線性微分方程的一般理論

關(guān)于線性微分方程的一般理論2

在微分方程的理論中，線性微分方程是非常值得重視的一部分內(nèi)容，這不僅因為線性微分方程的一般理論已被研究得十分清楚，而且還因為線性微分方程是研究非線性微分方程的基礎(chǔ)，同時它在物理、力學(xué)和工程技術(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用。所以，本章著重討論線性微分方程的基本理論和常系數(shù)線性微分方程的解法，對于高階微分方程的降階問題和二階變系數(shù)線性微分方程的冪級數(shù)解法也作適當(dāng)?shù)亟榻B。第2頁,共37頁，2024年2月25日，星期天3主要內(nèi)容線性微分方程的一般理論常系數(shù)線性微分方程的解法高階微分方程的降階和冪級數(shù)解法重點線性微分方程的基本理論常系數(shù)線性微分方程的解法第3頁,共37頁，2024年2月25日，星期天4§4.1線性微分方程的一般理論

第4頁,共37頁，2024年2月25日，星期天5一、解的存在唯一性定理1n階線性微分方程定義1第5頁,共37頁，2024年2月25日，星期天6第6頁,共37頁，2024年2月25日，星期天72解的存在唯一性定理定理1第7頁,共37頁，2024年2月25日，星期天8二、齊線性方程的解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)定理21疊加原理容易看出，齊次線性方程恒有零解。第8頁,共37頁，2024年2月25日，星期天9證明:故有第9頁,共37頁，2024年2月25日，星期天10例1的解.解:第10頁,共37頁，2024年2月25日，星期天112、函數(shù)的線性相關(guān)性考慮定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果存在不全為零的常數(shù)，使得恒等式對于所有都成立，則稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的，否則就稱這些函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是線性無關(guān)的。問題：在什么樣的條件下，表達(dá)式（4.4）能夠構(gòu)成為n階齊次線性方程（4.2）的通解？第11頁,共37頁，2024年2月25日，星期天12例2考慮函數(shù)組的線性相關(guān)性解：第12頁,共37頁，2024年2月25日，星期天13例3函數(shù)組線性無關(guān)。此恒等式如果成立，也就是[a,b]中的每一個t都是這個方程的根，因此有無窮多個根。另一方面，如果有一個系數(shù)不為0，則是一個不超過n次的代數(shù)方程，最多有n個根。分析：我們假設(shè)存在第13頁,共37頁，2024年2月25日，星期天14定義23伏朗斯基(Wronsky)行列式第14頁,共37頁，2024年2月25日，星期天154函數(shù)的線性相關(guān)性與其Wronsky行列式的關(guān)系(1)定理3證明:使得第15頁,共37頁，2024年2月25日，星期天16由線性代數(shù)理論知要使方程組存在非零解,則它的系數(shù)行列式必為零,第16頁,共37頁，2024年2月25日，星期天17注定理3的逆不成立.如函數(shù)事實上,若有恒等式則第17頁,共37頁，2024年2月25日，星期天18推論(2)定理4證明:“反證”第18頁,共37頁，2024年2月25日，星期天19現(xiàn)以這組常數(shù)構(gòu)造函數(shù),由定理2知,又因為第19頁,共37頁，2024年2月25日，星期天20由解的唯一性定理知第20頁,共37頁，2024年2月25日，星期天21

注釋：根據(jù)定理3和定理4知道，由n

階齊次線性方程（4.2）的n個解構(gòu)成的伏朗斯基行列式，或恒等于零，或在方程的系數(shù)為連續(xù)的區(qū)間內(nèi)處處不等于零。并根據(jù)定理1，構(gòu)造一組初始條件：滿足這組初始條件的解一定存在，且又因為,由定理3知道，這n個解一定是線性無關(guān)的。于是有5、通解結(jié)構(gòu)定理第21頁,共37頁，2024年2月25日，星期天22定理5

n階齊次線性方程（4.2）一定存在n個線性無關(guān)的解。定理6（通解結(jié)構(gòu)定理）如果是方程（4.2）的n個線性無關(guān)的解，則方程（4.2）的通解可表為（4.11）其中是任意常數(shù)。且通解（4.11）包括了方程（4.2）的所有解。第22頁,共37頁，2024年2月25日，星期天23推論：方程（4.2）的線性無關(guān)解的最大個數(shù)等于n。n階齊次線性微分方程的所有解構(gòu)成一個n維線性空間。定義把方程（4.2）的一組n個線性無關(guān)解稱為方程的一個基本解組。顯然,基本解組不唯一。特別地，當(dāng)時稱其為標(biāo)準(zhǔn)基本解組。例1已知方程，證明cost及sint為它的基本解組,并寫出它的通解。分析：按定義證明即可。第23頁,共37頁，2024年2月25日，星期天24補充結(jié)論：齊次方程（4.2）的解與它的系數(shù)之間有如下關(guān)系：上述關(guān)系稱為劉維爾（Liouville）公式。第24頁,共37頁，2024年2月25日，星期天n級行列式函數(shù)的求導(dǎo)：引理：設(shè)函數(shù)fij(x)(i,j=1,2,?,n)在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo),則行列式函數(shù)在區(qū)間I

內(nèi)也可導(dǎo)，且有第25頁,共37頁，2024年2月25日，星期天26由劉維爾公式可以看出齊次方程（4.2）的伏朗斯基行列式的重要性質(zhì)：1.W(t)在區(qū)間[a,b]上某一點為零，則在整個區(qū)間上恒為零。2.W(t)在區(qū)間[a,b]上某一點不等于零，則在整個區(qū)間上恒不為零。重要定理：第26頁,共37頁，2024年2月25日，星期天27性質(zhì)2

方程（4.1）的任意兩個解之差必為方程(4.2)的解。其中為任意常數(shù)，而且這個通解（4.14）包括了方程（4.1）的所有解。4.1.3非齊次線性方程與常數(shù)變易法性質(zhì)1

如果是方程（4.1）的解，而是方程（4.2）的解，則也是方程（4.1）的解。定理7

設(shè)

為方程（4.2）的基本解組，而是方程（4.1）的某一個解，則方程（4.1）的通解可表為1、基本性質(zhì)和定理第27頁,共37頁，2024年2月25日，星期天28回想一階線性非齊次微分方程的解法-----常數(shù)變易法第28頁,共37頁，2024年2月25日，星期天293常數(shù)變易法則為方程(4.2)的通解.此時(4.15)變?yōu)閷⑺?4.1),第29頁,共37頁，2024年2月25日，星期天30

在理論上,這些另加條件可以任意給出,但為了運算方便,我們按下面方法來給出這n-1個條件,令得第30頁,共37頁，2024年2月25日，星期天31和表達(dá)式繼續(xù)上面做法,直到獲得第n-1個條件和表達(dá)式第31頁,共37頁，2024年2月25日，星期天32第32頁,共37頁，2024年2月25日，星期天33因而方程組的解可唯一確定,設(shè)由上面方程求得積分得第33頁,共37頁，2024年2月25日，星期天34第34頁,共37頁，2024年2月25日，星期天35例3解