2023屆高考高三模擬數(shù)學(xué)試卷二（解析版）

2023屆新高考高三核心模擬卷（中）（二）

數(shù)學(xué)

一、選擇題

I,若(l+2αi)i=l一萬(wàn)，其中αS∈R,則∣l+α+歷I=()

A.叵B.√5C心D.√H)

22

K答案DC

K解析D?.?(l+24i)i=-2α+i=l-0i,.?.α=-∕,%=-l,.?Jl+α+歷I=?-i~~^?

故選：C.

2.設(shè)集合A={Wx<2或XN4},B={Λ∣α<x≤α+l},若(44)B=0,則〃的取值

范圍是()

A.或α>4B.aV1或Q≥4

CavlD.a>4

K答案XB

K解析H由集合A={Rx<2或x≥4},得/A={M2≤X<4},

又集合3={x∣α<x≤α+l}且(\A)B=01則α+l<2或α24,

即a<1或ɑ".

故選：B.

3.已知函數(shù)y=log∕3x-2)+2(α>0且α≠l)的圖象過(guò)定點(diǎn)A,若拋物線V=2px也

過(guò)點(diǎn)A,則拋物線的準(zhǔn)線方程為()

A.X--2B.X=-I

99

C.X-D.X-

24

K答案》B

K解析D因?yàn)閷?duì)于Vα>0,0wl,當(dāng)3x-2=l,即X=I時(shí)，恒有y=2,

2

因此函數(shù)y=log.(3x-2)+2的圖象過(guò)定點(diǎn)A(l,2),而點(diǎn)A在拋物線y=Ipxh,

則22=2p,解得p=2,

所以?huà)佄锞€√=4x的準(zhǔn)線方程為X=-I.

故選：B.

4.若兩個(gè)向量.、萬(wàn)的夾角是g,a是單位向量，W=2,c=2a-b>則向量C與b的

夾角為（）

ππ2π5π

A.-B.-C.—D.—

6336

K答案DD

K解析D由題意=W?Wcosg?=lχ2χcos1=一1,

又由c=2a-B'所以卜I=J（4-"）=飛4,-4a?b+b-=,4+4+4=,

所以c?b=（2a-b）?b=2a?b-b~--2-4--6,

rηACb—6√3

設(shè)向量C與人的夾角為。，其中。e[0,可，則CoSe=g-^=26χ2=F,可得

6=2.

6

故選：D.

5.一種高產(chǎn)新品種水稻單株穗粒數(shù)y和土壤鋅含量X有關(guān)，現(xiàn)整理并收集了6組試驗(yàn)數(shù)

據(jù)，y（單位：粒）與土壤鋅含量X（單位：mg∕m3）得到樣本數(shù)據(jù)

（七,M（Z?=1,2,3,4,5,6）,令z,=Iny,,并將（x,?,Zj）繪制成如圖所示的散點(diǎn)圖.若用方程

y=ae"對(duì)V與X的關(guān)系進(jìn)行擬合，則（）

Z∣

4-

3-.,

2-.**

1-,

20212223242526x

A.a>l,h>0B.a>l,b<0

C,0<6r<l,?>0D.0<a<l,b<0

K答案HC

K解析U因?yàn)閥=ne"*,Iny=hx+lnα,令Z=Iny,則Z與X的回歸方程為Z=Zzx+ln4,

根據(jù)散點(diǎn)圖可知Z與X正相關(guān)，因此匕>0,又回歸直線的縱截距小于0,即Ina<0,得

0<α<l,

所以O(shè)<α<l,b>0.

故詵：C

2Y

6.x-^=-?展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()

<X)

A.-479B.-239C.1D.481

K答案》c

2Y_(7=一】J相乘,

K解析》根據(jù)二項(xiàng)式定理,x--j=-l表示6個(gè)-

所以，展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的情況有以下三種情況:

(2八

①6個(gè)［x-ξy=?-l中全部選T項(xiàng)展開(kāi);

②6個(gè)卜一白一12

中有1個(gè)選擇X項(xiàng)，2個(gè)選擇一-尸項(xiàng)，3個(gè)選擇-I項(xiàng)展開(kāi);

√x

2

③6個(gè)中有2個(gè)選擇X項(xiàng)，4個(gè)選擇一一方項(xiàng)展開(kāi).

7X

所以，其常數(shù)項(xiàng)為:(一1)6+C>C；(-2)2(—1)3+c〉C；(一2)4=1-240+240=1.

故選：C.

