解三角應用之距離問題（解析版）

試卷第=page44頁，共=sectionpages88頁試卷第=page33頁，共=sectionpages88頁解三角應用之距離問題一、填空題1．圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根呈南北方向的水平長尺（稱為“圭”）和一根直立于圭面的標桿（稱為“表”），如圖．成語有云：“立竿見影”，《周髀算經(jīng)》里記載的二十四節(jié)氣就是通過圭表測量日影長度來確定的．利用圭表測得某市在每年夏至日的早上8：00和中午13：00的太陽高度角分別為（）和（）．設表高為1米，則影差米（參考數(shù)據(jù)：，）解析在中，（米）．在中，由正弦定理，得，即，所以（米）．因為，且，所以，所以（米）．故答案為：二、解答題2．海上某貨輪在處看燈塔在貨輪的北偏東，距離為海里；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為海里；貨輪向正北由處行駛到處時，若燈塔在南偏東的方向上，則燈塔與處之間的距離為多少海里？【答案】.解析在中，，由正弦定理得，則，即，在中，，由余弦定理得，因此，解得，所以燈塔與處之間的距離為海里.3．某海輪航行的速度大小為30海里/小時，在A點測得海面上油井P在南偏東，向北航行40分鐘后到達B點，測得油井P在南偏東，海輪改為北偏東的航向再行駛80分鐘到達C點，求P，C間的距離．【答案】20解析如圖，在中，(海里)，，，由正弦定理，得，即，解得(海里)．在中，(海里)，由已知，得，∴(海里)．∴P，C間的距離為海里．4．如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準備在河岸一側建造一個觀景臺，已知射線，為兩邊夾角為的公路（長度均超過3千米），在兩條公路，上分別設立游客上下點，，從觀景臺到，建造兩條觀光線路，，測得千米，千米．(1)求線段的長度；(2)若，求兩條觀光線路與之和的最大值．解析（1）在中，由余弦定理得，，得，所以線段的長度為3千米．（2）設，因為，所以，在中，由正弦定理得，，所以，，因此因為，所以．所以當，即時，取到最大值6．所以兩條觀光線路與之和的最大值為6千米．5．一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東70°的方向航行后到達海島，然后從出發(fā)，沿北偏東10°的方向航行到達海島.(1)求的長;(2)如果下次航行直接從出發(fā)到達，應沿什么方向航行多少？解析（1）由題意知，在中，，，，根據(jù)余弦定理，得，所以nmile．（2）由正弦定理得，即，又，所以．所以應沿北偏東的方向航方向航行nmile即可到達C處.6．如圖，若小河兩岸平行，為了知道河對岸兩棵樹C，D（CD與河岸平行）之間的距離，選取岸邊兩點A，B（AB與河岸平行），測得數(shù)據(jù)：，，，，試求C，D之間的距離．解析，因為，所以，在△ABD中，，，所以，所以在Rt△DBC中，.所以C，D之間的距離為.7．在某海域開展的“海上聯(lián)合”反潛演習中，我方軍艦要到達C島完成任務．已知軍艦位于B市的南偏東方向上的A處，且在C島的北偏東方向上，B市在C島的北偏東方向上，且距離C島此時，我方軍艦沿著方向以的速度航行，問：我方軍艦大約需要多長時間到達C島？（參考數(shù)據(jù)：，）解析設我方軍艦大約需要x小時到達C島，則，由題意知，，，，在中，又，在中，由正弦定理可得，即，解得，所以我方軍艦大約需要10小時到達C島．8．如圖，某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號．我海軍艦艇在A處獲悉后，測出該漁輪在方位角為45°、距離為10nmile的C處，并測得該漁輪正沿方位角為105°的方向，以9nmile/h的速度向小島靠攏．我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救．求艦艇的航向和靠攏漁輪所需的時間（角度精確到0.1°，時間精確到1min）．

解析設艦艇收到信號后xh在B處靠攏漁輪，則nmile，nmile．又nmile，．由余弦定理，得：，即，化簡，得，解得（負值舍去），．由正弦定理，得：，所以，方位角為．故艦艇應沿著方位角為66.8°的方向航行，經(jīng)過40min就可靠攏漁輪．9．如圖，為了測量河對岸兩點之間的距離，在河岸這邊取點，測得，，，，．設在同一平面內，試求兩點之間的距離（精確到1m）．

解析解在中，，，則．又，由正弦定理，得：．在中，，，則．又，由正弦定理，得：．在中，由余弦定理，得：，所以．故A，B兩點之間的距離約為57m．10．如圖，某城市有一條從正西方通過市中心后轉向東偏北方向的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準備修建一條繞城高速公路，并在上分別設置兩個出口在的東偏北的方向（兩點之間的高速公路可近似看成直線段），由于之間相距較遠，計劃在之間設置一個服務區(qū)．

(1)若在的正北方向且，求到市中心的距離和最小