專題10 圓錐曲線1（選填）-2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)考點分層與專項檢測（新高考專用）解析版

2/2專題10圓錐曲線1（選填）（新高考）目錄目錄【備考指南】 2 【真題在線】 3【基礎(chǔ)考點】 21【基礎(chǔ)考點一】圓錐曲線的定義 21【基礎(chǔ)考點二】圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 28【基礎(chǔ)考點三】橢圓與雙曲線的離心率（求值） 32【基礎(chǔ)考點四】橢圓與雙曲線的焦點及焦距 35【基礎(chǔ)考點五】橢圓與雙曲線范圍及對稱性 38【基礎(chǔ)考點六】橢圓與雙曲線的頂點與軸 43【綜合考點】 47【綜合考點一】拋物線的幾何性質(zhì) 47【綜合考點二】雙曲線漸近線 52【培優(yōu)考點】 56【培優(yōu)考點一】橢圓與雙曲線的焦點三角形 56【培優(yōu)考點二】圓錐曲線的離心率（求范圍） 63【總結(jié)提升】 70【專項檢測】 71備考指南備考指南考點考情分析考頻橢圓2023年新高考Ⅱ卷T52023年全國甲卷T72022年新高考Ⅰ卷T162022年新高考Ⅱ卷T162022年全國甲卷T102021年新高考Ⅰ卷T52021年全國甲卷T152021年全國乙卷T113年8考雙曲線2023年新高考Ⅰ卷T162023年新高考Ⅱ卷T212023年全國乙卷T112022年全國甲卷T142022年全國乙卷T112021年新高考Ⅱ卷T132021年全國甲卷T52021年全國乙卷T133年8考拋物線2023年新高考Ⅱ卷T102023年全國甲卷T202022年新高考Ⅰ卷T112022年新高考Ⅱ卷T102022年全國乙卷T52021年新高考Ⅰ卷T142021年新高考Ⅱ卷T33年7考直線與圓錐曲線位置關(guān)系2023年新高考Ⅰ卷T222023年新高考Ⅱ卷T212022年新高考Ⅰ卷T212022年新高考Ⅱ卷T212022年全國甲卷T202022年全國乙卷T202021年新高考Ⅰ卷T212021年新高考Ⅱ卷T202021年全國甲卷T202021年全國乙卷T213年10考預(yù)測：圓錐曲線的方程與幾何性質(zhì)是高考的重點，多以選擇題、填空題或解答題的一問的形式命題，難度較小.近幾年全國卷是必考考點.建議在二輪復(fù)習(xí)時鞏固好基礎(chǔ)知識，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識訓(xùn)練的同時也行加強(qiáng)對思維能力的訓(xùn)練.平時訓(xùn)練的題型建議中檔偏上.真題在線真題在線一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出的面積，即可解出；方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【詳解】方法一：因為，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因為，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點三角形面積公式求出的面積，即可得到點的坐標(biāo)，從而得出的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因為①，，即②，聯(lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級結(jié)論焦點三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A6．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或（舍去），故選：C.7．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因為離心率，解得，，分別為C的左右頂點，則，B為上頂點，所以.所以，因為所以，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點為B，連接PB，由橢圓的對稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點到準(zhǔn)線的距離為2，所以點的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，所以.故選：B10．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因為，，所以，因為，當(dāng)，即時，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．二、多選題11．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設(shè)的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

12．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.13．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）雙曲線C的兩個焦點為，以C的實軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為B，所以，因為，所以在雙曲線的左支，，，，設(shè)，由即，則，選A情況二若M、N在雙曲線的兩支，因為，所以在雙曲線的右支，所以，，，設(shè)，由，即，則，所以，即，所以雙曲線的離心率選C[方法二]：答案回代法特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點都在左支,，，則，特值雙曲線，過且與圓相切的一條直線為，兩交點在左右兩支，在右支，，，則，[方法三]：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.14．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知O為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD三、填空題15．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為.【答案】【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計算點到的準(zhǔn)線的距離即可.【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，點到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.16．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為．【答案】/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設(shè)出各點坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運算求得，，將點代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.17．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為．【答案】【分析】令的中點為，設(shè)，，利用點差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】[方法一]：弦中點問題：點差法令的中點為，設(shè)，，利用點差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；解：令的中點為，因為，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法解：由題意知，點既為線段的中點又是線段MN的中點，設(shè)，，設(shè)直線，，，則，，，因為，所以聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得其中，∴AB中點E的橫坐標(biāo),又，∴∵，，∴,又，解得m=2所以直線，即18．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點”的e的一個值．【答案】2（滿足皆可）【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結(jié)合漸近線的特點，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點”所以，又因為，所以，故答案為：2（滿足皆可）19．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則．【答案】【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或（舍去）．故答案為：．20．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，利用弦長公式求得，得，根據(jù)對稱性將的周長轉(zhuǎn)化為的周長，利用橢圓的定義得到周長為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.故答案為：13.基礎(chǔ)基礎(chǔ)考點【考點一】圓錐曲線的定義【典例精講】（多選）（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖，曲線C：的焦點為F，直線l與曲線C相切于點P（異于點O），且與x軸y軸分別相交于點E，T，過點P且與l垂直的直線交y軸于點G，過點P作準(zhǔn)線及y軸的垂線，垂足分別是M，N，則下列說法正確的是（

