隨機(jī)事件及其概率第一章

隨機(jī)事件及其概率第一章1.2.3.王為民，概率論與數(shù)理統(tǒng)計,4.5.郭躍華，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，科學(xué)出版社6.李博納，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，高等教育出版社7.李子強(qiáng)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，科學(xué)出版社8.9.文平，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，科學(xué)出版社10.萬維明，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，機(jī)械工業(yè)出版社11.胡端平，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，高等教育出版社12.李書剛，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，科學(xué)出版社13.李俊林，概率統(tǒng)計與建模，科學(xué)出版社參考書目自然界中的現(xiàn)象分為兩大類：

將來可以預(yù)知，條件一定、結(jié)果一定；將來不可以預(yù)知，條件一定、結(jié)果不定?！舸_定現(xiàn)象：◆不確定現(xiàn)象：概率統(tǒng)計研究什么？我們身邊的不確定現(xiàn)象！1.航班延誤我們身邊的不確定現(xiàn)象！2.列車晚點3.徐州站明天的客流4.徐州明天的天氣5.隔壁教室的人數(shù)問題：隨機(jī)現(xiàn)象有沒有規(guī)律可言?Answer:

若只進(jìn)行一次觀測，則無規(guī)律可言!!若進(jìn)行大量的觀測就會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性,這種規(guī)律叫做統(tǒng)計規(guī)律.例如：（1）拋一枚硬幣,只拋一次,無規(guī)律可言；

拋擲充分多的次數(shù),會發(fā)現(xiàn)正面朝上約為50%;（2）咱們班至少有兩名同學(xué)在同一天過生日的可能性。概率論起源于人類貪婪的產(chǎn)物——賭博?！?6世紀(jì)，意大利學(xué)者吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾開始研究擲骰子等賭博中的一些簡單問題?！龈怕式y(tǒng)計方法，早期主要用于賭博、人口統(tǒng)計模型?！鲭S著人類的社會實踐，人們需要了解各種不確定現(xiàn)象中隱含的必然規(guī)律性，并用數(shù)學(xué)方法研究各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小。概率論的起源18、19世紀(jì)：■概率統(tǒng)計方法應(yīng)用于生物、物理、社會科學(xué)領(lǐng)域?！鋈鹗繑?shù)學(xué)家j.伯努利建立了伯努利大數(shù)定律：事件的頻率穩(wěn)定于它的概率?！鲩δ?、拉普拉斯導(dǎo)出了中心極限定理的原始形式?！隼绽沟闹鳌斗治龅母怕世碚摗?，明確給出了概率的古典定義，并引入了更有力的分析工具，將概率論推向一個新的發(fā)展階段。概率論的起源■19世紀(jì)末，俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫、馬爾可夫、李亞普諾夫等人用分析方法建立了大數(shù)定律及中心極限定理的一般形式，科學(xué)地解釋了為什么實際中遇到的許多隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布?！?0世紀(jì)，初受物理學(xué)的刺激，人們開始研究隨機(jī)過程。這方面柯爾莫哥洛夫、維納、馬爾可夫、辛欽、萊維及費(fèi)勒等人作了杰出的貢獻(xiàn)。概率論的起源1933年柯爾莫哥洛夫在他的《概率論基礎(chǔ)》一書中首次給出了概率的公理化定義和一套嚴(yán)密的公理體系?？聽柲缏宸虻墓砘椒ǔ蔀楝F(xiàn)代概率論的基礎(chǔ)，使概率論成為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)分支。19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯說:“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題”?？聽柲缏宸虻谝徽码S機(jī)事件及其概率第二章隨機(jī)變量及其分布第三章多維隨機(jī)變量及其分布第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五章大數(shù)定律與中心極限定理第六章樣本與抽樣分布第七章參數(shù)估計第八章假設(shè)檢驗課程基本內(nèi)容第一章隨機(jī)事件及其概率

