解28微分方程數(shù)值解29微分方程數(shù)值解29微分方程數(shù)值解30微分方程數(shù)值解30微分方程數(shù)值解31微分方程數(shù)值解31微分方程數(shù)值解32微分方程數(shù)值解32

提問：數(shù)值計(jì)算方法是做什么用的？研究對(duì)象：數(shù)值問題——有限個(gè)輸入數(shù)據(jù)（問題的自變量、原始數(shù)據(jù)）與有限個(gè)輸出數(shù)據(jù)（待求解數(shù)據(jù)）之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)明確無歧義的描述。如一階微分方程初值問題求函數(shù)解析表達(dá)式數(shù)學(xué)問題求函數(shù)在某些點(diǎn)的近似函數(shù)值數(shù)值問題33提問：數(shù)值計(jì)算方法是做什么用的？研究對(duì)象：數(shù)值問程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算設(shè)計(jì)高效、可靠的數(shù)值方法數(shù)值問題求解近似結(jié)果輸出重點(diǎn)討論數(shù)值問題的來源：實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)值問題34程序上機(jī)設(shè)計(jì)高效、可數(shù)值求解近似結(jié)果輸出重點(diǎn)討論數(shù)值問題的來數(shù)值方法的設(shè)計(jì)原則收斂性：方法的可行性穩(wěn)定性：初始數(shù)據(jù)等產(chǎn)生的誤差對(duì)結(jié)果的影響便于編程實(shí)現(xiàn)：邏輯復(fù)雜度要小計(jì)算量要小：時(shí)間復(fù)雜度要小，運(yùn)行時(shí)間要短存貯量要盡量小：空間復(fù)雜度要小可靠性分析計(jì)算復(fù)雜性誤差估計(jì)：運(yùn)算結(jié)果不能產(chǎn)生太大的偏差且能夠控制誤差35數(shù)值方法的設(shè)計(jì)原則收斂性：方法的可行性穩(wěn)定性：初始數(shù)據(jù)等產(chǎn)生

誤差

/*Error*/一、誤差的來源與分類

/*Source&Classification*/

1、從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差

/*ModelingError*/

2、通過觀測(cè)得到模型中某些參數(shù)（或物理量）的值

——觀測(cè)誤差

/*MeasurementError*/

3、數(shù)學(xué)模型與數(shù)值算法之間的誤差求近似解

——方法誤差

(截?cái)嗾`差

/*TruncationError*/)

4、由于機(jī)器字長(zhǎng)有限，原始數(shù)據(jù)和計(jì)算過程會(huì)產(chǎn)生新的誤差

——舍入誤差

/*RoundoffError*/36誤差/*Error*/一、誤差的來二、誤差分析的基本概念

/*BasicConcepts*/設(shè)為真值（精確值），為的一個(gè)近似值稱為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。

注：

誤差可正可負(fù)，常常是無限位的

絕對(duì)誤差限/*accuracy*/——絕對(duì)值的上界如：

絕對(duì)誤差還不能完全表示近似值的好壞（絕對(duì)誤差/*absoluteerror*/）37二、誤差分析的基本概念/*BasicConcept近似值的誤差與準(zhǔn)確值的比值：稱為近似值的相對(duì)誤差，記作

注：

實(shí)際計(jì)算時(shí)，相對(duì)誤差通常取因?yàn)椋ㄏ鄬?duì)誤差/*relativeerror*/）38近似值的誤差與準(zhǔn)確值的比一個(gè)算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動(dòng)（即誤差），而計(jì)算過程中舍入誤差不增長(zhǎng),則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則此算法就稱為不穩(wěn)定的。（數(shù)值穩(wěn)定性/*NumericalStability*/）對(duì)數(shù)學(xué)問題本身如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)，引起輸出數(shù)據(jù)（即問題真解）的很大擾動(dòng)，這就是病態(tài)問題。（病態(tài)問題/*ill-posedproblem*/）

它是數(shù)學(xué)問題本身性質(zhì)所決定的，與算法無關(guān)，也就是說對(duì)病態(tài)問題，用任何算法（或方法）直接計(jì)算都將產(chǎn)生不穩(wěn)定性。

39一個(gè)算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動(dòng)（即誤差），而計(jì)算過程中舍此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!例計(jì)算

公式一：40此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whatha考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法

/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增趨勢(shì)。初始的小擾動(dòng)

公式二：注意此公式與公式一在理論上等價(jià)。方法：先估計(jì)一個(gè)IN

,再反推要求的In(n<<N)。可取41考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法取42取42考察反推一步的誤差：以此類推，對(duì)n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法

/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性將會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。43考察反推一步的誤差：以此類推，對(duì)n<N有：誤差逐步遞例：蝴蝶效應(yīng)