）

A．當(dāng)P的坐標(biāo)為時，切線l的方程為B．無論點P（異于點O）在什么位置，F(xiàn)M都平分∠PFTC．無論點P（異于點O）在什么位置，都滿足D．無論點P（異于點O）在什么位置，都有成立【答案】BCD【分析】將曲線C變形為，求導(dǎo)可得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出當(dāng)P的坐標(biāo)為時的切線方程即可判斷A；根據(jù)題意和平面幾何知識可知四邊形PFTM為菱形，由此可判斷B；將和分別表示出來即可判斷C；計算，結(jié)合基本不等式和等號成立的條件可判斷D．【詳解】因為曲線C：，即，所以，設(shè)點，則，，所以切線l的方程為，當(dāng)時，切線方程為，故A錯誤；由題意，，，連接，

所以，因為，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為菱形，可得FM平分角∠PFT，故B正確；因為，，所以，，所以，故C正確；直線GP方程：，可得，所以，又，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故．，因為與不垂直，所以，所以，即成立，故D正確；故選：BCD．【點睛】方法點睛：此拋物線方程可以改寫為二次函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程；點在拋物線上，用好拋物線的定義，利用設(shè)點的方法求距離證明圖中的平行四邊形，可得相關(guān)的結(jié)論.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的上、下焦點分別為，短半軸長為，離心率為，直線交該橢圓于兩點，且的周長是的周長的3倍，則的周長為（

）A．6 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的短半軸長得，根據(jù)離心率得，根據(jù)已知及橢圓的定義得解.【詳解】由題意可得，由離心率為，得，得，易知的周長，的周長，由橢圓的定義得，，則，即，所以，故選：B．2．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）已知雙曲線的上、下焦點分別為，若存在點，使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線方程可得實軸長和漸近線方程，結(jié)合雙曲線定義和點所在直線可確定雙曲線與有交點，由此可得漸近線與直線斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而解不等式求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知：實軸長，漸近線方程為；由雙曲線定義知：在雙曲線上半支任取一點，則；在直線上，若存在點，使得，則雙曲線與有交點，，解得：（舍）或，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.二、多選題3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，為橢圓：的兩個焦點，為上一點且在第一象限，為的內(nèi)心，且內(nèi)切圓半徑為1，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】如下圖所示，設(shè)切點為，，，由橢圓的定義結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)可判斷A；由等面積法求出代入橢圓的方程可判斷B；求出可判斷C；由兩點的斜率公式可判斷D.【詳解】如下圖所示，設(shè)切點為，，，對于A，由橢圓的方程知：，由橢圓的定義可得：，易知，所以，所以，故A正確；對于BCD，，又因為，解得：，又因為為上一點且在第一象限，所以，解得：，故B正確；從而，所以，所以，而，所以，故C錯誤；從而，故D正確.故選:ABD．

三、填空題4．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C的方程為：，離心率為，過C的右支上一點，作兩條漸近線的平行線，分別交x軸于M，N兩點，且．過點P作的角平分線，在角平分線上的投影為點H，則的最大值為．【答案】/【分析】根據(jù)離心率及可求出雙曲線方程，再由雙曲線的定義及中線的向量表示運算即可得解.【詳解】，，即，兩漸近線方程為，設(shè)為右支上一點，則，設(shè)，，分別令，可得，，又，，即，，所以雙曲線方程為，故，延長交于，如圖，

因為平分且，所以，又，，為中點，，，，，即的最大值為.故答案為：5．（2023·安徽合肥·合肥市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線的焦點為，直線，點，點分別是拋物線、直線上的動點，若點在某個位置時，僅存在唯一的點使得，則滿足條件的所有的值為．【答案】或【分析】設(shè)，，根據(jù)，利用拋物線定義結(jié)合兩點間距離公式，可得，根據(jù)方程有唯一解列方程求解即可．【詳解】設(shè)，，拋物線的焦點為，由拋物線定義，，，，，，，又，即，代入上式可得，，，①當(dāng)時，可得，解得，由，得，此時方程只有一個解，滿足題意，，②當(dāng)時，由，解得，代入，可得，求得，可得，綜上所述，的值為或．故答案為：或．【考點二】圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例精講】（多選）（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，定點和動點，都在拋物線上，且（其中為坐標(biāo)原點）的面積為3，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為B．設(shè)點是線段的中點，則點的軌跡方程為C．若（點在第一象限），則直線的傾斜角為D．若弦的中點的橫坐標(biāo)2，則弦長的最大值為7【答案】BCD【分析】根據(jù)三角形的面積求得，從而求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用相關(guān)點代入法、焦半徑、弦長等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A．，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A錯誤；B．拋物線的焦點為，，，則，，代入，得，整理得，所以點的軌跡方程為，B正確；C．由于，所以三點共線，設(shè)直線的傾斜角為，，，解得，同理可得，依題意，即，，所以為銳角，所以，C正確；D．設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，設(shè)，則，，則，，所以當(dāng)時，，，滿足.所以D正確．

故選：BCD【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，離心率為，過橢圓的上焦點的直線交橢圓于兩點，若線段的中點坐標(biāo)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】易知橢圓焦點在軸上，設(shè)出直線方程并與橢圓聯(lián)立，再由韋達(dá)定理以及中點坐標(biāo)即可求得，可得橢圓方程為.【詳解】由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因為直線經(jīng)過橢圓的上焦點，且直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，消去并整理得，設(shè)，則，又，所以可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：B．2．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點為，過點的直線交雙曲線E于A、B兩點.若的中點坐標(biāo)為，則E的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由，利用點差法求解.【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減得，即，化簡得，又，解得，所以雙曲線的方程為：.故選：D.二、多選題3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，過點的直線與橢圓交于兩點．下列橢圓的方程中，能使得為正三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)題意可知，要使為正三角形，則，可得通徑，再結(jié)合橢圓的定義既可求得，對各選項逐一檢驗即可得出答案.【詳解】設(shè)橢圓．由題意知，易得，又，故，顯然B、D選項正確．故選：BD.

