第08講 直線與橢圓、雙曲線、拋物線 高頻考點精講（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練（藝考生基礎(chǔ)版）

第第頁第08講直線與橢圓、雙曲線、拋物線(精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析題型一：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系題型二：中點弦問題角度1：由中點弦確定直線方程角度2：由中點弦確定曲線方程題型三：弦長問題題型四：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題第一部分：知第一部分：知識點精準記憶知識點一：直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的一元二次方程，其判別式為.①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．知識點二：直線與雙曲線的位置關(guān)系代數(shù)法：設(shè)直線，雙曲線聯(lián)立解得：（1）時，，直線與雙曲線交于兩點（左支一個點右支一個點）；，，或k不存在時，直線與雙曲線沒有交點；（2）時，存在時，若，，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；若，時，，直線與雙曲線相交于兩點；時，，直線與雙曲線相離，沒有交點；時，直線與雙曲線有一個交點；相切不存在，時，直線與雙曲線沒有交點；直線與雙曲線相交于兩點；知識點三：直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線:,拋物線:（）,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于的方程(1)若,當(dāng)時,直線與拋物線相交,有兩個交點;當(dāng)時,直線與拋物線相切,有一個切點;當(dāng)時,直線與拋物線相離,沒有公共點.(2)若,直線與拋物線有一個交點,此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合.因此直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件.知識點四：直線與圓錐曲線的相交的弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：；第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【詳解】，在橢圓內(nèi)，恒過點，直線與橢圓相交.故選：A.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線與橢圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【詳解】直線可化為，所以直線恒過點，又，即在橢圓的內(nèi)部，直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故選：A.例題3．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)高二期中）已知為雙曲線：的左焦點，為的右支上一點，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由已知，設(shè)直線PF為，聯(lián)立，消去得根據(jù)已知可得方程有一正根一負根，，解得故選：D．例題4．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高二期中）直線與拋物線只有一個公共點，則的值為（

）A．1 B．9 C．1或0 D．1或3【答案】C【詳解】由，得，所以，因為直線與拋物線只有一個公共點，所以或，解得，或，故選：C.同類題型歸類練1．（2022·北京八中高二期末）若直線與雙曲線相交，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】聯(lián)立直線和雙曲線的方程得當(dāng)，即時，直線和雙曲線的漸近線重合，所以直線與雙曲線沒有公共點.當(dāng)，即時，，解之得.故選：C.2．（2022·吉林吉林·高二期中）已知直線與雙曲線有兩個不同的交點，則的取值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，直線與雙曲線有兩個不同的交點，又直線過原點則則的取值可以是.故選：B．3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線與拋物線的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A【詳解】直線過定點，∵，∴在拋物線內(nèi)部，∴直線與拋物線相交，故選：A．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線與橢圓的位置關(guān)系是()A．相離