——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京就刮起臺(tái)風(fēng)來了？！紐約北京這是一個(gè)病態(tài)問題44例：蝴蝶效應(yīng)——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日蝴蝶效應(yīng)在社會(huì)學(xué)界用來說明：一個(gè)壞的微小的機(jī)制，如果不加以及時(shí)地引導(dǎo)、調(diào)節(jié)，會(huì)給社會(huì)帶來非常大的危害，戲稱為“龍卷風(fēng)”或“風(fēng)暴”；一個(gè)好的微小的機(jī)制，只要正確指引，經(jīng)過一段時(shí)間的努力，將會(huì)產(chǎn)生轟動(dòng)效應(yīng)，稱為“革命”。蝴蝶效應(yīng)是氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出來的。其大意為：一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后引起美國(guó)德克薩斯引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。45蝴蝶效應(yīng)在社會(huì)學(xué)界用來說明：一個(gè)壞的微小的機(jī)制，如果不加以幾點(diǎn)注意事項(xiàng)

/*Remarks*/1、

避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：當(dāng)|x|<<1時(shí)：46幾點(diǎn)注意事項(xiàng)/*Remarks*/1、避免相近二數(shù)2、避免小分母:分母小會(huì)造成浮點(diǎn)溢出

/*overflow*/3、避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計(jì)算的根。精確解為

算法1：利用求根公式在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.011010，取單精度時(shí)就成為：

109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)472、避免小分母:分母小會(huì)造成浮點(diǎn)溢出/*over算法2：先解出再利用注：求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1+2+3+…+40+1094、

先化簡(jiǎn)再計(jì)算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為5、選用穩(wěn)定的算法。48算法2：先解出注：求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例：微分方程數(shù)值解49微分方程數(shù)值解491.微分方程及其數(shù)值解計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的步驟建立數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)值方法編寫程序上機(jī)計(jì)算501.微分方程及其數(shù)值解計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的步驟建立數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)世界中絕大多數(shù)事物的內(nèi)外聯(lián)系是及其復(fù)雜的，其狀態(tài)隨著時(shí)間、地點(diǎn)、條件的不同而不同，我們只能通過對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化和作某些假定，從中找出其狀態(tài)和狀態(tài)的變化規(guī)律之間的關(guān)系，也即一個(gè)或一些函數(shù)與它們的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，這種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)就是微分方程。

51現(xiàn)實(shí)世界中絕大多數(shù)事物的內(nèi)外聯(lián)系是及其復(fù)雜的，其狀態(tài)隨著時(shí)間偏微分方程數(shù)值解主要是有限差分法和有限元法。

52偏微分方程數(shù)值解主要是有限差分法和有限元法。52偏微分方程發(fā)展史：(1)十八世紀(jì)初,Taylor:(2)十九世紀(jì)中期，三類偏微分方程：

(3)十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初，其它方程：

高階方程：KDV方程：53偏微分方程發(fā)展史：(1)十八世紀(jì)初,Taylor:(2如果能找到一個(gè)（或一族）具有所要求階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的解析函數(shù)，將它代入微分方程（組）中，恰好使得方程（組）的所有條件都得到滿足，我們就將它稱為這個(gè)方程（組）的解析解（也稱古典解）。“微分方程的真解”或“微分方程的解”就是指解析解。尋找解析解的過程稱為求解微分方程。

微分方程的解在數(shù)學(xué)意義上的存在性可以在非常一般的條件下得到證明，這已有許多重要的結(jié)論。但從實(shí)際上講，人們需要并不是解在數(shù)學(xué)中的存在性，而是關(guān)心某個(gè)定義范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)某些特定的自變量的解的取值或是近似值-這樣一組數(shù)值稱為這個(gè)微分方程在該范圍內(nèi)的數(shù)值解，尋找數(shù)值解的過程稱為數(shù)值求解微分方程。

54如果能找到一個(gè)（或一族）具有所要求階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的解析函數(shù)，將它為什么要研究數(shù)值求解方法呢？

1）在實(shí)際問題中我們所能獲取的或感興趣的，往往只是一個(gè)特定點(diǎn)上的數(shù)據(jù)。如空間的溫度分布只能一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)地測(cè)定，火箭升空傳回的控制信息只能以某個(gè)確定的時(shí)間為間隔，一個(gè)個(gè)地發(fā)送和接受，如此等等。這些離散點(diǎn)上的函數(shù)值對(duì)于解決實(shí)際問題，已經(jīng)足夠了，尋找解析解的一般形式未必必要。

55為什么要研究數(shù)值求解方法呢？1）在實(shí)際問題中我們所能獲取的2）在很多情況下，尋找解析解也并無可能?，F(xiàn)實(shí)問題中歸結(jié)的微分方程不滿足解析解的存在條件的比比皆是，方程中出現(xiàn)的有些函數(shù)連續(xù)性都無法保證，它們并不存在前述意義的解析解。于是，求數(shù)值解便成了在這種情況下解決問題的重要手段了。