三、填空題4．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，存在過點的直線與雙曲線的右支交于兩點，且為正三角形．試寫出一個滿足上述條件的雙曲線的方程：．【答案】（答案不唯一，符合題意即可）【分析】取，且x軸，根據(jù)通徑和雙曲線的定義分析判斷.【詳解】如圖，取，且x軸，可得，，即，為正三角形，符合題意，此時雙曲線的方程為.故答案為：.

5．（2023·上海長寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，若雙曲線的右焦點恰好是拋物線的焦點，則.【答案】【分析】確定雙曲線右焦點，得到，解得答案.【詳解】雙曲線的右焦點為，則，.故答案為：.【考點三】橢圓與雙曲線的離心率（求值）【典例精講】（多選）（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考二模）已知曲線，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線C可能是圓，也可能是直線B．曲線C可能是焦點在軸上的橢圓C．當(dāng)曲線C表示橢圓時，則越大，橢圓越圓D．當(dāng)曲線C表示雙曲線時，它的離心率有最小值，且最小值為【答案】ABD【分析】設(shè)，由的符號和取值結(jié)合對應(yīng)方程的特點，結(jié)合條件逐項判斷可得答案.【詳解】設(shè)，故曲線C的方程可表示為，對A，當(dāng)時，曲線C的方程為，可得，此時曲線C為兩條直線；當(dāng)時，曲線C的方程為，此時曲線C是一個圓；故A正確；對B，當(dāng)時，，曲線C的方程為，此時曲線C為焦點在y軸上的橢圓，故B正確；對C，當(dāng)曲線C表示橢圓時，離心率為，則越大，橢圓越扁，故C錯誤；對D，當(dāng)時，，曲線C的方程為，此時曲線C為焦點在x軸上的雙曲線，此時離心率為，由，可得，即它的離心率有最小值，且最小值為，故D正確.故選：ABD.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知點是橢圓上一點，過點作橢圓的切線，則的方程為．若與（為坐標(biāo)原點）的斜率之積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，求得斜率建立方程，結(jié)合離心率的計算公式，可得答案.【詳解】由的方程為，得的斜率為．又因為直線的斜率為，所以，即，所以橢圓的離心率為．故選：B．2．（2023·河南·校聯(lián)考二模）已知雙曲線：的左?右焦點分別是，，是雙曲線上的一點，且，，，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)且，，，利用余弦定理求得c，再利用雙曲線的定義求得a即可.【詳解】解：設(shè)雙曲線的半焦距為.由題意，點在雙曲線的右支上，，，由余弦定理得，解得，即，，根據(jù)雙曲線定義得，解得，故雙曲線的離心率.故選：D二、多選題3．（2021上·浙江金華·高二浙江金華第一中學(xué)?？计谥校┮阎c?是雙曲線的左?右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（

）A．與雙曲線的實軸長相等 B．的面積為C．雙曲線的離心率為 D．直線是雙曲線的一條漸近線【答案】BCD【分析】結(jié)合雙曲線的定義和條件可得，然后，然后逐一判斷即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，因為，所以，故A錯誤；因為以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，所以，所以的面積為，故B正確；由勾股定理得，即，所以，故C正確因為，所以，即所以雙曲線的漸近線方程為：，即，即，故D正確故選：BCD三、填空題4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知是橢圓：的右焦點，過作直線的垂線，垂足為，，則該橢圓的離心率為.【答案】【分析】通過焦點到直線的距離建立a,b,c關(guān)系，解方程即可求解.【詳解】由題知，，且，即，∴，∴，∴，∴.故答案為：

5．（2023·湖北武漢·武漢市第四十九中學(xué)?？寄M預(yù)測）點P是雙曲線：（，）和圓：的一個交點，且，其中，是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為．【答案】/【分析】利用圓與雙曲線的定義與性質(zhì)計算即可.【詳解】

由題中條件知，圓的直徑是雙曲線的焦距，則，∴，，，．故答案為：【考點四】橢圓與雙曲線的焦點及焦距【典例精講】（多選）（2023上·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（

）A．實軸長為6 B．與雙曲線有相同的漸近線C．焦點到漸近線距離為4 D．與橢圓有同樣的焦點【答案】ABD【分析】先求出雙曲線的基本量，然后逐一分析每個選項是否正確.【詳解】由題意，雙曲線滿足，即，于是，故A選項正確；雙曲線的焦點在軸上，故漸近線方程為：，而雙曲線焦點也在軸，故漸近線為，即它們漸近線方程相同，B選項正確；焦點為，不妨取其中一個焦點和一條漸近線，根據(jù)點到直線的距離公式，焦點到漸近線距離為：，C選項錯誤；橢圓的焦點為，根據(jù)C選項可知，橢圓和雙曲線焦點一樣，D選項正確.故選：ABD【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·安徽·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考期中）若雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】B【分析】先求出橢圓的焦點，再由兩曲線的焦點重合，列方程可求出的值.【詳解】因為橢圓的焦點為，所以雙曲線的焦點為，故，解得.故選：B.2．（2023·河南安陽·統(tǒng)考三模）以雙曲線的右焦點為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點，則的焦距為（

）A．4 B． C．6 D．8【答案】C【分析】由漸近線方程得出，，以及，聯(lián)立即可求得答案.【詳解】由題意，，不妨設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則.又，且，聯(lián)立解得，，即.故選：C二、多選題3．（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的方程為，則（

