2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第39講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）

第39講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（達(dá)標(biāo)檢測(cè)）[A組]—應(yīng)知應(yīng)會(huì)1．（2020春?密云區(qū)期末）在空間中，下列結(jié)論正確的是A．三角形確定一個(gè)平面 B．四邊形確定一個(gè)平面 C．一個(gè)點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面 D．兩條直線確定一個(gè)平面【分析】直接利用平面的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)：三角形的三角不共線，所以不共線的三點(diǎn)確定的平面有且只有一個(gè)，故正確．對(duì)于選項(xiàng)：四邊形假設(shè)為空間四邊形，確定的平面可能有四個(gè)，故錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)：只有當(dāng)點(diǎn)不在直線上時(shí)，才能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)：兩條直線平行或相交時(shí)，確定的平面有且只有一個(gè)，故錯(cuò)誤．故選：．2．（2020春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）一正四面體木塊如圖所示，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)將木塊鋸開，使截面平行于棱和，則下列關(guān)于截面的說法正確的是A．滿足條件的截面不存在 B．截面是一個(gè)梯形 C．截面是一個(gè)菱形 D．截面是一個(gè)三角形【分析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)、、、，推導(dǎo)出截面是菱形．【解答】解：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)、、、，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，，，，，，，，過點(diǎn)將木塊鋸開，使截面平行于棱和，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，截面是菱形．故選：．3．（2019秋?吉安期末）下列命題是公理的是A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行 B．垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 C．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 D．空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)【分析】由所學(xué)知識(shí)可知，為定理，為公理，再判斷錯(cuò)誤得答案．【解答】解：，為定理，不是公理；對(duì)于，垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、也可能相交、也可能異面，故錯(cuò)誤；是教材中給出的公理．故選：．4．（2019秋?中山市期末）如圖，點(diǎn)、、、分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則直線與是異面直線的圖是A． B． C． D．【分析】利用正方體的性質(zhì)、異面直線的定義即可判斷出結(jié)論．【解答】解：中，，中，，中，與為異面直線，．與相交．故選：．5．（2020?青羊區(qū)校級(jí)模擬）在正四棱柱中，，，點(diǎn)，分別為棱，上兩點(diǎn)，且，，則A．，且直線，異面 B．，且直線，相交 C．，且直線，異面 D．，且直線，相交【分析】作圖，通過計(jì)算可知，取點(diǎn)為的中點(diǎn)，則共面，顯然點(diǎn)不在面內(nèi)，由此直線，異面．【解答】解：，如圖，取點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，故共面，點(diǎn)在面面外，故直線，異面．故選：．6．（2020春?本溪縣期末）在長(zhǎng)方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為A． B． C． D．【分析】連結(jié)，，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)得，從而是異面直線和所成角（或補(bǔ)角），由此能求出異面直線和所成角的余弦值．【解答】解：如圖，連結(jié)，，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)得，是異面直線和所成角（或補(bǔ)角），由已知得，，，．異面直線和所成角的余弦值為．故選：．7．（2020春?宣城期末）在正三棱柱中，為側(cè)面的中心，為側(cè)面的中心，為的中點(diǎn)，則直線與直線所成的角為A． B． C． D．【分析】由題意畫出圖形，可得，再由，得到，則答案可求．【解答】解：如圖，為側(cè)面的中心，為側(cè)面的中心，，為的中點(diǎn)，連接，則．，即直線與直線所成的角為．故選：．8．（2020春?赤峰期末）在三棱錐中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，若，且與所成的角為，則四邊形的面積為A． B． C． D．【分析】由題意畫出圖形，可得四邊形為菱形，再由已知異面直線所成角求得，代入三角形面積公式計(jì)算．【解答】解：如圖，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，又與所成的角為，（或．，，則四邊形為菱形．．故選：．9．（2020春?河源期末）如圖，在三棱柱中，平面，四邊形為正方形，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則為異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線與所成角的余弦值．