7.己知/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)χ>0時(shí)，/(%)=ln(l+x2)+X,則不等式

/(2x+l)>l+ln2的解集為()

A.{x∣x<l}B.{%|%<0}C.{x∣X〉1}D.{x∣%>0}

K答案UD

K解析H由題意,可知/(τ)=-"x)且/(())=(),

當(dāng)x<0時(shí)，τ>0,則/(-x)=In(I+d)-x,即一/(χ)=In(I+χ2)-x,

In(1+%2)+xx>O

可得/(x)=<Ox=O,

-In(I+ΛJ)+Xx<0

當(dāng)”>O時(shí)，/(x)=ln(l÷x2)÷x,

則r(x)=2_+i=g±殳>0,即/(%)單調(diào)遞增,

l+x2l+x2

由In(I+0)+0=0,則/(x)在R上單調(diào)遞增,

易知/⑴=ln2+l,則不等式等價(jià)于/(2x+l)>"l),

可得2x+l>l,解得χ>0.

故選：D.

8.在三棱錐A—BCD中，,ABC和ABCZ)都是邊長(zhǎng)為20的正三角形，當(dāng)三棱錐

A-BCD的表面積最大時(shí)，其內(nèi)切球的半徑是()

A.4-2√3B.2√2-√6C.—D.也

23

K答案WA

R解析H設(shè)三棱錐A-38的表面積為S,

則S=SΛABC+SABCD+SAABD+SAACD

=2X?×2V2X2>∕2Xsin60+2×-×BA×BD×sin^ABD

22

=4√^+8sin∕A5Γ>,

當(dāng)NABO=90°,即AB_LBr)時(shí)，表面積最大為8+4√L

此時(shí)Ao=4,AE=DE=娓,：.SAED=26

過(guò)A作BC的垂線，垂足為E，連接EO,

因?yàn)橐籄BC和ZXBCD都是正三角形，所以E為BC中點(diǎn)，DElBC,

因?yàn)锳E_LBC,AEDE=E,AE,DEU平面ADE,所以BCI平面ADE

8E為三棱錐B—AED的高，CE為三棱錐C—AED的高,

設(shè)三棱錐4-BCD的體積為V,則

V=%15—AEitUD+?C?-AAIEtUD=3—BE?S.■AtELDU--?CE?SAAELD.U

=-(BE+CE)SAED=-BCSAED=L2√^X2√Σ=S

3333

設(shè)內(nèi)切球的半徑為，因?yàn)閂=；Sr,所以r=4—2百，

故選：A.

二、選擇題

9.設(shè)a>l,b>l,且曲一（α+b）=l,那么（）

A.有最小值2起+2

B.2α+Z?有最小值7

C.出?有最小值3+2√Σ

D.』+,有最小值3-2夜

ab

K答案HABC

R解析X因?yàn)椤?gt;1乃〉1且αb≤,所以（。+份2-4（。+〃）—4≥0,

解得α+6≥2痣+2或α+b≤-2√Σ+2（舍），

即α+bN2√Σ+2（當(dāng)且僅當(dāng)α=6=√∑+l時(shí)取等號(hào)），.?.A正確.

2α+A=2α+^=2（α-l）+3+3≥2j2（α-l）?2+3=7,

a-?17a-?Vv,a-?

當(dāng)且僅當(dāng)α=2時(shí)取等號(hào)，B正確；

因?yàn)棣?A≥2j茄，所以l≤αb-2J茄，解得“023+2&（當(dāng)且僅當(dāng)α=b=J5+1時(shí)

取等號(hào)），C正確;

，+:=甘=W=I-4≥1-T?=20-2(當(dāng)且僅當(dāng)α=b=夜+1時(shí)取等號(hào))，D

abababab3+2√2

錯(cuò)誤.

故選:ABC.

10.已知函數(shù)/(%)=2sin2尤一3sin∣x∣+l,則()

A.7(x)是偶函數(shù)B.7(x)在區(qū)間(一上單調(diào)遞增

C./(x)在［一π,π］上有4個(gè)零點(diǎn)D./(x)的值域是［0,6］

K答案》AB

K解析》對(duì)于A,函數(shù)y=∕(χ)的定義域?yàn)镽,

且/(-X)=2sin2(T)-3sin∣-x∣+l=2sin2x-3sin∣x∣+l=∕(x),

所以函數(shù)y=∕(χ)是偶函數(shù)，A正確;

?