B．相切

C．相交

D．無法確定【答案】C【詳解】聯(lián)立，則所以直線與橢圓相交故選：C題型二：中點弦問題角度1：由中點弦確定直線方程典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點的直線交拋物線于兩點，當(dāng)點恰好為的中點時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，所以，兩式相減得，，因為點為的中點，所以，所以，故直線的斜率為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，所以，，故斜率為符合題意，因此直線的方程為，故選：D.例題2．（2022·浙江·長興縣教育研究中心高二期中）已知直線與橢圓在第二象限交于兩點，與軸，軸分別交于兩點，且，則直線的方程為______．【答案】．【詳解】設(shè)，則，取中點，由已知也是中點，，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，則，，作差整理可得：，即：，，舍去負根；又，舍去負根；故直線的方程為，經(jīng)檢驗，符合題意．故答案為：.例題3．（2022·江蘇·高二）已知雙曲線方程，則以為中點的弦所在直線的方程是___________.【答案】【詳解】解：設(shè)直線的方程為即，兩交點分別為、，則，聯(lián)立方程組，消元得，，解得．直線的方程為：，即．故答案為：．例題4．（2022·山東省臨沂第一中學(xué)高二期中）已知橢圓，一組平行直線的斜率是1．(1)這組直線與橢圓有公共點時縱截距的取值范圍；(2)當(dāng)它們與橢圓相交時，求這些直線被橢圓截得的線段的中點所在的直線方程．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)平行直線的方程為，將代入，整理得：，因為直線與橢圓有公共點，所以，解得：；（2）令交點坐標(biāo)分別為，由（1）知：，而，所以線段中點坐標(biāo)為，又知當(dāng)時，中點為坐標(biāo)原點，故直線的斜率為，∴所在的直線方程：.例題5．（2022·山西·高二期中）已知是雙曲線上的兩點．(1)若是坐標(biāo)原點，直線經(jīng)過的右焦點，且，求直線的方程；(2)若線段的中點為，求直線的方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知：雙曲線焦點在軸上，，所以右焦點為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線為，此時設(shè)，,,不滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線為，，聯(lián)立方程，消去得：，所以，因為，所以解得，所以直線的方程為；（2）設(shè)，因為在雙曲線上，所以，化簡得：，所以，所以因為是中點，所以所以，即，所以直線的方程為，即同類題型歸類練1．（2022·黑龍江·齊齊哈爾三立高級中學(xué)有限公司高二期中）過點的直線與橢圓相交于兩點，且恰為中點，則直線的方程為___________.【答案】【詳解】橢圓，由，令得：，所以在橢圓內(nèi)，同時，當(dāng)直線的斜率不存在，即直線時，，不是線段的中點，所以直線的斜率存在.設(shè)，則，兩式相減并化簡得，即，所以直線的方程為，即.故答案為：2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知拋物線的方程是，直線交拋物線于兩點，若弦的中點為，則直線的方程為______．【答案】【詳解】設(shè)，，弦中點為，，，由得：，，即直線的斜率，，即.故答案為：.3．（2022·全國·高二單元測試）若直線l經(jīng)過拋物線的焦點，與該拋物線交于A，B兩點，且線段AB的中點的縱坐標(biāo)為3，則線段AB的長為______.【答案】8【詳解】拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，則其斜率存在，設(shè)的方程為，，則由得，，，又，所以，即，，所以．故答案為：8．4．（2022·全國·高二單元測試）已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過點的直線交于兩點，且為線段的中點，求的方程.【答案】(1)(2)（1）解：雙曲線的漸近線為，即，所以，又焦點到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為（2）解：設(shè)，，直線的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，經(jīng)檢驗直線與雙曲線有兩個交點，滿足條件，所以直線的方程為.角度2：由中點弦確定曲線方程典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，過點的直線交于、兩點，若的中點坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)、，若軸，則、關(guān)于軸對稱，不合乎題意，將、的坐標(biāo)代入橢圓方程得，兩式相減得，可得，因為線段的中點坐標(biāo)為，所以，，，因為拋物線的焦點為，所以，又直線過點，因此，所以，，整理得，又，解得，，因此，橢圓的方程為，故選：D.例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）過雙曲線的左焦點的直線與雙曲線交兩點，且線段的中點坐標(biāo)為，則雙曲線方程是_______________.【答案】【詳解】設(shè)，，則，，兩式相減可得：，所以，因為點是線段的中點，所以，，所以，因為，所以，即，因為，所以，，所以雙曲線方程是，故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：對于中點弦問題可采用點差法求出直線的斜率，設(shè)，為弦端點坐標(biāo)，為的中點，直線的斜率為，若橢圓方程為，則，若橢圓方程為，則，若雙曲線方程為，則，若雙曲線方程為，則.