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則為異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），在三棱柱中，平面，四邊形為正方形，，，為的中點(diǎn)，由題意知，，，異面直線與所成角的余弦值為：．故選：．10．（2020春?寧德期末）在正四面體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則與所成的角為A． B． C． D．【分析】推導(dǎo)出，，從而是與所成的角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出與所成的角．【解答】解：在正四面體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，，，是與所成的角（或所成角的補(bǔ)角），是等邊三角形，，與所成的角為．故選：．11．（多選）（2020春?葫蘆島期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正三角形中，，，分別為各邊的中點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，將沿，，折成正四面體，則在此正四面體中，下列說法正確的是A．與所成的角的正弦值為 B．與成角 C．與所成的角為 D．與所成角余弦值為【分析】對(duì)于，推導(dǎo)出，，連結(jié)，取中點(diǎn)，則，異面直線與所成角為，求出與所成的角的正弦值為；對(duì)于，推導(dǎo)出平面，從而；對(duì)于，連結(jié)，，則，從而異面直線與所成的角為，由余弦定理求出與所成的角為；對(duì)于，異面直線與所成角為，由余弦定理能求出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于，的邊長(zhǎng)為4，折成正四面體后，如圖，，，分別為各邊的中點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，，，連結(jié)，取中點(diǎn)，則，異面直線與所成角為，，，連結(jié)，得，，，與所成的角的正弦值為：，故錯(cuò)誤；對(duì)于，正四面體中，取中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，平面，，與成角，故正確；對(duì)于，連結(jié)，，則，異面直線與所成的角為，，，，，與所成的角為，故正確；對(duì)于，異面直線與所成角為，，故正確．故選：．12．（多選）（2020?海南模擬）如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn)，異面直與所成角的余弦值為，則A． B．直線與直線共面 C． D．直線與直線異面【分析】可連接，，從而看出為異面直線與所成的角，可設(shè)，從而可得出，這樣在中，根據(jù)余弦定理即可求出異面直與所成角的余弦值的值；然后連接，，從而可得出，這樣即可得出直線與直線共面．【解答】解：如圖，連接，，則，為異面直線與所成的角，，為正四棱柱，，分別為，的中點(diǎn)，設(shè)，則，，在中，根據(jù)余弦定理，，；連接，，，則，，，與共面．故選：．13．（2020春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）作一個(gè)平面截正方體得到一個(gè)多邊形（包括三角形）截面，那么截面形狀可能是（填上所有你認(rèn)為正確的選項(xiàng)的序號(hào)）．①正三角形；②正方形；③菱形；④非正方形的矩形；⑤正五邊形；⑥正六邊形．【分析】作出可能的截面圖形，能求出結(jié)果．【解答】解：如圖，作一個(gè)平面截正方體得到一個(gè)多邊形（包括三角形）截面，對(duì)于①，截面形狀可能是正三角形，故①正確；對(duì)于②，截面形狀可能是正方形，其中、、、分別是所在棱的中點(diǎn)，故②正確；對(duì)于③，截面形狀可能是菱形，其中、、、分別是所在棱的中點(diǎn)，故③正確；對(duì)于④，截面形狀可能是，故④正確；對(duì)于⑤，由正方體的對(duì)稱性得截面形狀不可能是正五邊形，故⑤錯(cuò)誤；對(duì)于⑥，截面形狀可能是正六邊形，其中、、、、、分別是所在棱的中點(diǎn)，故⑥正確；故答案為：①②③④⑥．14．（2019春?秦淮區(qū)期末）在正方體的各條棱中，棱所在直線與直線異面的有條【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形寫出棱所在直線與直線是異面直線的條數(shù)．【解答】解：如圖所示，正方體中，棱所在直線、、和與直線是異面直線，共有4條．故答案為：4．15．（2019春?楊浦區(qū)校級(jí)期末）四面體中，，，則異面直線與的夾角為.【分析】取中點(diǎn)，連接，，由已知可得，，再由線面垂直的判定可得平面，從而得到異面直線與的夾角為．【解答】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，，，，，又，平面，則．即異面直線與的夾角為．故答案為：．16．（2019秋?溫州校級(jí)月考）如圖，是正方體，，，，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的有．①和是平行直線；和是相交直線②和是平行直線；和是相交直線③和是相交直線；和是異面直線④和是異面直線；和也是異面直線【分析】根據(jù)空間中兩條直線的位置關(guān)系，對(duì)題目中的命題進(jìn)行分析、判斷即可．【解答】解：對(duì)于①，和是平行直線，但和是異面直線，不是相交直線，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，和是平行直線；和是相交直線，并且它們的交點(diǎn)在直線上，②正確；對(duì)于③，和是平行直線，不是相交直線；和是異面直線，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，和是異面直線；但和是相交直線，不是異面直線，④錯(cuò)誤；綜上，錯(cuò)誤的命題序號(hào)是①③④．故答案為：①③④．17．（2020春?沈河區(qū)校級(jí)期末）已知：平面，，，，，，，，，，直線與的夾角是，則線段的長(zhǎng)為．【分析】推導(dǎo)出，從而，由此能求出線段的長(zhǎng)．【解答】解：平面，，，，，，，，，，，，直線與的夾角是，或，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為：，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為：．