§1.1

隨機(jī)事件及其運(yùn)算

§1.2

頻率與概率

§1.5

事件的相互獨(dú)立性

§1.4

條件概率

§1.3

等可能概型一、隨機(jī)試驗二、樣本空間三、隨機(jī)事件四、事件間的關(guān)系及其運(yùn)算

§1.1

隨機(jī)事件及其運(yùn)算一、隨機(jī)試驗（Experimentation）隨機(jī)試驗應(yīng)該廣義理解，是對隨機(jī)現(xiàn)象的一次觀察、（簡稱試驗記作E）。也可以是一次測量、一次統(tǒng)計等等幾個具體的試驗E1

:拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正反面情況。E2

:將一枚硬幣連拋三次，觀察出現(xiàn)正反面的情況。E5:記錄交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。E6:在一批燈泡中任取一只,測試它的壽命。

E4:拋一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)E3:拋一枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)正面次數(shù)。上述隨機(jī)試驗的特點：（可重復(fù)性）(1)可以在相同情況下重復(fù)進(jìn)行。(2)每次試驗可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果具有多種可能性。(3)每次試驗前不能確定會出現(xiàn)哪種結(jié)果，但能事先知道試驗的所有可能結(jié)果。(結(jié)果具有隨機(jī)性）具有上述三個特點的試驗稱為隨機(jī)試驗（簡稱試驗）。(結(jié)果具有多樣性）定義1將隨機(jī)試驗E

的所有可能結(jié)果組成的集合，稱為E

的樣本空間，記作Ω。

二、樣本空間樣本空間的元素，即E

的每個結(jié)果，稱為樣本點。認(rèn)識一個隨機(jī)現(xiàn)象，首先從認(rèn)識它的所有可能發(fā)生的結(jié)果開始。E1

:拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正反面情況。隨機(jī)試驗的樣本空間H——HeadT——TailE2

:將一枚硬幣連拋三次，觀察出現(xiàn)正反面的情況。E3:

拋一枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)正面次數(shù)。E4:擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面，記錄拋擲次數(shù)。E5:記錄交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。E6:在一批燈泡中任取一只,測試它的壽命。

E7:

將兩根筷子隨意扔向桌面后所形成的交角。Ω7={α|0≤α<180}E2

:將一枚硬幣連拋三次，觀察出現(xiàn)正反面的情況。E3:拋一枚硬幣三次，觀察出現(xiàn)正面次數(shù)。==>樣本空間中的元素是由試驗?zāi)康臎Q定的?；仡橢2

和E3的樣本空間定義2稱試驗E的樣本空間Ω的子集為隨機(jī)事件（簡稱事件），用A,B,C,D等表示。三、隨機(jī)事件的定義注意：事件是由樣本點構(gòu)成的集合，而樣本點在一次試驗中是否出現(xiàn)帶有不確定性，因此事件的發(fā)生帶有隨機(jī)性?！羰录谋硎痉椒ǎ赫Z言定性描述、用集合、圖形比如：擲骰子試驗中，擲出點數(shù)是偶數(shù)可表示為：A

=｛2，4，6｝在試驗中,若事件A中的一個樣本點出現(xiàn)了,則稱事件A發(fā)生。1.事件的發(fā)生例如：在擲骰子試驗E4中，Ω＝｛1,2,3,4,5,6｝A＝｛1，2，3｝，B＝｛2，4，6｝C＝｛4，5，6｝如果擲出的數(shù)字是4，則B,C發(fā)生①基本事件:E中只含有一個樣本點的事件，稱為E的基本事件。2.三種具有特殊意義的事件為六個基本事件。例如：在擲骰子試驗中②必然事件③不可能事件在每次試驗中一定不發(fā)生的事件，稱為不可能事件，記為?，即為空集?，?不包含任何樣本點。在每次試驗中總是發(fā)生的事件，稱為必然事件。例如：擲一枚骰子1次，則{點數(shù)≥1}為必然事件

{點數(shù)>6}為不可能事件。由于樣本空間Ω包含所有的樣本點，每次試驗中它總是發(fā)生的，因此樣本空間Ω是必然事件。（1）事件的包含與相等記為若事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件定義：B

發(fā)生，

則稱

B包含A。（A的每一個樣本點都是B的樣本點）或即定義：若且則稱A與B相等記為A=B

.1.事件的關(guān)系與運(yùn)算四、事件間的關(guān)系及事件的運(yùn)算（2）事件的和（和運(yùn)算）定義事件例如稱為A與B的和事件。當(dāng)且僅當(dāng)A、B中至少有一個發(fā)生時或}{=BAU——可列并——有限并簡記為簡記為n個事件的和事件，記為可列個事件的和事件，記為例如A1={開關(guān)K1