）A．漸近線方程為 B．焦距為C．離心率為 D．焦點到漸近線的距離為8【答案】BC【分析】A選項，先判斷出雙曲線焦點在軸上，利用公式求出漸近線方程；B選項，求出，得到焦距；C選項，根據(jù)離心率公式求出答案；D選項，利用點到直線距離公式進(jìn)行求解.【詳解】焦點在軸上，故漸近線方程為，A錯誤；，故，故焦距為，B正確；離心率為，C正確；焦點坐標(biāo)為，故焦點到漸近線的距離為，D錯誤.故選：BC三、填空題4．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，則的最小值為.【答案】9【分析】求出橢圓的焦點坐標(biāo)，進(jìn)而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】的焦點坐標(biāo)為，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最小值為9.故答案為：95．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦距為.【答案】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)計算即可.【詳解】由題意可知的漸近線方程，故雙曲線的焦距為.故答案為：【考點五】橢圓與雙曲線范圍及對稱性【典例精講】（多選）（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與該橢圓相交于，兩點，點在該橢圓上，且，則下列說法正確的是（

）A．存在點，使得 B．滿足為等腰三角形的點有2個C．若，則 D．的取值范圍為【答案】ACD【分析】首先求出橢圓方程，當(dāng)點為該橢圓的上頂點時，求出，即可判斷A；再根據(jù)的范圍判斷B，利用余弦定理及三角形面積公式判斷C，根據(jù)橢圓的定義及的范圍判斷D；【詳解】解：根據(jù)題意：可得，的最小值為1，所以，又，所以，，，所以橢圓方程為，當(dāng)點為該橢圓的上頂點時，，所以，此時，所在存在點，使得，所以選項A正確；當(dāng)點在橢圓的上、下頂點時，滿足為等腰三角形，又因為，，∴滿足的點有兩個，同理滿足的點有兩個，所以選項B不正確；若，，，由余弦定理，即，又，所以，所以，所以選項C正確；對于選項D，，分析可得，，所以選項D正確，故選：ACD．【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)化簡可得該方程表示雙曲線的右支，再結(jié)合雙曲線的性質(zhì)判斷.【詳解】由，左右兩邊同時平方得，即，該方程可表示雙曲線的右支，如圖所示，

故的最小值為，故選：A.2．（2023·海南海口·校考模擬預(yù)測）已知、是橢圓的左右焦點，點為上一動點，且，若為的內(nèi)心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑的表達(dá)式，代入三角形的面積公式，可得所求的三角形的面積．【詳解】由橢圓的方程可得，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，可得，而，所以，所以，所以，因為，所以，即．故選：C．二、多選題3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線的右頂點為A，右焦點為F，雙曲線上一點P滿足PA=2，則PF的長度可能為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】AB【分析】設(shè)，根據(jù)點P在雙曲線上且PA=2，則可求得的值，從而可求得的值，進(jìn)而可求得PF的長度．【詳解】設(shè)，則，，，則，得或，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時．故選：AB．三、填空題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若點依次為雙曲線的左、右焦點，且，，.若雙曲線C上存在點P，使得，則實數(shù)b的取值范圍為.【答案】【分析】已知雙曲線C上存在點P，使得，設(shè)，則，將點P代入雙曲線方程，綜合可得，根據(jù)，，，即可求出實數(shù)b的取值范圍.【詳解】錯解：設(shè)雙曲線上的點滿足，即，又，，即，，且，，實數(shù)b的取值范圍是.錯因：忽略了雙曲線中.正解：設(shè)雙曲線上的點滿足，即，又，，即，，且，，又，實數(shù)b的取值范圍是.故答案為：.5．（2020上·山西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過橢圓上一點作圓的兩條切線，切點為，過的直線與軸和軸分別交于，則面積的最小值為.【答案】【分析】設(shè)出點坐標(biāo)，根據(jù)相切關(guān)系分析得到的直線方程，由此表示出的坐標(biāo)并表示出的面積，再根據(jù)在橢圓上結(jié)合基本不等式求解出面積的最小值.【詳解】設(shè)，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，因為，所以化簡可得，所以是方程的兩個解，所以直線的方程為，所以且，所以的面積，且，所以，所以，取等號時，即或，綜上可知：面積的最小值為，故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：和圓的切線有關(guān)的結(jié)論如下：（1）過圓上一點作圓的切線，則切線方程為；（2）過圓外一點作圓的切線，切點為，則直線的方程為.【考點六】橢圓與雙曲線的頂點與軸【典例精講】（多選）（2023·山東濰坊·三模）函數(shù)的圖象是雙曲線，且直線和是它的漸近線．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．， B．對稱軸方程是C．實軸長為 D．離心率為【答案】ABD【分析】由基本不等式可判斷A，由雙曲線的性質(zhì)判斷B，C，D.【詳解】時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，故A正確；依題意，此雙曲線兩條漸近線為和，，由雙曲線的對稱性，雙曲線的漸近線關(guān)于雙曲線的對稱軸對稱，故得雙曲線的兩條對稱軸方程為，故B正確；由雙曲線的性質(zhì)，雙曲線實軸的兩個頂點為對稱軸與雙曲線的兩個交點，則由得雙曲線實軸的兩個頂點分別為，，故此雙曲線的實軸長即為，故C錯誤；依題意，此雙曲線兩條漸近線和的夾角為，則漸近線與對稱軸的夾角為，由雙曲線的性質(zhì)有，所以，解得，故D正確.故選：ABD【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023上·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為分別為的左、右頂點，為的上頂點．若，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率及，建立關(guān)于的等式即可得解.【詳解】顯然離心率，解得，即，分別為C的左右頂點，B為上頂點，則，，于是，而，即，又，因此聯(lián)立解得，所以橢圓的方程為.故選：B2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線：（，）的實軸長為4，離心率為．若點是雙曲線位于第一象限內(nèi)的一點，則（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程，代入點坐標(biāo)，由此求得的值.【詳解】法一：雙曲線的幾何性質(zhì)由題知，解得，所以雙曲線：．又點是雙曲線位于第一象限內(nèi)的一點，所以（），解得.法二：由題知，解得，所以雙曲線：．又點是雙曲線位于第一象限內(nèi)的一點，所以（），解得.故選：B二、多選題3．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測）已知是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的短軸長為 B．的坐標(biāo)為C．橢圓的離心率為 D．存在點P，使得【答案】AC【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得基本量，從而可求離心率，故可判斷ABC的正誤，根據(jù)的大小關(guān)系可判斷D的正誤.【詳解】橢圓的焦點在軸上，，則短軸長為，A正確；的坐標(biāo)為，B錯誤；離心率為，C正確；因為，故以原點為圓心，為半徑的圓與橢圓沒有交點，故不存在點P，使得，D錯誤，故選：AC.三、填空題4．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，分別為橢圓：的兩個焦點，右頂點為，為的中點，且，直線與交于，兩點，且的周長為28，則橢圓的短軸長為.【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的焦點三角形，可得，利用的數(shù)量積為0，即可求解.【詳解】由，為的中點，所以是的垂直平分線，所以,所以的周長為，，所以，由于，所以，故答案為：5．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知F為雙曲線的右焦點，A為C的左頂點，B為C上的點，且垂直于x軸，若C的離心率為5，則的斜率為．【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知，，即可根據(jù)斜率列出等式求解即可．【詳解】設(shè)焦距為，則，因為C的離心率為5，所以，的斜率為，又因為，且，所以．故答案為：綜合考點綜合考點【考點一】拋物線的幾何性質(zhì)【典例精講】（多選）（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）已知為拋物線上的三個點，焦點F是的重心．記直線AB，AC，BC的斜率分別為，則（