例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，中點橫坐標(biāo)為，則此雙曲線的方程是______.【答案】【詳解】設(shè)點、，由題意可得，，，直線的斜率為，則，兩式相減得，所以，由于雙曲線的一個焦點為，則，，，因此，該雙曲線的標(biāo)準方程為.故答案為：.同類題型歸類練1．（2022·安徽·蕪湖一中高二期中）已知橢圓的右焦點為，過作直線交橢圓于A、B陃點，若弦中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點坐標(biāo)為，所以直線斜率，代入橢圓方程得，兩式相減得即，也即，所以，又，所以，所求的橢圓方程為.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，離心率等于，點在雙曲線C上，橢圓E的焦點與雙曲線C的焦點相同，斜率為的直線與橢圓E交于A、B兩點．若線段AB的中點坐標(biāo)為，則橢圓E的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)雙曲線方程為，則，解得，故雙曲線方程為，焦點為；設(shè)橢圓方程為，則橢圓焦點為焦點為，故，設(shè)，則，兩式相減得，整理得，即，解得，故，橢圓方程為.故選：D.3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于，兩點，且的中點為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】直線的方程為：，即，設(shè)雙曲線的方程為：，由消去y并整理得：，，因弦的中點為，于是得，即，而，解得，滿足，所以雙曲線的方程為，即.故選：C題型三：弦長問題典型例題例題1．（2022·福建漳州·高二期中）已知在平面直角坐標(biāo)系中,點,動點滿足,記點的軌跡為.(1)求軌跡的方程;(2)若直線交軌跡于兩點,求弦長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解:由題知由橢圓的定義可知點的軌跡為焦點在軸上的橢圓,不妨設(shè)橢圓方程為,由,可知,則,由,可得,則,故軌跡的方程為;（2）由(1)知橢圓方程為聯(lián)立,消去得,則或,不妨設(shè),,則.例題2．（2022·貴州·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點且傾斜角為的直線與交于兩點，求的長度.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知：，軌跡是以點為左?右焦點的橢圓.設(shè)軌跡的方程為，則，解得，軌跡的方程為.（2）由題知直線為，即.聯(lián)立方程消去整理得.設(shè)交點，則.的長度為例題3．（2022·江蘇南通·高二期中）已知雙曲線：的左?右焦點分別為，，右頂點為，點，，.(1)求雙曲線的方程；(2)直線經(jīng)過點，且與雙曲線相交于，兩點，若的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或或或【詳解】（1）由題意，得，解得，，，所以雙曲線的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)：，聯(lián)立，消，得，由，解得.設(shè)，，則.所以，所以的面積，由，化簡，得，解得，，，，所以直的方程為或或或.例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）的右焦點為，離心率，虛軸長為.(1)求的方程；(2)過右焦點，傾斜角為的直線交雙曲線于?兩點，求.【答案】(1)；(2).(1)由題意可得：，解得：，所以雙曲線的方程為.(2)由（1）知：，所以，可得直線的方程為：，設(shè)，，由可得：，所以，，所以，所以弦長.例題5．（2022·廣東·江門市廣雅中學(xué)高二期中）已知拋物線的焦點到其準線的距離為4．(1)求的值；(2)過焦點且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點，求．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由拋物線可得焦點，準線方程為，又因為拋物線的焦點到其準線的距離為，所以；（2）由（1）可得拋物線的方程為，所以焦點，則直線的方程為設(shè)，聯(lián)立，整理可得，所以，由拋物線的性質(zhì)可得．同類題型歸類練1．（2022·江蘇·盱眙縣第二高級中學(xué)高二期中）已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)經(jīng)過橢圓C的右焦點且斜率為1的直線l與橢圓C交于兩點，求的長.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為;（2）過且斜率為1的直線為，將代入，可得，整理得，設(shè)，則，∴.2．（2022·廣西·南寧三中高二期中）已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為且過點，(1)求橢圓的標(biāo)準方程；(2)傾斜角為的直線l過橢圓的右焦點F交橢圓于A?B兩點，求線段AB的長.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因為橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，所以設(shè)橢圓的標(biāo)準方程為：，依題意可得解方程得：，所以橢圓的標(biāo)準方程為：；（2）由（1）可知：，所以直線的方程為：，即，代入橢圓方程中，得，所以，方程的判別式，設(shè)，，所以，，因此.3．（2022·浙江·元濟高級中學(xué)高二期中）已知雙曲線：經(jīng)過點，焦點到漸近線的距離為．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線相交于，兩點，是弦的中點，求的長度．【答案】(1);(2).【詳解】（1）解：若焦點，其到漸近線的距離，又因為雙曲線：經(jīng)過點，所以，解得，