合上}A2={開關(guān)K2合上}A3={開關(guān)K3合上}B={燈亮}三個開關(guān)至少有一個合上。（3）事件的積（積運(yùn)算）當(dāng)且僅當(dāng)事件A與事件B同時發(fā)生時或定義記為例電路圖:B表示燈亮A1={開關(guān)K1合上}A2={開關(guān)K2合上}稱為事件A與B的積。發(fā)生且}{=BAI——可列交。——有限交。

簡記為

簡記為n個事件的積事件，記為可列個事件的積事件，記為（4）事件的差（差事件）當(dāng)且僅當(dāng)“事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生定義例如稱為事件A與B的差事件。時，事件A－B發(fā)生”且事件{}A-B=（5）互不相容事件A與B互不相容<==>事件A與事件B不能同時發(fā)生。定義若，則稱A與B相容，注：基本事件是兩兩互不相容的(互斥)。如：產(chǎn)品檢驗是一等品、二等品、次品是互不相容的。否則，稱A與B互不相容，也稱A與B互斥。（6）對立事件則稱A與B為對立事件(互逆)且定義事件A、B

滿足記為含義：每當(dāng)進(jìn)行隨機(jī)試驗E時，事件A與B

必有且僅有一個發(fā)生.2.事件的運(yùn)算規(guī)律（1）交換律（2）結(jié)合律（3）分配律（4）德摩根律例1.設(shè)A,B,C

表示三個事件,試表示下列事件(1)A發(fā)生,B與C

不發(fā)生(2)A

與B

發(fā)生,C不發(fā)生(3)A,B

與C

都發(fā)生(4)A,B

與C

至少有一個發(fā)生(5)A,B

與C全不發(fā)生(6)A,B

與C

至少有兩個發(fā)生例2以A表示“甲產(chǎn)品暢銷，乙產(chǎn)品滯銷”，則為(A)甲滯銷乙暢銷(B)甲乙兩種產(chǎn)品均暢銷(C)甲產(chǎn)品暢銷(D)甲滯銷或乙暢銷解設(shè)B

=

“甲產(chǎn)品暢銷”，C

=

“乙產(chǎn)品暢銷”則故選D例3關(guān)系()成立，則事件A與B為對立事件。(a)(b)(c)(d)與為對立事件(c)顯然成立，(d)也成立。Answer例4試證明下列等式。(1)(2)證：(1)(2)二、概率公理化定義一、頻率及其性質(zhì)§1.2

頻率與概率三、概率的性質(zhì)

研究隨機(jī)現(xiàn)象，人們不僅關(guān)心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！

例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險金額.了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對人們的生活有什么意義呢？了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員.了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.1.頻率的定義頻率的基本性質(zhì)(3)若A1,A2,...,Ak互不相容，則(非負(fù)性)(規(guī)范性)(有限可加性)試驗者拋幣次數(shù)n“正面向上”次數(shù)

頻率德.摩根208410610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998拋擲錢幣試驗記錄問題：頻率有什么規(guī)律？2.概率的公理化定義設(shè)隨機(jī)試驗E的樣本空間為Ω，對于E中的每一個事件A賦予一個實數(shù)P(A)，稱為事件A的概率,如果集合函數(shù)P(.)滿足以下三個公理:（1）非負(fù)性（2）規(guī)范性（3）可列可加性若可列個事件兩兩互不相容，則3.概率的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2（有限可加性）若

兩兩互不相容，則性質(zhì)3如果，則3.概率的性質(zhì)性質(zhì)4性質(zhì)5性質(zhì)6

推廣：3.概率的性質(zhì)例1已知證

例2解

例3某人外出旅游兩天，據(jù)天氣預(yù)報知：第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1,試求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨；(4)兩天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨；(3)至少有一天下雨；解設(shè)A