對(duì)于B,當(dāng)Xeo,2X—3sin%+l=2

I4J8

令f=sinx，由于函數(shù)y=2時(shí)單調(diào)遞減,

函數(shù)r=siιu在Xe(O,"時(shí)單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,；)上單調(diào)遞減,

故函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間(一:,θ］上單調(diào)遞增，B正確；

對(duì)于C,當(dāng)x∈［0,π］時(shí)，由f(%)=2si∏2χ—3sinx+l=0,得SinX=；或SinX=1,

所以％=g或χ=g或X=*,所以偶函數(shù)y=∕(x)在［一兀,可上有6個(gè)零點(diǎn)，C不正

626

(?λ21

確；對(duì)于D,當(dāng)x∈［θ,+8)時(shí)，f(%)=2si∏2χ-3sinx+l=2binx-1.

31.

因?yàn)橐籰≤sinx≤l,所以當(dāng)SinX=:時(shí)，/(x),當(dāng)SinX=-I時(shí)，zf(?^)χ=e?

4min8ma

由于函數(shù)y=∕(χ)是偶函數(shù)，因此，函數(shù)y=∕(χ)的值域?yàn)槎?6,D不正確.

O

故選：AB.

11.已知曲線C的方程為/+y2-2χ+4y-l=0,曲線C關(guān)于點(diǎn)(g,"1的對(duì)稱(chēng)曲線為

C-若以曲線C與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為46，則加的值可能為

()

A.-1B.1C.-2D.0

K答案》CD

K解析X根據(jù)已知得曲線C的方程為(X-1)2+(y+2)2=6,設(shè)曲線c'上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為

P(χ,y),

它關(guān)于點(diǎn)(g,的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(??,%),則(Xo—11+(%+2)2=6…①，

??+x?

X?—JQ

依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到《22則‘0=-c'代入①得到C'的方程為

%+yy0=2m-y,

.2

如圖，由題意圓C'與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為AB,，則有AE_LBD，

令X=O得：A^(),V6+2/?2+2j,+2,ιn+2j,|A￡^|=2??∕6,

忸4=2λ∕6-(2m+2)*^，

曲線C'與坐標(biāo)軸圍成的四邊形面積為46,所以,x2√^x2λ∕6-(2m+2)2=4百,

解得W=O或M=-2；

故選：CD.

12.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCZ）-A4GA中，44=4耳=2,4。=1,。是耳。的中

點(diǎn)，直線AC交平面A4A于點(diǎn)M,則（）

B.AtM的長(zhǎng)度為1

C.直線AO與平面BCGg所成角的正切值為更

4

D.的面積為坦

6

K答案》ABD

K解析D對(duì)于A,連結(jié)4G，AC,則AcI〃AC,.?.Λl,G,A,C四點(diǎn)共面,

A∣Cu平面ACClAI，MeAC,???Me平面ACGA，

又MW平面A耳。,二M在平面ACGA與平面ABQl的交線上，

同理A,。也在平面ACGA與平面AB∣A的交線上.

O三點(diǎn)共線，故A正確：

對(duì)于B,設(shè)直線AC與平面BG。的交點(diǎn)為N,

易證平面A4A平面C/。，從而得到。M〃GN,

因?yàn)?。為AG中點(diǎn)，所以M為AN中點(diǎn)，

同理可得N為CM中點(diǎn)，所以AM=gAC=l,故B正確；

對(duì)于C,取AA中點(diǎn)E,連接AE,0E,

因?yàn)槠矫鍭DD,A,平面BCC1B1,

則NQ4E即為直線Ao與平面BCCiBl所成角,

OE2>∕V74√,c?tt3

tan/OAE=---=------>故C錯(cuò)誤；

AE17

對(duì)于D,因?yàn)?0=gAC,AM=；A。，

所以S的”=1sW,=1x；A1G?CG=￡，故D正確?

OOZO

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

y2X24

13.已知雙曲線e:-?萬(wàn)一。=1(0<Q<D的一個(gè)焦點(diǎn)到直線y="的距離為一，則C

I-Qa~5

的離心率為.