所以雙曲線的方程為；（2）解：設(shè)點，，因為是弦的中點，則．由于，則，所以，從而直線的方程為，即．

聯(lián)立，得，所以，

從而．4．（2022·甘肅白銀·高二期末（文））已知拋物線C：上一點到焦點F的距離為2．(1)求實數(shù)p的值；(2)若直線l過C的焦點，與拋物線交于A，B兩點，且，求直線l的方程．【答案】(1)2(2)或．(1)拋物線焦點為，準線方程為，因為點到焦點F距離為2，所以，解得．(2)拋物線C的焦點坐標(biāo)為，當(dāng)斜率不存在時，可得不滿足題意，當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線l的方程為．聯(lián)立方程，得，顯然，設(shè)，，則，所以，解得所以直線l的方程為或5．（2022·福建省南平市高級中學(xué)高二期中）已知拋物線的焦點為F，為拋物線C上的點，且.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線與拋物線C相交于A，B兩點，求A，B中點坐標(biāo)及弦長.【答案】(1)(2)，【詳解】（1）解：在拋物線上，且，，則，故拋物線的方程為；（2）解：聯(lián)立，可得．設(shè)，，，，，，則，所以A，B中點坐標(biāo)，．題型四：直線與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題典型例題例題1．（2022·黑龍江·哈爾濱市阿城區(qū)第一中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，而焦點是雙曲線的右頂點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于、兩點，則直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)是定值，【詳解】（1）雙曲線化為標(biāo)準形式：，，右頂點A,設(shè)拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為,由于拋物線的焦點是雙曲線的右頂點，所以,所以拋物線的方程；（2）聯(lián)立，整理得,設(shè),則,,例題2．（2022·江西·南城縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓與橢圓具有共同的焦點，，點在橢圓上，，______．在下面三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并作答．①橢圓過點；②橢圓的短軸長為10；③橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)（1）設(shè)橢圓C的方程為（），，則橢圓與橢圓具有共同的焦點，則．選①，由已知可得，則，所以橢圓的方程為．選②，由已知可得，則，所以橢圓的方程為．選②，由已知可得，則，所以，橢圓的方程為．（2）由橢圓的定義知，①又因為，所以，②由①②可得，解得，因此．例題3．（2022·貴州·黔西南州金成實驗學(xué)校高二期末（理））已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的右頂點和上頂點，的面積為1．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)的橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點．求證：為定值．【答案】(1)(2)見解析（1）依題意，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)點，而，且，，當(dāng)時，直線AP：，點，，直線BP：，點，，，當(dāng)時，，，，所以所以是定值.例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在①，②，③軸時，這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．問題：已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且______．(1)求拋物線的標(biāo)準方程；(2)若直線與拋物交于，兩點，求的面積．【答案】(1)(2)（1）解：選擇條件①，由拋物線的定義可得，因為，所以，解得，故拋物線C的標(biāo)準方程為．選擇條件②，因為，所以，，因為點在拋物線C上，所以，即，解得，所以拋物線C的標(biāo)準方程為．選擇條件③．當(dāng)軸時，，所以．故拋物線C的標(biāo)準方程為．（2）解：設(shè)，，由（1）知．由，得，則，，所以，故．因為點F到直線l的距離，所以的面積為．例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓：，動圓與圓外切，且與定直線相切，設(shè)動點的軌跡為．(1)求的方程；(2)若直線過點，且與交于，兩點，與軸交于點，滿足，（，），試探究與的關(guān)系．【答案】(1)；(2).（1）解：設(shè)，圓的半徑為，由題可知，點在直線右側(cè)，因為圓與定直線相切，所以．又圓與圓外切，所以，所以，化簡得，即的方程為．（2）解：由（1）得，設(shè)直線的方程為，，，則，因為，所以，，因為點在上，所以，即，所以．同理，由，可得，所以，，即，，因為點在上，所以，即，所以．由，得，因為，，所以，即．同類題型歸類練1．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點為，從①虛軸長為；②離心率為2；③雙曲線的兩條漸近線夾角為中選取兩個作為條件，求解下面的問題.(1)求的方程；(2)過點的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于兩點，為坐標(biāo)原點，記面積分別為，若，求直線的方程.（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.）【答案】(1)(2)或（1）若選①②，可知解得∴C的方程為.若選①③，因為，∴∴∴C的方程為.若選②③，設(shè)遞增的漸近線的傾斜角為，可知則此時無法確定a，b，c（2），由題意知，直線l斜率不為0，∴設(shè)直線.由得，設(shè)，，則可知且恒成立，，，∴或.，∴.由，得，∴，∴，滿足或.∴直線l的方程為或.2．（2022·湖南·長郡中學(xué)高一開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別相交于兩點（點在點的左側(cè)），與軸相交于點，設(shè)拋物線的對稱軸與軸相交于點，且.(1)求的值；(2)將拋物線向上平移3個單位，得到拋物線，設(shè)點是拋物線上在第一象限內(nèi)不同的兩點，射線分別交直