數學建模案例（一）最佳視角教案 高一下學期數學湘教版（2019）必修第二冊

《數學建模案例（一）最佳視角》教案課題6.3數學建模案例（一）最佳視角單元第六單元學科數學年級高一教學目標與核心素養(yǎng)1.數學抽象：利用具體事件理解數學建模的過程；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力.3.數學建模：掌握數學建模的相關知識，為數學建模的學習打好基礎的同時，也能學習利用數學建模解決實際問題。4.直觀想象：了解數學建模案例的過程；5.數學運算:能夠正確計算數學建模；6.數據分析:通過經歷提出問題—推導過程—得出結論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數學知識的邏輯性和嚴密性。重點難點重點：問題解析；模型建立與求解；模型的進一步討論。難點：問題解析；模型建立與求解；模型的進一步討論。教學過程教學環(huán)節(jié)教師活動新課導入情境導入：當我們和朋友一起流連忘返于展覽大廳欣賞精美的藝術品，或在節(jié)假日陪伴家人沉醉于大自然美景時，可能常常不經意地調整觀察路線，便于我們能夠對感興趣的目標有一個最清晰的觀察。這種最清晰的觀察就可以通過建立最佳視角的數學模型來完成。從數學上看，對什么是最佳視角并沒有一個嚴格的定義，針對不同的問題，取佳視角的含義有所不同。例如，當我們希望對物體的全貌進行最清晰的觀察時，取佳視角是關于面積最大的問題，而在6.1節(jié)提出的足球運動員射門角度問題中，其最佳視角則對應于球員與所對球門張成的最大角度。本節(jié)我們僅從觀察者與所觀察物體張成的最大角度出發(fā)，討論與之有關的最佳視角模型。新知探究新知探究（一）：問題解析最佳視角問題在我們的生活中還有很多，例如:(1)如圖，觀眾在觀看某美術館墻上懸掛的一幅畫作時，經常會前、后左、右移動，以使得觀看該畫最清晰，你能夠從最大視角的角度解釋他腳步移動的原因嗎?(2)對于一座山或高大建筑物(不可及但高度知道)，且在平地上可以看見山或建筑物頂上有一個標志性塔或旗桿，如何在平地上尋找位置，使在該位置觀塔或旗桿的視角最大?下面我們通過建立數學模型的方法來解決最佳視角問題。新知探究（二）：模型建立與求解最佳視角問題可以抽象成下面的數學模型：如圖，直線AB垂直于地面，垂足為O，設OA=a,OB=b(a>b>0)，過O點任作一條垂直于OA的直線l，問題:在直線l上找出點C,使得在這點的視角∠ACB最大。最大視角問題早期常見解法包括平面幾何法與三角函數法，下面我們用三角函數法討論其求解方法：設OC=x,∠ACO=β,∠BCO=α.利用差角的正切公式tan∠ACB=tan(β-α)=tanβ?tan當且僅當x=abx,即x=ab時等號成立，此時tan∠ACB取最大值a?b由于y=tanx在(0,π2)上是增函數，且∠ACB∈(0,π2故當x=ab時，tan∠ACB最大，此時視角∠ACB也最大。按照數學建模的流程，還需要對模型解的正確性進行檢驗。以觀賞一幅懸掛在美術館墻面上的畫作為例，參觀者腳步的左右移動和前后移動分別對應于通過腳步移動尋找人眼與畫作在橫向以及縱向上的最大張角。你可以選擇模型所得到最佳視角的位置以及其他的位置，體驗模型結果的合理性。(2)更一般的問題：當人們眺望對面山頂景物(如巖崖畫、觀光塔)時，