數(shù)學(xué)歸納法 - 副本

.4*數(shù)學(xué)歸納法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)2.掌握數(shù)學(xué)歸納法的步驟.(邏輯推理)3.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.(邏輯推理)【自主預(yù)習(xí)】預(yù)學(xué)憶思1.如果你從袋子里拿出5個小球,發(fā)現(xiàn)全部都是綠色的,那么能否判斷袋子里面的小球都是綠色的?2.對于數(shù)列{an},已知a1=1,an+1=an1+an(n=1,2,3,…),通過對n=1,2,3,4前4項的歸納,猜出其通項公式為an=1n.而在教材第37頁中,根據(jù)多米諾骨牌游戲的原理給出證明自學(xué)檢測1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法.()(2)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1.()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時,由n=k到n=k+1的推導(dǎo)過程中,等式的項數(shù)不一定增加了一項.()2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:首項是a1,公差是d的等差數(shù)列的前n項和公式是Sn=na1+n(n-1)2d,假設(shè)當(dāng)n=k時,公式成立,則Sk=(A.a1+(k-1)d B.kC.ka1+k(kD.(k+1)a1+k(3.用數(shù)學(xué)歸納法證明:122+132+…+1(n+1)2>12-1n+2,假設(shè)當(dāng)n=k4.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2”,第一步驗證當(dāng)n=1時【合作探究】探究1：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式情境設(shè)置問題:在多米諾骨牌游戲中,能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么?新知生成一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N+)時命題成立;(2)(歸納遞推)以“當(dāng)n=k(k≥n0,k∈N+)時命題成立”為條件,推出“當(dāng)n=k+1時命題也成立”.只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法.新知運用例1求證:12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).【方法總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時,一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;二是弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;三是證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立,要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系,并朝n=k+1證明目標(biāo)的表達(dá)式變形.鞏固訓(xùn)練證明:1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1探究2：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例2已知正項數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=1+an1+an(n∈N+),用數(shù)學(xué)歸納法證明:an<an+1(n∈N方法指導(dǎo)直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟,通過n=1驗證不等式成立,假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立,證明當(dāng)n=k+1時不等式也成立即可.【方法總結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個關(guān)鍵(1)驗證第一個n的值時,要注意n0不一定為1,若n>k(k為正整數(shù)),則n0=k+1.(2)證明不等式的第二步中,從n=k到n=k+1的推導(dǎo)過程中,一定要用到歸納假設(shè),因為不運用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法.(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要求進(jìn)行證明;二是給出兩個式子,按要求比較它們的大小.第二種形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較,以免出現(xiàn)判斷失誤,最后猜出從某個n值開始都成立的結(jié)論,用數(shù)學(xué)歸納法證明.(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由當(dāng)n=k時成立得出當(dāng)n=k+1時也成立,主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.鞏固訓(xùn)練用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+122+132+…+1n2<2-1n(探究3：“歸納—猜想—證明”問題例3已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,其中an=Snn(2n-1),且a(1)求a2,a3的值;(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并證明.方法指導(dǎo)(1)令n=2,3可分別求出a2,a3.(2)根據(jù)a1,a2,a3的值,找出規(guī)律,猜想an,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.【方法總結(jié)】“歸納—猜想—證明”的一般步驟鞏固訓(xùn)練已知函數(shù)y=f(n)(n∈N+),設(shè)f(1)=2,且對任意的n1,n2∈N+,都有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2).(1)求f(2),f(3),f(4)的值;(2)試猜想f(n)的解析式,并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.【隨堂檢測】1.對于不等式n2+n<n+1(n∈N+),(1)當(dāng)n=1時,12+1<1+1,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,不等式成立,即k2+k則當(dāng)n=k+1時,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<(k2∴當(dāng)n=k+1時,不等式成立.則上述證法().A.過程全部正確B.n=1驗得不正確C.歸納假設(shè)不正確D.從n=k到n=k+1的推理不正確2.用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”時,從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為().A.2k+1 B.2(2k+1) C.2k+13.在用數(shù)學(xué)歸納法證明“f(n)=1n+1n+1+1n+2+…+12n<1(n∈N+,n≥3)”的過程中,假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥3)時,不等式f(k)<1成立,則需證明當(dāng)n=k+1