）A．線段BC的中點坐標(biāo)為B．直線BC的方程為C．D．【答案】ABD【分析】A.設(shè)，BC中點，則由重心分中線得到判斷；B.結(jié)合選項A得到，再由點M的坐標(biāo)寫出直線方程判斷；C.，得到判斷；D.分別求得，判斷.【詳解】解：設(shè)，因為F為重心，所以，設(shè)BC中點，則，，由重心分中線得，即，又因為A在拋物線上，所以，所以，即，故A正確；，直線，故B正確；因為，所以，所以，故C錯誤；，同理，所以，故D正確．故選：ABD【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·河南鄭州·?？寄M預(yù)測）已知拋物線，圓，P為E上一點，Q為C上一點，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】設(shè)，利用兩點距離公式結(jié)合點在拋物線上有，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)和圓的半徑即可得到答案.【詳解】由題意知,設(shè)，則,所以當(dāng)時,，又因為圓的半徑為1，所以.故選：B.

2．（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）焦點為的拋物線上有一點，為坐標(biāo)原點，則滿足的點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將點的坐標(biāo)代入拋物線中，解得，從而得到點和點的坐標(biāo)，要滿足，則只需點為的垂直平分線和的垂直平分線的交點，進(jìn)而求解即可．【詳解】將點的坐標(biāo)代入拋物線中得，解得，則，所以的斜率為1，且的中點為，則的垂直平分線方程為，即，又的垂直平分線方程為，又，則點為的垂直平分線和的垂直平分線的交點，所以點的坐標(biāo)為．故選：B．二、多選題3．（2023·遼寧大連·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點為，焦點到準(zhǔn)線的距離為，為上的一個動點，則（

）A．的焦點坐標(biāo)為B．若，則周長的最小值為C．若，則的最小值為D．在軸上不存在點，使得為鈍角【答案】BCD【分析】利用焦準(zhǔn)距求出拋物線，可得焦點坐標(biāo)，判斷選項A；根據(jù)拋物線的定義的應(yīng)用，結(jié)合周長公式，判斷選項B；設(shè)，利用兩點間距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的最小值，判斷選項C；設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運算，判斷出選項D．【詳解】選項A，拋物線，焦點到準(zhǔn)線的距離為，則，焦點，錯誤；選項B，，，，設(shè)到準(zhǔn)線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，則的周長為，正確；選項C，設(shè)，，則，當(dāng)時，的最小值為，正確；選項D，設(shè)，，，，，，不可能為鈍角，正確；故選：BCD三、填空題4．（2023上·湖南益陽·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為，圓與交于兩點，其中點在第一象限，點在直線上運動，記.①當(dāng)時，有；②當(dāng)時，有；③可能是等腰直角三角形；其中命題中正確的有.【答案】①②【分析】聯(lián)立方程求得，結(jié)合可得，當(dāng)時，點三點共線，求得，即可求得，判斷①；當(dāng)時，由，求得的值，判斷②；分情況討論為等腰直角三角形情況，判斷③.【詳解】由圓與，聯(lián)立方程，解得或（舍），當(dāng)時，，所以，從而，即，因為點在直線上運動，所以，則，①當(dāng)時，點三點共線，由于，所以，所以，由題意知，所以，故①正確；②當(dāng)時，即，所以，即，解得，又，得，所以②正確；③若是等腰直角三角形，則或或為直角，因為，當(dāng)時，則，得，此時，不是等腰直角三角形，由對稱性可知當(dāng)時，也不是等腰直角三角形，；當(dāng)時，因為首先是等腰三角形，由拋物線的對稱性可知點在軸上，此時，，,,即，故不是等腰直角三角形，綜上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③錯誤，故答案為：①②.【點睛】方法點睛：題目中涉及到向量的運算即，因此要利用向量的坐標(biāo)運算，表示出，則①②即可判斷；判斷是否為等腰直角三角形，要討論直角頂點可能的位置，即分類討論，結(jié)合拋物線的對稱性進(jìn)行解答.5．（2022上·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實數(shù).【答案】/【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)其準(zhǔn)線方程即可求得實數(shù).【詳解】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，其準(zhǔn)線方程是，而所以，即，故答案為：【考點二】雙曲線漸近線【典例精講】（多選）（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）雙曲線的左、右焦點分別是，過的直線與雙曲線右支交于兩點，記和的內(nèi)切圓半徑分別為和，則（