故答案為：或5．18．（2020春?常德期末）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，且是邊長(zhǎng)為1的正三角形，，、分別為、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為．【分析】由題意畫出圖形，由，可得即為異面直線與所成角，再由已知求解三角形得答案．【解答】解：如圖，在直三棱柱中，，即為異面直線與所成角．底面，，，，且、分別為、的中點(diǎn)，，，在中，由，，得．，即異面直線與所成的角為．故答案為：．19．（2020?懷化二模）如圖，在三棱錐中，平面，，．若三棱錐外接球的半徑為，則直線與平面所成角的正切值為．【分析】設(shè)為的外心，為三棱錐的外接球的球心，推導(dǎo)出，取的中點(diǎn)，由，推導(dǎo)出，外接圓的半徑，由此能求出直線與平面所成角的正切值．【解答】解：如圖，設(shè)為的外心，為三棱錐的外接球的球心，由平面，平面，知，取的中點(diǎn)，由，知為的中點(diǎn)，且四邊形為矩形，又，，外接圓的半徑，在中，由，得，，直線與平面所成角的正切值為．故答案為：．20．（2019秋?包河區(qū)校級(jí)月考）在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，分別邊，上的點(diǎn)，且．求證：①點(diǎn)，，，四點(diǎn)共面；②直線，，相交于一點(diǎn)．【分析】①利用三角形的中位線平行于第三邊和平行線分線段成比例定理，得到、都平行于，由平行線的傳遞性得到，根據(jù)兩平行線確定一平面得出證明；②利用分別在兩個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上，即可證明．【解答】證明：①如圖所示，空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，；又．，，、、、四點(diǎn)共面；②設(shè)與交于點(diǎn)，平面在平面內(nèi)，同理在平面內(nèi)，且平面平面，點(diǎn)在直線上，直線，，相交于一點(diǎn)．21．（2020春?金安區(qū)校級(jí)期末）已知正四棱錐的全面積為2，記正四棱錐的高為．（1）試用表示底面邊長(zhǎng)，并求正四棱錐體積的最大值；（2）當(dāng)取最大值時(shí)，求異面直線和所成角的正切值．【分析】（1）設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面三角形的高為，由題意可得關(guān)于的關(guān)系式，寫出四棱錐體積，整理后利用基本不等式求最值；（2）取的中點(diǎn)，正方形的中心為，連接，，，由，得即為異面直線與所成角，結(jié)合（1）中求得的值，即可求得異面直線和所成角的正切值．【解答】解：（1）設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面三角形的概為，則，，又，．正四棱錐體積．（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）．，即正四棱錐體積的最大值為（當(dāng)，時(shí)取最大值）；（2）取的中點(diǎn)，正方形的中心為，連接，，．，即為異面直線與所成角．為的中點(diǎn)，，．即，由（1）知，．又，．即異面直線和所成角的正切值為3．22．（2020?未央?yún)^(qū)校級(jí)模擬）已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，半徑為2．（Ⅰ）設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為4，求圓錐的體積；（Ⅱ）設(shè)，，是底面半徑，且，為線段的中點(diǎn)，如圖，求異面直線與所成的角的正切值．【分析】（1）由已知取得圓錐的高，再由圓錐體積公式求解；（2）證明平面，取中點(diǎn)，連接，則，且．可得為異面直線與所成的角，再證明，然后求解三角形可得異面直線與所成的角的正切值．【解答】解：（1）由圓錐母線長(zhǎng)為4，即，底面半徑，可得圓錐的高．該圓錐的體積；（2）底面，，又，即，，平面，取中點(diǎn)，連接，則，且．為異面直線與所成的角．由平面，，可得平面，得．在中，求得，在中，可得．23．（2020春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）如圖，在正方體中，、、、分別是棱、、、的中點(diǎn)．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求異面直線與所成的角的大?。痉治觥浚?）法一：取的中點(diǎn)，推導(dǎo)出，在平面中，延長(zhǎng)與必交于右側(cè)一點(diǎn)，且，同理，在平面中，延長(zhǎng)與必交于右側(cè)一點(diǎn)，且，由與重合，得到直線與相交．法二：推導(dǎo)出是平行四邊形，從而，再由，得，，由此能推導(dǎo)出直線與相交．（2）推導(dǎo)出是平行四邊形，，，從而，與所成的角即為與所成的角，再由△為等邊三角形，能求出由直線與所成的角的大小．【解答】解：（1）解法一：取的中點(diǎn)，、、分別是正方形中、、的中點(diǎn)，，在平面中，延長(zhǎng)與必交于右側(cè)一點(diǎn)，且同理，在平面中，延長(zhǎng)與必交于右側(cè)一點(diǎn)，且，與重合進(jìn)而，直線與相交．解法二：在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，，是平行四邊形，，又、分別是、的中點(diǎn)，，，，、是梯形的兩腰，直線與相交．（2）解：在正方體中，，是平行四邊形，，又、分別是、的中點(diǎn)，，，與所成的角即為與所成的角，與所成的角即為及其補(bǔ)角中的較小角，又在正方體中，△為等邊三角形，由直線與所成的角為．[B組]—強(qiáng)基必備1．（2020?山東模擬）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載，斜解立方為“塹堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱為側(cè)棱垂直于底面的三棱柱）．如圖，棱柱為一個(gè)“塹堵”，底面的三邊中的最長(zhǎng)邊與最短邊分別為，，且，，點(diǎn)在棱上，且，則當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，異面直線與所成