K答案》Wl

7

K解析Il由已知得，雙曲線的焦點(diǎn)在Y軸上，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±l),不妨取(0』)，它到直

14314λ∕7

線y=奴的距離為丁^==W,解得α=—,所以雙曲線C的離心率為e=.=——

252

√∏+14√l-a7

故R答案H為：亙

7

,π)

14.已知α為銳角，且COS?+-=-,則cosa-

I673

√3+2√2

K答案工

6

R解析》由α為銳角，且COS[a+已)=；

(兀、

π(π,(兀、.兀

所以CoSa=CoS2+一—=CoSa+—cos—÷sina+—sin—

V6√6jI6)6I6)6

=—1×-√3-1--2√-2×—1=-百--+-2-&

32326

故K答案H為：6+20

6

15.已知等比數(shù)列｛4｝的公比為q(q>0),前〃項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足q=%%=%+邑.若

對(duì)一切正整數(shù)〃，不等式13-2〃-2加+加4>加5.恒成立，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為

3

K答案Xm<——7

256

K解析D若q=l,則％=q=l,即％=1,此時(shí)應(yīng)≠α∣+S4,與題意不符，舍去;

(1-力

若q≠l,由%=4+S4,可得q∕=q+3

i—q

即q(l-∕)+30一力41+?

=0,al(l-9)二0，

i—q?-?F>

解得q=ai=2,則an=2",Sn=2(2”—1).

對(duì)一切正整數(shù)〃，不等式13-2〃-2m+m?2">2加(2"-1)恒成立,

13—2〃

化簡(jiǎn)得13-2”>m?2"，分離可得加<

2"

/\13—2〃/\11-2ΛZ/\/\2〃—15

設(shè)則/(“+1)=^=

當(dāng)1≤"≤7時(shí)，/(n+l)<∕(n),即/⑻<"7)<?<∕(l)i

當(dāng)〃≥8時(shí),/(n+l)>∕(n),即/⑻<∕(9)<?

3

所以/(〃)的最小值為"8)=-七，

256

3

故K答案X為：m<-------.

256

16.在銳角一ABC中，βC=4,siπB+sinC=2sinΛ,則中線AO的取值范圍是

K答案W[2√3,√13)

K解析]設(shè)A6=c,AC="8C=α=4,對(duì)sinB+sinC=2sinA運(yùn)用正弦定理，得到

b+c=2a=8f所以。=8—方，

λ/+。2_/

cosA=-------------->0

2bc

a2+c2-b2

因?yàn)樵撊切螢殇J角三角形，所以根據(jù)余弦定理，可得VcosB=-------------->0,

2ac

?b1+a1-C2

cosCZ=-------------->0

rLab

?2+(8-?)2>16

則《(8-?)2+16>?2,解得3<匕<5,

?2+16>(8-/?)2

由bc=b(S-b)=-b2+8b=-(?-4)2+16,得至∣J15<Z?c≤16,

運(yùn)用向量得到AO=g(AB+4C),所以IAq=gJAB2+AC，+2網(wǎng)?國(guó)卜cosA

=Lb+c2+2Ac??"+三一I'=Lj2^+2c2-i6=Ljιi2-48C，

2V2bc22

結(jié)合be的范圍，代入，得到的范圍為［26,JiG).

故K答案H為：［2√3,√13).

四、解答題

17.已知數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S”，且4+Szi=I.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也｝滿(mǎn)足瓦=12+log24,設(shè)空=例+岡+?+∣?∣,求T0.

(1)解：由a“+Sa=1,得firt+1÷S“+[=1,

兩式相減，得an+l-an+S,,+l-Sn=O,

所以2。向=?！?，即4+∣=∕4,,?

又因?yàn)椤?1時(shí)，al+Si=1,所以a1=；,

因?yàn)?k=;,

%2

所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為?.公比為T(mén)的等比數(shù)列.

1([?W-IZ[X/:

所以4=4/1=；?=?.

ZI，/I，/

(2)解：由(1)得O.=12+log2

〃佃+%)~n2+23/?

當(dāng)n≤12時(shí),T"=b?+b+?+b

2n2―2

當(dāng)〃213時(shí),

Tn="+&+…+b]2—(/+3+??+?)=2(?,+b2+…+九)一(4+4+??+?)

1

_2x12(4+伉2)w(?∣+bn)_n-23n+264

~22―2~

—n~+23〃

,∏≤12,

2

綜上,Tn=<

n2-23n+264

,n≥13.

2

18.如圖，在四邊形ABC。中，已知AB=Ao=4,BC=6.

(2)若CD=2,四邊形ABCZ)的面積為4,求CoS(A+C)的值.

(1)解：在△"￡>中，,.?AB=AD^4,A=—,

3

π

則NAD3=—

6

.?.BD=2ADcosZADB=2×4×cos^=.