=“第一天下雨”，B=“第二天下雨”則(5)至少有一天不下雨。(1)第一天下雨第二天不下雨的概率為0.5例3某人外出旅游兩天，據(jù)天氣預(yù)報知：第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1,試求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨；(4)兩天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨；(3)至少有一天下雨；解(5)至少有一天不下雨。(2)第一天不下雨第二天下雨的概率為0.50.2例3某人外出旅游兩天，據(jù)天氣預(yù)報知：第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1,試求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨；(4)兩天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨；(3)至少有一天下雨；解(5)至少有一天不下雨。0.50.2(3)至少有一天下雨的概率為0.8例3某人外出旅游兩天，據(jù)天氣預(yù)報知：第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1,試求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨；(4)兩天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨；(3)至少有一天下雨；解(5)至少有一天不下雨。0.50.20.8(4)兩天都不下雨的概率為0.2例3某人外出旅游兩天，據(jù)天氣預(yù)報知：第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1,試求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨；(4)兩天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨；(3)至少有一天下雨；解(5)至少有一天不下雨。0.50.20.80.2(5)至少有一天不下雨的概率為0.9例4(訂報問題)

某城市共發(fā)行三種報紙A、B、C，訂購A、B、C的用戶占用分別為45%,35%,30%,同時訂購A、B的占10%，同時訂購A、C的占8%，同時訂購B、C的占5%，同時訂購A、B、C的占3%,試求下列事件的概率：(1)只訂購A的(2)只訂購A，B的(3)只訂購一種報紙的(4)只訂購兩種報紙的(5)至少訂購一種報紙的(6)不訂購任何報紙的0.30.070.730.140.90.1例5

已知求A,B,C中至少有一個發(fā)解生的概率。練習(xí)1證明練習(xí)2，求Answe:0.3§1.3

等可能概型一、等可能概型的定義二、概率計算公式三、幾何型概率定義設(shè)Ω是隨機(jī)試驗E的樣本空間，如果Ω滿足以下兩個條件：（1）有限性：試驗的樣本空間中的元素只有有限個；（2）等可能性：每個基本事件的發(fā)生的可能性相同；則稱隨機(jī)試驗E為等可能概型或古典概型?！哂羞@兩特點的隨機(jī)試驗是概率論早期的主要研究對象，故稱為古典概率模型。一、等可能概型的定義二、計算公式二、計算公式■若事件A包含k個基本事件，即其中(

表示中的k個不同的數(shù))例1

投兩枚骰子，求點數(shù)之和為奇數(shù)的概率。解設(shè)A表示“點數(shù)之和為奇數(shù)”法一，

n=36nA=18法二，所有可能結(jié)果(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶)A={(奇,偶)，(偶,奇)}本例說明：樣本空間可以不同，但必須保證等可能。例2

有6只不同球(4白2紅)，從袋中依次取兩球，觀察其顏色。

分別做a.有放回抽樣b.不放回抽樣，(1)“取到的兩只球都是白球”(2)“取到的兩只球顏色相同”(3)“取到的兩只球中至少有一個是白球”解a.(1)(2)

(乘法原理)Ω：n=6×6=36求下列事件的概率：例2

有6只不同球(4白2紅)，從袋中依次取兩球，觀察其顏色。

分別做a.有放回抽樣b.不放回抽樣，(1)“取到的兩只球都是白球”(2)“取到的兩只球顏色相同”(3)“取到的兩只球中至少有一個是白球”解a.

(乘法原理)Ω：n=6×6=36求下列事件的概率：(3)表示“兩只都是紅球”，若直接考慮：例2

有6只不同球(4白2紅)，從袋中依次取兩球，觀察其顏色。

分別做a.有放回抽樣b.不放回抽樣，(1)“取到的兩只球都是白球”(2)“取到的兩只球顏色相同”(3)“取到的兩只球中至少有一個是白球”解b.(考慮先后順序)Ω：n=6×5=30求下列事件的概率：(1)(2)(3)思考：如果不考慮順序呢？例3