）A．和的內(nèi)切圓圓心的連線與軸垂直B．為定值C．若，則的離心率D．若，則的漸近線方程為【答案】ABD【分析】設(shè)，的內(nèi)切圓圓心分別為，設(shè)圓切分別于點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，由切線長定理及雙曲線的定義即可求得，再根據(jù)直角三角形邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)求得，再逐項判斷即可得答案.【詳解】對于A，設(shè)，的內(nèi)切圓圓心分別為，設(shè)圓切分別于點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，由切線長定理，可得，所以，則，所以點的橫坐標(biāo)為，即點的橫坐標(biāo)也為，同理點的橫坐標(biāo)也為，故軸，A正確；對于B，在中，，，所以，所以，即，B正確；對于C，由解得，即，則雙曲線的離心率，C錯誤；對于D，，由可得，所以或（舍），則，則，所以的漸近線方程為，D正確．故選：ABD.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知第一象限內(nèi)的點在雙曲線的漸近線上，為坐標(biāo)原點，為的右焦點，則取得最小值時，的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程可設(shè)，利用兩點間距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得解.【詳解】由題意，，雙曲線的漸近線為，由點在第一象限，可設(shè)，則，，所以，所以當(dāng)時，取最小值，此時，此時的面積，故選：C.2．（2023上·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）雙曲線：的離心率為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的離心率的定義求出與的關(guān)系，從而得出與的關(guān)系，再根據(jù)漸近線方程定義即得.【詳解】由可得：又因故有而雙曲線：的漸近線方程為即：故選：D.二、多選題3．（2023·廣東廣州·華南師大附中?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，雙曲線：的下、上焦點分別是，，漸近線方程為，為雙曲線上任意一點，平分，且，，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的方程為C．若直線與雙曲線的另一個交點為，為的中點，則D．點到兩條漸近線的距離之積為【答案】AD【分析】延長，交于點，平分，且，則為的中點，可得，漸近線方程為，得，可得雙曲線方程，逐個驗證選項即可.【詳解】不妨設(shè)為雙曲線的下支上一點，延長，交于點，如圖，

因為，因為平分，所以，所以，所以為等腰三角形，則為中點，又為中點，所以，根據(jù)雙曲線的定義得，，所以，，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，得，，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為，所以A正確，B不正確；設(shè)，，，因為，在雙曲線上，所以①，②，①②并整理得，，因為，，所以，，所以C不正確.由，代入，即，即，所以點到兩條漸近線的距離之積為，所以D正確；故選：AD.三、填空題4．（2023上·湖南永州·高二?？计谥校┻^點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為.【答案】【分析】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點的坐標(biāo)即可求得.【詳解】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點，得，解得，所以所求雙曲線方程為.5．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)校考模擬預(yù)測）雙曲線的離心率為2，則右焦點到其漸近線的距離為．【答案】【分析】由雙曲線離心率結(jié)合方程求出，得到右焦點的坐標(biāo)和雙曲線漸近線方程，利用公式求點到直線的距離.【詳解】雙曲線的離心率為2，由得，則，右焦點，漸近線方程為，到漸近線的距離為.故答案為：培優(yōu)考點培優(yōu)考點【考點一】橢圓與雙曲線的焦點三角形【典例精講】（多選）（2023·山東日照·三模）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓的面積為，的內(nèi)切圓的面積為，則（

）A．圓和圓外切 B．圓心在直線上C． D．的取值范圍是【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義和切線長定理結(jié)合幾何關(guān)系和對勾函數(shù)性質(zhì)即可求解，【詳解】雙曲線的，漸近線方程為，兩漸近線傾斜角分別為和，設(shè)圓與軸切點為過的直線與雙曲線的右支交于兩點，可知直線的傾斜角取值范圍為，的的橫坐標(biāo)為，則由雙曲線定義，所以由圓的切線長定理知，所以.的橫坐標(biāo)均為，即與軸垂直.故圓和圓均與軸相切于，圓和圓兩圓外切.選項A正確；由雙曲線定義知，中，，則只能是的中線，不能成為的角平分線，則圓心一定不在直線上.選項B錯誤；在中，，，則由直角三角形的射影定理可知，即則，故.選項C正確；

由直線的傾斜角取值范圍為，可知的取值范圍為，則的取值范圍為，故，又，則令，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.值域為故的值域為.選項D錯誤.故選：AC.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓的一個交點為，若，則的面積為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出，再求出等腰三角形的面積作答.【詳解】橢圓中，，由及橢圓定義得，