6

BCBD

在ABCD中，由正弦定理得,

SinZfiDCsinC

6Xsin43

sinZBDC=&C瑟C

4√3-4

,.'BC<BD,Λ0<ZBDC<∣,

cosZBDC=√l-sin2ZBf>C=

(2)解：在ZVLBZ)?ACBD中,

由余弦定理得，

BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA=42+42-2×4×4×cosA=32-32cosA,

BD2=CB2+CD2-2CB?CDCOSC=62+22-2×6×2×COSC=40-24COSC.

從而4cosA-3cosC=-l①，

由SAABD+SACBD=Jx4x4XSinA+}x6x2XSinC=4得，

4sinA+3sinC=2②，

①2+②2得，le(sin2A+cos2A)+9(sin2C+cos2C)—24(cosAcosC-sinAsinC)=5,

.?.COS(A+C)=?∣.

19.如圖所示，正方形MAO與矩形ASCQ所在平面互相垂直，AB=2AD=2,E為線

段AB上一點(diǎn).

(1)求證：D1ELA1D;

(2)在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使二面角R-EC-D的大小為若存在，求出AE

6

的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.

(1)證明：連接AoJ交AQ于尸，連接。3,

因?yàn)樗倪呅卫秊檎叫危訟.

因?yàn)檎叫蜛41OQ與矩形ABCZ)所在平面互相垂直，交線為AD,AB±4),A8u平面

ABCD,

所以ABS平面A4。。，.

又4。U平面/L41Z)Q,

所以AB_LAr>,

又AD∣f'AB=A,ADi,ABU平面ADtB,

所以AQ，平面AQB,

又REU平面AD1B,

所以

(2)解：存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E,AE=2-3.

3

解法一：因?yàn)锳AA。為正方形，所以AD_L。。，

因?yàn)槠矫鍭平面ABe。，平面∕?ROc平面ABCD=A￡),ROU平面

AAiDlD,

所以，平面ABCO,

因?yàn)锳D,DCU平面ABQX

所以〃LAO,DiDlDC,

因?yàn)榫匦蜛BC。中，DClDA

所以，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、OC、。A所在直線分別為X軸、y軸、Z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

因?yàn)棣獴=2AZ)=2,則。(0,0,0),C(0,2,0),A(0,0,1),4。，0，1)

所以O(shè)n=(0,0,1),DC=(0,2,—1).

易知￡)〃為平面ECz)的法向量，

設(shè)E(IM⑼(0≤α≤2),所以EC=(T,2—a,0).

設(shè)平面。IEC法向量”=(x,y,z),

“?Q∣C=Oz=2y

所以V∣[x=(2-α)y,取y=l,得〃=(2-a,l,2),

n-EC=Q

又二面角Dx-EC-D大小為色,

6

所以cos空π畫(huà)@∣(0,QJ)?(2FL2)∣

r22,

e∣Z)Z)l∣∣n∣√i√(2-a)+l+2

即3。2-12。+11=0,解得α=2±立

3

又因?yàn)?≤α≤2,所以a=2—即AE=2-?5.

33

解法二：假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作DNlCE于點(diǎn)N,連接。N,

因?yàn)锳Λ1f>Q為正方形，所以AOlDR,

因?yàn)槠矫鍭4QQ_L平面AJBCz),平面AA1QOc平面ABCZ)=A。，。。U平面

AA1D1D,

所以平面ABcD,

因?yàn)镃EU平面A8C。，

所以DQ_LCE,

因?yàn)镽o∩￡W=￡>,A。NU平面D1DN

所以，DINLCE

所以NDlND為二面角D1-CE-D的平面角,

Dl

在RtzM)∣N0中，D1D-I,

所以。N=√L

又在RtΛDNC中,CD=AB=2,NC=L

TT

所以NNQC=—，

6

TT

因?yàn)閆NDC+ZECD=ZECD÷ZECB=-,

2

TT

所以？ECB

6

所以，在RtVECB中，BE=BCtan三=?，

63

所以AE=2—3.

3

20.現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員爭(zhēng)奪某項(xiàng)比賽的獎(jiǎng)金，規(guī)定兩名運(yùn)動(dòng)員誰(shuí)先贏人僅>1,攵eN*)

局，誰(shuí)便贏得全部獎(jiǎng)金4元.假設(shè)每局甲贏的概率為〃(0<〃<1),乙贏的概率為I-P,

且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.在甲贏了加(加<外局，乙贏了〃(〃<的局時(shí)，比賽意外終止，獎(jiǎng)金

如何分配才合理？評(píng)委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金

的概率之比為：紜分配獎(jiǎng)金.