562）在很多情況下，尋找解析解也并無可能。現(xiàn)實(shí)問題中歸結(jié)的微分3）即使微分方程的解析解存在，以并不意味可以將它表示為初等函數(shù)，如多項(xiàng)式、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)及它們的不定積分的有限組合形式——顯式解。

事實(shí)上，有顯式解的微分方程只占解析解存在的微分方程中的非常小的一部分。

573）即使微分方程的解析解存在，以并不意味可以將它表示為初等函5858由于數(shù)字電子計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限個(gè)數(shù)據(jù)和作有限次運(yùn)算，所以任何一種適用于計(jì)算機(jī)解題的方法，都必須把連續(xù)問題離散化，最終化成有限形式的代數(shù)方程組。59由于數(shù)字電子計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限個(gè)數(shù)據(jù)和作有限次運(yùn)算，所以任何微分方程數(shù)值解1）區(qū)域剖分把整個(gè)定義域分成若干個(gè)小塊，以便對(duì)每小塊上的點(diǎn)或片求出近似值，這樣按一定規(guī)律對(duì)定義域分切的過程稱為區(qū)域剖分。2）微分方程的離散區(qū)域剖分完畢后，依據(jù)原來的微分方程去形成關(guān)于這些離散點(diǎn)或片的函數(shù)值的遞推公式或方程。這是它們的未知量已不是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，而成了若干個(gè)離散的未知值的某種組合了，這個(gè)步驟稱為微分方程離散。60微分方程數(shù)值解1）區(qū)域剖分2）微分方程的離散603）初始和邊界條件處理離散后系統(tǒng)是一個(gè)遞推公式，那它需要若干個(gè)初值才能啟動(dòng)。若是一個(gè)方程組，那它所含的方程個(gè)數(shù)一般少于未知量的個(gè)數(shù)，要想求解還需要補(bǔ)充若干個(gè)方程。這些需要補(bǔ)充的初值和方程往往可以通過微分方程的初始條件和邊界條件來得到，這就是初始和邊界條件處理過程。613）初始和邊界條件處理614）離散系統(tǒng)的性態(tài)研究我們主要研究：這個(gè)系統(tǒng)是否可解，即解的存在性、唯一性問題；它與精確解的差距有多大，這個(gè)差距當(dāng)區(qū)域剖分的尺寸趨于零時(shí)，是否也會(huì)趨于零，趨于零的速度多快，即解的收斂性和收斂速度問題；當(dāng)外界對(duì)數(shù)據(jù)有所干擾時(shí)，所得的解是否會(huì)嚴(yán)重背離離散系統(tǒng)的固有的解，即解的穩(wěn)定性問題。624）離散系統(tǒng)的性態(tài)研究62上述問題說道底是一個(gè)誤差分析問題，因?yàn)槿绻麖膶?shí)際問題到得出數(shù)值解的每一步都沒有任何誤差的話（當(dāng)然，這是不可能的），那么數(shù)值解就應(yīng)該是離散點(diǎn)上的精確值，也就不用煞費(fèi)苦心去討論上面的問題了。63上述問題說道底是一個(gè)誤差分析問題，因?yàn)槿绻麖膶?shí)際問題到得出數(shù)數(shù)值求解微分方程過程示意微分方程區(qū)域剖分離散系統(tǒng)的性態(tài)研究遞推計(jì)算或解線性代數(shù)方程組微分方程離散初始和邊界條件處理解的存在性、唯一性解的收斂性和收斂速度解的穩(wěn)定性得到數(shù)值解64數(shù)值求解微分方程過程示意微分方程區(qū)域剖分離散系統(tǒng)的遞推計(jì)算微分方程數(shù)值解現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)模型離散格式模型誤差建模離散舍入誤差觀測(cè)模型截?cái)嗾`差數(shù)值解計(jì)算65微分方程數(shù)值解現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)模型離散格式模型誤差建模離散舍入誤微分方程數(shù)值解數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，它是科學(xué)與工程計(jì)算的核心。可以毫不夸張地講，大部分科學(xué)與工程問題最終都要?dú)w結(jié)為一個(gè)矩陣計(jì)算問題，其中具有挑戰(zhàn)性的問題是大規(guī)模矩陣計(jì)算問題。66微分方程數(shù)值解數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，它是科學(xué)與工程計(jì)算的微分方程數(shù)值解（1）求解線性方程組的問題。（2）矩陣特征值問題。即給定一個(gè)矩陣，求它的部分或全部特征值以及對(duì)應(yīng)的特征向量（3）線性最小二乘問題。67微分方程數(shù)值解（1）求解線性方程組的問題。（2）矩陣特征值問微分方程數(shù)值解若