因此為等腰三角形，底邊上的高，所以的面積為.故選：D2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C的右支上一點，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用雙曲線的定義及勾股定理等得到，設(shè)，結(jié)合雙曲線的定義得到，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：因為，，∴，又，∴．設(shè)，則，，∴，∴，則，∴．∴，則，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．二、多選題3．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知橢圓的焦點在軸上，且分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的離心率為C．存在，使得D．面積的最大值為【答案】ACD【分析】A選項，根據(jù)焦點在在軸上，列出不等式，求出答案；B選項，求出，進(jìn)而求出離心率；C選項，寫出以為直徑的圓的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到當(dāng)時，方程有解，故C正確；D選項，由幾何性質(zhì)得到當(dāng)點位于上頂點或下頂點時，面積取得最大值，表達(dá)出最大面積，配方后求出最值.【詳解】A選項，橢圓的焦點在軸上，故，解得，A正確；B選項，設(shè)，則，故的離心率為，B錯誤；C選項，以為直徑的圓的方程為，與橢圓聯(lián)立得，，整理得，因為，所以，當(dāng)時，，故，滿足要求，故存在，使得，C正確；D選項，因為，故當(dāng)點位于上頂點或下頂點時，面積取得最大值，故最大面積為，因為，所以當(dāng)時，面積取得最大值，最大值為，D正確.故選：ACD三、填空題4．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考二模）橢圓的離心率為，分別為的左?右焦點，若，是上軸上方的兩點且，則.【答案】3【分析】根據(jù)離心率得到橢圓方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)和勾股定理得到，再利用余弦定理得到，得到答案.【詳解】，解得，故橢圓，，連接，如圖所示：則，，解得，則，，故，即，解得，故.故答案為：5．（2023上·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為，為其左右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為.【答案】【分析】設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，再由勾股定理結(jié)合正切值用表示出，從而建立關(guān)系式求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率．【詳解】由題可知共線，共線，如圖，設(shè)，則，因為，所以，又，所以，所以，所以，又因為，，所以，所以，得，則，又，且，所以，化簡得，所以.故答案為：.【考點二】圓錐曲線的離心率（求范圍）【典例精講】（多選）（2022·湖南·統(tǒng)考二模）已知雙曲線E：的左?右焦點分別為，，過點作直線與雙曲線E的右支相交于P，Q兩點，在點P處作雙曲線E的切線，與E的兩條漸近線分別交于A，B兩點，則（

）A．若，則B．若，則雙曲線的離心率C．周長的最小值為8D．△AOB（O為坐標(biāo)原點）的面積為定值【答案】ACD【分析】對于A，由雙曲線的定義知，，結(jié)合，即可判定A.對于B，在中，由正弦定理得出，結(jié)合雙曲線的定義求出，因為，即可判定B.對于C，由分析知，當(dāng)直線PQ垂直x軸時，周長的最小值，代入即可判定C.對于D，設(shè)，過點P的雙曲線E的切線方程為，與兩條漸近線聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，又因為，故點P是AB的中點，所以，代入計算，即可判定D.【詳解】由題意知，，則，所以有，從而，，故A正確.在中，由正弦定理得，則在，解得.又，所以，整理得，所以，解得，故B錯誤.當(dāng)直線PQ垂直x軸時，的最小值為，，故C正確.設(shè)，過點P的雙曲線E的切線方程為，E的漸近線方程為，不妨設(shè)切線與漸近線的交點為A，聯(lián)立方程組，解得，即，同理可得.又因為點P在雙曲線E上，則有，，故點P是AB的中點.設(shè)切線與x軸的交點為G，易知，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【變式訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·湖北咸寧·?？寄M預(yù)測）已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左右焦點分別為，且兩條曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形三邊關(guān)系可構(gòu)造不等式求得的范圍，根據(jù)雙曲線和橢圓定義可利用表示出，從而得到，結(jié)合的范圍可得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，橢圓長半軸為，雙曲線實半軸為，，，是以為底邊的等腰三角形，點在第一象限內(nèi)，，即，，且，，，，解得：．在雙曲線中，，；在橢圓中，，；；，，則，，可得：，的取值范圍為.故選：B.2．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線，點的坐標(biāo)為，若上的任意一點都滿足，則的離心率取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)、雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，，由，代入不等式中，化簡，得恒成立，則有，解得，而，所以故選：A【點睛】方法點睛：一般求雙曲線的離心率的方法是：根據(jù)已知的等式或不等式，構(gòu)造關(guān)于中任意兩個量的雙齊次方程或不等式，再結(jié)合雙曲線的離心率大于1進(jìn)行求解即可.二、多選題3．（2022上·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過橢圓上一點和原點作直線交圓：于，兩點，下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓離心率的取值范圍是B．若，且，則C．的最小值為D．若，則【答案】AD【分析】A中，由橢圓的離心率的表達(dá)式及的范圍，可得離心率的范圍，判斷A的真假；B中，由題意，可得在以為直徑的圓上，再由，可得為的中點，由圓的半徑可得，從而求出的值，判斷B的真假；C中，由橢圓的定義，可得，由三點共線，可得它的最小值，判斷C的真假；D中，由余弦定理及橢圓的定義，可得的表達(dá)式，然后得到，的表達(dá)式，進(jìn)而求出的值，判斷D的真假．【詳解】對于A：由橢圓的方程，可得橢圓的離心率，因為，所以，所以，所以，再由橢圓的離心率，可得，所以A正確；對于B：若，且，則在以為直徑的圓上，如圖所示：所以，由題意可得，即，所以，解得，所以B不正確；對于C：由橢圓的定義，可得，當(dāng)為右頂點時取等號，此時最小，且為，所以C不正確；對于D：因為，所以，在中，由余弦定理，可得，①在中，由余弦定理，可得，②而，，①②，可得，即，所以，所以，所以D正確．故選：AD．三、填空題4．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為圓與的一個公共點，若，則當(dāng)時，橢圓的離心率的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓、圓的性質(zhì)分析可得，結(jié)合對勾函數(shù)求其范圍，進(jìn)而可得離心率的范圍.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，則圓，表示以，半徑為的圓，若圓與橢圓有公共點，則，可得，解得，因為，且，可得，整理得，又因為，即，且，則，解得，可得，整理得，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，可得，則，可得；綜上所述：橢圓的離心率的取值范圍為.故答案為：.