一3

(1)若％=3,m=2,〃=l,p=—,求％:生；

4

(2)記事件A為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)&=4,相=2,〃=2時(shí)，比

賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率/(P),并判斷當(dāng),≤p<l時(shí)，事件4是否為小概

率事件，并說(shuō)明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于006,則稱(chēng)該隨機(jī)事件為小概率事

件.

解：(1)設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行X局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然是甲贏，依題意，最多

再進(jìn)行2局，

3

當(dāng)X=I時(shí)，甲以3:1贏，P(X=I)=:，當(dāng)X=2時(shí)，甲以3:2贏，

4

133

P(X=2)=-×-=-,

4416

3315151

因此甲贏的概率為三+—=一,則乙贏的概率為1-上=—,

416161616

所以品：心=15:1.

(2)設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行y局乙匾得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然是乙贏，

當(dāng)Y=2時(shí)，乙以4:2贏，P(Y=2)=(I-P)2,當(dāng)y=3時(shí)，乙以4:3扁，

P(y=3)=C；P(I-P)2=2P(I-P)2,

于是得乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率P(A)=(I-p)2+2p(l-p)2=(1+2p)(l-p)2,

46

甲贏Ir得全部獎(jiǎng)金的概率/(P)=I-(I+2P)(I-P)92,-≤p<l,

J(P)=-2(l-p)2-(l+2p)?2(l-p)(-l)=6p(l-p)>0,即函數(shù)/(P)在g,D上單調(diào)

遞增，

632432419

則有/(p)min=/(-)=—，因此乙贏的概率最大值為1-禰=而才0.0554<0.06，

所以事件A是小概率事件.

Y7+p-=l(tz>?>0)過(guò)點(diǎn)f1，

21.已知橢圓C：—，直線/：>=X+「與C交于M,N兩

a

點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH的斜率為-

2

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線y=米+2與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,P為X軸上一點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)k，

使得K43是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出上的值及點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(I)解：設(shè)Λ∕(x],χ),N(x2,y2)，則”「也,

,V,+V1

所以,由題知直線OH的斜率%=K2=―1

因?yàn)镸,N在橢圓。上,

2222

所以丁方=吟+言=1,

(x,÷x)(x,-x)(γ∣+.y)(γ,-j)

兩式相減得22ι22=0.即

CTb2

11(y+%)(y-%)=0,

12

a?(%l+%2)(xl—%2)

又G=衛(wèi)士=1,

X1-X2

所以W―=0，即/=2Z?2.

又因?yàn)闄E圓。過(guò)點(diǎn)1,

所以」-+上-

1=1,解得Y=4,∕=2,

以片+2fy2

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匯=1.

42

y=kx+2,

(2)解：聯(lián)立I尤22消y整理得:(242+1)/+8區(qū)+4=o

-^-=↑

[4+2

因?yàn)橹本€與橢圓交于A8兩點(diǎn)，故△>(),解得公>」.

2

x

設(shè)4(玉,%),3(%4，乂)，則￡+/=.心I,?4=7Γ工?設(shè)AB中點(diǎn)G(XO,%)，

-Ak,-2,(-4k2>

A3+X4

則Λ-r-,yo=kxo+2=-故GF∣

o2[TΓΞFTL?

假設(shè)存在攵和點(diǎn)尸(皿0)，使得.RW是以尸為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則

PGLAB,故即G?%=T,

2

所以2?：+1xk=-l,解得機(jī)=

-4k

—z-------m

2公+1

π

又因?yàn)镹AP8=5,所以PA?PB=0,

所以(毛一加,%)?(％4一皿%)=0，即(毛一"])(七一機(jī))+%%=0，

2

整理得(公+l)xjx4+(2Ar-m)(x3+x4)+zn+4=0.

所以(/+1)?———(2k-m~)?—‰-+m2+4=0,

?,2k1+?v72公+1

一2%

代入根=F—，整理得/=1，即爐=1，

2F+1

所以Z=I或2=—1,即存在Z使得.RW是以P為頂點(diǎn)的等腰直角三角形.

當(dāng)A=T時(shí)，尸點(diǎn)坐標(biāo)?！悖?dāng)Z=I時(shí)，尸點(diǎn)坐標(biāo)為卜g,o]

此時(shí)，aw是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.

22.己知函數(shù)/(%)=OV2+(α-2)x-InX(α∈R).

(1)討論/(χ)的單調(diào)性;

2

(2)若/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)為馬，證明：X+