袋中有a

只白球，b

只紅球，從袋中按不放回與放回兩種方式取m個球（),求其中恰有k

個（）白球的概率解（1）不放回情形E1:不考慮順序，一次取m

個球,記下顏色

1:記事件A

為m個球中有k個白球，則超幾何分布（2）放回情形E2:球編號,任取一球,記下顏色,放回去,重復(fù)

m

次

2:記B

為取出的m個球中有k個白球,則二項分布（1）某指定的k

個盒子中各有一球；（4）恰有k

個盒子中各有一球；（3）某指定的一個盒子沒有球；（2）某指定的一個盒子恰有m

個球()（5）至少有兩個球在同一盒子中；

設(shè)有k

個不同的球,每個球等可能地落入N

個盒子中（）,設(shè)每個盒子容球數(shù)無限,求下列事件的概率:例4

（分房模型）例4

的“分房模型”可應(yīng)用于很多類似場合“球”可視為人“盒子”相應(yīng)視為房子信封信鑰匙門鎖女舞伴生日人男舞伴例5(生日問題)設(shè)每個人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即均為,那么隨機(jī)選取n(≤365)人。(1)他們的生日各不相同的概率為多少？(2)至少有兩個人生日相同的概率為多少？解(1)設(shè)A=“n個人生日各不相同”(2)設(shè)B=“n個人中至少有兩個人生日相同”n102030405060P(A)0.116950.411440.706320.891230.970370.99412若將等可能概型中的樣本點總數(shù)由有限個推廣到無窮多個（不可數(shù)），就可以得到幾何概型的概念。先看一個例子:引例某人的表停了，他打開收音機(jī)聽電臺報時，已知電臺是整點報時的，問他等待報時的時間短于十分鐘的概率。9點10點10分鐘三、幾何型概率幾何概型（等可能概型的推廣）設(shè)樣本空間為有限區(qū)域

,若樣本點落入內(nèi)任何區(qū)域G

中的概率與區(qū)域G

的測度成正比,則樣本點落入G內(nèi)的概率為例6

兩船欲停同一碼頭,兩船在一晝夜內(nèi)獨(dú)立隨機(jī)地到達(dá)碼頭.若兩船到達(dá)后需在碼頭停留的時間分別是1小時與2小時，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時，需要等待空出碼頭的概率.解設(shè)船1到達(dá)碼頭的瞬時為x,0

x<24

船2到達(dá)碼頭的瞬時為y,0

y<24設(shè)A

表示任一船到達(dá)碼頭時需要等待空出碼頭xy2424y=xy=x+1y=x-2第四節(jié)條件概率一、條件概率二、乘法公式三、全概率公式

四、貝葉斯公式

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念例如：在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).通常情況下

P(A|B)≠P(A)

引例

取一副牌,隨機(jī)的抽取一張,問:(1)抽中的是k的概率;(2)若已知抽中的是紅桃,問抽中的是k的概率。解A——抽中的是紅桃,B——抽中的是k(1)(2)上述式子具有普遍性嗎?在古典概型中,2.定義設(shè)A，B為兩事件，且則稱為事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率。若事件A已發(fā)生,則為使B也發(fā)生，試驗結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點，即此點必屬于AB。由于我們已經(jīng)知道A已發(fā)生,故A變成了新的樣本空間。(3)設(shè)是兩兩互不相容的事件則條件概率滿足概率公理化定義中的三個公理:(2)性質(zhì)：條件概率滿足概率的6條基本性質(zhì)。非負(fù)性規(guī)范性可列可加性2)從加入條件后改變的情況考慮

3.條件概率的計算1)用定義計算:P(B)>0

擲骰子例：A={擲出2點}，

B={擲出偶數(shù)點}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點個數(shù)例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解設(shè)A={擲出點數(shù)之和不小于10}，

B={第一顆擲出6點}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計算例2

設(shè)某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現(xiàn)年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).例3某人有一筆資金，他購買基金、股票的概率分別為0.50、0.40，兩項投資都買的概率為0.30。(1)已知他已購買基金，求他再購買股票的概率；(2)已知他已購買股票，求他再購買基金的概率。解設(shè)A=“購買基金”，B

=“購買股票”已知由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).將A、B的位置對調(diào)，有故P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率設(shè)一個班30名學(xué)生采用抓鬮的辦法分一張音樂會入場券,問各人獲得此票入場券的機(jī)會是否均等？解

設(shè)“第名學(xué)生抓到入場券”i=1,2,…,30例4同理，第i個人要抓到此入場券，必須是他前面的i-1個人都沒抓到此入場券。抽簽不必爭先恐后.例5