【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．5．（2024·四川成都·成都七中?？家荒＃╇p曲線：其左、右焦點分別為、，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點，設(shè)雙曲線右頂點為，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為．【答案】【分析】設(shè)，則，然后在中利用余弦定理列方程可表示出，再由可求出離心率的范圍【詳解】設(shè)，則，因為直線的傾斜角為，所以，在中，由余弦定理得，，得，因為，所以得，，所以，所以，解得，即雙曲線的離心率的取值范圍為故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：此題考查求雙曲線的離心率的范圍，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意在中利用余弦定理表示出，然后代入已知條件中可求得結(jié)果，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.總結(jié)提升總結(jié)提升1.圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|).(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(0＜2a＜|F1F2|).(3)拋物線：|PF|＝|PM|，l為拋物線的準(zhǔn)線，點F不在定直線l上，PM⊥l于點M.2.求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程“先定型，后計算”所謂“定型”，就是確定曲線焦點所在的坐標(biāo)軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2，p的值.3.求離心率通常有兩種方法(1)橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)，雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1).(2)根據(jù)條件建立關(guān)于a，b，c的齊次式，消去b后，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍.4.與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共漸近線的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0).5.確定橢圓和雙曲線的離心率的值或范圍，其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后用a，c代換b，進(jìn)而求eq\f(c,a)的值或范圍.6.求雙曲線漸近線方程的關(guān)鍵在于求eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，也可將雙曲線方程中等號右邊的“1”變?yōu)椤?”，然后因式分解得到.7.拋物線的焦點弦的幾個常見結(jié)論：設(shè)AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α是弦AB的傾斜角，則(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α).(3)eq\f(1,|FA|)＋eq\f(1,|FB|)＝eq\f(2,p).(4)以線段AB為直徑的圓與準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)相切.8.利用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，要注意利用定義構(gòu)造與焦半徑相關(guān)的幾何圖形(如三角形、直角梯形等)來溝通已知量與p的關(guān)系，靈活運用拋物線的焦點弦的特殊結(jié)論，使問題簡單化且減少數(shù)學(xué)運算.專項專項檢測一、單選題1．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）橢圓上有兩點、，、分別為橢圓的左、右焦點，是以為中心的正三角形，則橢圓離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件表示出的長，結(jié)合橢圓的定義，再由離心率的計算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)邊與軸交于點，且是以為中心的正三角形，則，且為的重心，由重心定理可得，，則，在中，，則，所以，由橢圓的定義可得，，即，化簡可得，則.故選：C2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用由雙曲線上的點到焦點的最近距離為2得，再由離心率、可得答案.【詳解】由離心率，得，由雙曲線上的點到焦點的最近距離為2，得，根據(jù)這兩個方程解得，則，得，所以雙曲線的方程為.故選：B.3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為拋物線上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由取得最小值，則最大，最小求解.【詳解】解：如圖所示：因為，設(shè)，則，，當(dāng)時，取得最小值，此時，最大，最小，且，故選：C4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓上存在點，使得曲線關(guān)于點對稱.若橢圓的一個長軸端點到一個短軸端點的距離大于其焦距，則橢圓的長軸長的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得，由函數(shù)圖象的平移可得，即可將代入橢圓得，即可根據(jù)不等式求解.【詳解】因為橢圓的一個長軸端點到一個短軸端點的距離大于其焦距，所以,整理得.因為，所以其圖象由奇函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到，所以關(guān)于點對稱，故.將代入橢圓的方程，得.兩邊同時乘并整理，得，所以橢圓的長軸長.又，所以，所以，所以.所以橢圓的長軸長的取值范圍是.故選：C.5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知直線過雙曲線的右焦點，且與雙曲線右支交于，兩點．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，由得到，的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得到，，之間的關(guān)系式，進(jìn)而求出離心率.【詳解】設(shè)，，則，．由，得．直線l的方程為，即，代入雙曲線的方程中，得，即，∴，，∴，，∴，整理得．又，∴．故選:B．6．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為拋物線的焦點，點為上第四象限的點．若直線的方程為，則（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先根據(jù)焦點位置求出拋物線方程，再將直線和拋物線方程聯(lián)立求出點坐標(biāo)，再根據(jù)焦半徑公式可得答案.【詳解】由題意可知，，則，所以，．將代入，得，解得，，則，．因為點為上第四象限的點，所以．根據(jù)拋物線的定義可知，．故選：C．7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）設(shè)為坐標(biāo)原點，為橢圓的焦點，點在上，，則（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用余弦定理可得，再由向量表示可知，即可得；聯(lián)立即可求得.【詳解】如下圖所示：

不妨設(shè)，根據(jù)橢圓定義可得，；由余弦定理可知；又因為，所以，又，即可得，解得；又，即；所以可得；故選：C8．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知直線與雙曲線交于兩點，點是雙曲線上與不同的一點，直線的斜率分別為，則當(dāng)取得最小值時，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立方程求出的坐標(biāo)，通過運算得到，代入，利用二次函數(shù)的知識求得取最小值時，的值，即可求解.【詳解】將代入雙曲線方程中，整理得，得，設(shè)，則，，所以，所以．當(dāng)時，取得最小值，此時,所以，解得，所以.故選：C．二、多選題9．（2023·全國·模擬預(yù)測）橢圓的左、右焦點分別為，，點是上一點，滿足，，且的面積為，則的值可能為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】AB【分析】結(jié)合題意，先根據(jù)橢圓的定義，可得，然后利用余弦定理求出橢圓的離心率或，再利用三角形的面積公式可求出橢圓的，即可求出的值.【詳解】由橢圓的定義，得，又因為，所以，由，得，由余弦定理，得，當(dāng)時，整理，得，即，解得或（因為橢圓離心率的取值范圍是，