設(shè)袋中有5個紅球，3個黑球，2個白球，隨機(jī)摸球三次，每次摸得一球不放回，求第三次才摸到白球的概率。解設(shè)A={第一次沒有摸到白球}，B={第二次沒有摸到白球}，C={第三次摸到白球}，則所求事件可表示為ABC。一個罐子中包含b個白球和r個紅球.隨機(jī)地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

例6（波里亞罐子）b個白球,r個紅球于是W1W2R3R4

表示事件“連續(xù)取四個球，第一、二個球是白球，第三、四個球是紅球.”

b個白球,r個紅球隨機(jī)取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個與所抽出的球具有相同顏色的球.

解設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4應(yīng)用乘法公式，可得注：當(dāng)c>0時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率.這是一個傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)例7某公司對零部件的驗收是這樣規(guī)定的：在批量為100件的零部件中不放回地抽取4次，每次取1件進(jìn)行檢驗，一旦發(fā)現(xiàn)次品則拒收不再檢驗.

只有4件均為正品時才接受.

設(shè)一批零部件共100件，其中有5件次品，求這批零部件被接受的概率.解設(shè)Ai表示“第i次抽到正品”（i=1,2,3,4），B表示“這批零部件被接受”，則一批零件共100件,其中有10件次品,每次從其中任取一個零件，取后不放回。2)如果取到一個合格品就不再取下去，求在3次內(nèi)取到合格品的概率。

1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率；“第次抽到合格品”解設(shè)例81)一批零件共100件,其中有10件次品,每次從其中任取一個零件，取后不放回。2)如果取到一個合格品就不再取下去，求在3次內(nèi)取到合格品的概率。

1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率；例82)設(shè)“三次內(nèi)取到合格品”且互不相容假設(shè)范進(jìn)每次鄉(xiāng)試考中的概率為0.3，以Ai表示“范進(jìn)第次鄉(xiāng)試未考中”，i=1,2,3,…..則范進(jìn)連考10次都是不中的概率為例9《儒林外史》中講過一個范進(jìn)中舉的故事.我們來計算一下，范進(jìn)晚年中舉的概率究竟有多大？結(jié)論：范進(jìn)晚年中舉的概率高達(dá)97.18%.啟示：做任何事情最重要的是持之以恒！

有三個箱子，分別編號為1,2,3.1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱,再從其中任意摸出一球，求取得紅球的概率。解記

Ai=“球取自i號箱”,i=1,2,3;B=“取得紅球”B發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3

之一同時發(fā)生，123其中A1、A2、A3兩兩互不相容?？匆粋€例子:三、全概率公式◆將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計算中常用的全概率公式。對求和中的每一項運(yùn)用乘法公式得P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)代入數(shù)據(jù)計算得：P(B)=8/15.運(yùn)用加法公式得到即且

A1B、A2B、A3B兩兩互不相容。定義設(shè)Ω是隨機(jī)試驗E的樣本空間，B1,B2,…,Bn是

E的一組事件，如果：則稱為樣本空間Ω的一個劃分。

，

某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因

，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，則A發(fā)生的概率是每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)我們還可以從另一個角度去理解全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系.諸Bi是原因A是結(jié)果B1B2B3B4B5B6B7B8A例1017紅3黃25藍(lán)5白38藍(lán)2白現(xiàn)有三個盒子,先在第一個盒子中任取一球,若取到紅球,

則在第二個盒子中任取兩球;若在第一個盒子中取到黃球，則在第三個盒子中任取兩球，求第二次取到的兩球都是藍(lán)球的概率。解設(shè)=“從第一盒子取紅球”=“從第一盒子取黃球”，=“第二次取兩只藍(lán)球”則該球取自哪號箱的可能性最大?

這一類問題是“已知結(jié)果求原因”.在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是在已知某結(jié)果發(fā)生的條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小。某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率。1231紅4白或者問:四、貝葉斯公式先看一個例子:某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號箱的概率。記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)運(yùn)用全概率公式計算P(B)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式。1231紅4白?設(shè)Ω為隨機(jī)試驗E的樣本空間,A為E的任意一個事件,定理2（貝葉斯公式）為Ω的一個劃分,且則例11

在電報通訊中發(fā)出0和1的概率為0.6和0.4由于存在干擾,當(dāng)發(fā)出0時,

以概率0.7和0.1接收到0和1,

以0.2的概率收到模糊信號“x”,當(dāng)發(fā)出1時,

以概率0.85和0.05收到1和0，以概率0.1收到模糊信號“x”,試求:1)收到模糊信號“x”的概率；

2)收到模糊信號“x”時,譯成哪個信號最好？解設(shè)=“發(fā)出信號”=“收到信號”1)2)例12用血清甲胎蛋白法診斷肝癌.已知肝癌患者反應(yīng)為陽性的概率為0.95，健康人反應(yīng)為陰性的概率為0.90，人群中患肝癌的概率為0.0004.現(xiàn)在某人檢驗呈陽性，求此人患肝癌的概率.解設(shè)A表示“化驗呈陽性”，B表示“患肝癌”，已知應(yīng)用貝葉斯公式可得案例：《伊索寓言．孩子與狼》講的是一個小孩每天在山上放羊，山上常有狼出沒。第一天，他在山上喊“狼來了，狼來了”，山下的聞聲便去打狼，可到了山上發(fā)現(xiàn)狼沒有來；第二天，他又在山上喊“狼來了，狼來了”，山下的聞聲又去打狼，可到了山上發(fā)現(xiàn)狼又沒有來；第三天，狼真的來了，可是無論小孩怎么喊叫，也沒有人來救他。因為人們不再相信他了。問題：請應(yīng)用概率方法解釋上述現(xiàn)象。下面，我們用貝葉斯公式來分析這個語言故事，村民對這個小孩的可信度是如何下降的。首先，用A表示“小孩說謊”，用B表示“小孩可信”。假設(shè)“可信的孩子說謊的概率為0.1，不可信的孩子說謊的概率為0.5”，即再假設(shè)“村民過去對這個小孩的印象是較為可信”，不妨設(shè)

第一次村民上山打狼，發(fā)現(xiàn)狼沒有來，即“小孩說謊了”。村民根據(jù)這個信息，對這個小孩的可信度改變?yōu)檫@說明村民上了一次當(dāng)后，對這個小孩的可信度由原來的0.8下降到0.444，即改變?yōu)镻(B)=0.444。在此基礎(chǔ)上，再一次應(yīng)用貝葉斯公式來計算P(B|A)，即小孩第二次說謊后，村民對小孩的可信度改變?yōu)檫@說明村民上了兩次當(dāng)后，對這個小孩的可信度由原來的0.8下降到0.138。第五節(jié)事件的獨(dú)立性1.兩個事件的獨(dú)立性2.多個事件的獨(dú)立性3.獨(dú)立性的概念在計算概率中的應(yīng)用顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨(dú)立。一、兩事件的獨(dú)立性A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻畫獨(dú)立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)(1)則稱A與B相互獨(dú)立，簡稱A、B獨(dú)立.兩事件獨(dú)立的定義：定理1事件A與B相互獨(dú)立的充要條件為或證

（必要性）由事件A與B相互獨(dú)立，得當(dāng)時，當(dāng)時，定理1事件A與B相互獨(dú)立的充要條件為或證

（充分性）設(shè)由乘法公式得由定義可知，事件A與B相互獨(dú)立。例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K

},

B={抽到的牌是黑色的}可見

P(AB)=P(A)P(B)由于P(A)=4/52=1/13,故事件A與B獨(dú)立.問事件A、B是否獨(dú)立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,在實際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.由于“甲命中”并不影響“乙命中”發(fā)生的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立.甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨(dú)立？例如（即A事件發(fā)生與否并不影響B(tài)事件發(fā)生的概率）又如：一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，定義兩個事件：Ai=

{第i件是合格品}，

i=1,2◆若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立.因為第二次抽取的結(jié)果受到第一次抽取的影響.因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響.◆若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.A、B獨(dú)立概率的性質(zhì)僅證A與獨(dú)立定理2若兩事件A、B獨(dú)立,則也相互獨(dú)立.證明故A與獨(dú)立注意:三個事件的獨(dú)立性

對于三個事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四個等式同時成立,

則稱事件