2021版高考數(shù)學(xué)(人教A版理科)一輪復(fù)習(xí)攻略核心考點(diǎn) 互斥事件、對(duì)立事件的判斷

核心考點(diǎn)?精準(zhǔn)研析

.超肉二互斥事件、對(duì)立費(fèi)件的判斷‘囂囂

。題組練透?）

1.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù),則下列各對(duì)事件是互斥而不是對(duì)立

事件的是（）

A.恰有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù)

B.恰有1個(gè)是偶數(shù)和至少有1個(gè)是偶數(shù)

C.至少有1個(gè)是奇數(shù)和全是奇數(shù)

D.至少有1個(gè)是偶數(shù)和全是奇數(shù)

2.已知100件產(chǎn)品中有5件次品，從這100件產(chǎn)品中任意取出3件，設(shè)E表示事

件”3件產(chǎn)品全不是次品”，F(xiàn)表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”，G表示事件“3件

產(chǎn)品中至少有1件是次品”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.F與G互斥

B.E與G互斥但不對(duì)立

C.E,F,G任意兩個(gè)事件均互斥

D.E與G對(duì)立

3.在下列六個(gè)事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)為（）

①如果a,b都是實(shí)數(shù),那么a+b=b+a;

②從分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡?得到4號(hào)簽;

③沒有水分,種子發(fā)芽；

-1-

④某電話總機(jī)在60秒內(nèi)接到至少10次呼叫；

⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水的溫度達(dá)到50℃時(shí)沸騰；

⑥同性電荷,相互排斥.

A.2B.3C.4D.5

4.在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全

是移動(dòng)卡”的概率是巨，那么概率是乙的事件是（）

1010

A.至多有一張移動(dòng)卡B.恰有一張移動(dòng)卡

C,都不是移動(dòng)卡D.至少有一張移動(dòng)卡

【解析】1.選A.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個(gè)數(shù)，共有三種情況:A=｛兩

個(gè)奇數(shù)｝,B=｛一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)｝,C=｛兩個(gè)偶數(shù)｝，且A,B,C兩兩互斥，所以A：是互

斥事件，但不是對(duì)立事件;B：不互斥；C：不互斥；D：是互斥事件，也是對(duì)立事件.

2.選D.由題意得事件E與事件F不可能同時(shí)發(fā)生,是互斥事件;事件E與事件G

不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件；當(dāng)事件F發(fā)生時(shí)，事件G一定發(fā)生，所以事件F與

事件G不是互斥事件，故A、C錯(cuò).事件E與事件G中必有一個(gè)發(fā)生，所以事件E

與事件G對(duì)立，所以B錯(cuò)誤，D正確.

3.選A.①⑥是必然事件;③⑤是不可能事件;②④是隨機(jī)事件.

4.選A.至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”

兩個(gè)事件，它是“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件.

口規(guī)律方海

定判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷,不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為

義互斥事件;兩個(gè)事件,若有且僅有一個(gè)發(fā)生,則這兩事件為對(duì)立事件,對(duì)立

法事件一定是互斥事件

-2-

集

①若A,B滿足AGB=0,則A,B是互斥事件

合

②若A,B滿足尸口8二。，則A,B是對(duì)立事件

法=n

?考點(diǎn)二隨機(jī)事件的頻率與概率體鉛

【典例】某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集

了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表所示.已知這100位顧客中一次

購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55%.

一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上

顧客數(shù)/人X3025y10

結(jié)算時(shí)間/

11.522.53

(分鐘/人)

⑴確定x,y的值,并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值.

⑵求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率.(將頻率視為概率)

【解題導(dǎo)思】

序號(hào)聯(lián)想解題

(1)由“超過(guò)8件”占55%聯(lián)想到“不超過(guò)8件”占45%.

(2)拆分為三個(gè)事件的和事件

【解析】⑴由已知得25+y+10=55,x+30=45,

所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的

100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,

顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為

1x15+1.5x30+2x25+2.5x20+3x10,1q，、鐘

100

-3-

(2)記A為事件“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘”，A,A,A分別表

123

示事件“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間

為1.5分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”，將頻率視為概率得

P(A)二七三L,P(A)=王二丄,P(A)

11OO21O0103100J.

因?yàn)锳=AUAUA,且A,A,A是互斥事件，

123123

所以P(A)=P(AUAUA);P(A)+P(A)+P(A)=2_+±+￡=_L.故一位顧客一次購(gòu)物

1231232010410

的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率為

10

口規(guī)律方法

1.求復(fù)雜互斥事件概率的2種方法

(1)直接法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和.

(2)間接法:先求該事件的對(duì)立事件的概率，再由P(A)=『P(Z)求解.當(dāng)題目涉及

“至多”“至少”型問(wèn)題時(shí)，多考慮間接法.

2.求解以統(tǒng)計(jì)圖表為背景的隨機(jī)事件的頻率或概率問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)

求解該類問(wèn)題的關(guān)鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表,計(jì)

算出所求隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻數(shù).

」變式訓(xùn)練

某河流上的一座水力發(fā)電站,每年六月份的發(fā)電量Y(單位:萬(wàn)千瓦時(shí))與該河上

游在六月份的降雨量X(單位:毫米)有關(guān).

據(jù)統(tǒng)計(jì),當(dāng)X=70時(shí),Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值為

140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,2

20,140,160.

-4-

(1)完成如下的頻率分布表：

近20年六月份降雨量頻率分布表

降雨量70110140160200220

頻率142

202020

(2)假定今年6月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率

視為概率,求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬(wàn)千瓦時(shí))或超過(guò)

530(萬(wàn)千瓦時(shí))的概率.

【解析】⑴在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個(gè)，為160毫米的有7個(gè)，

為200毫米的有3個(gè)，故近20年六月份降雨量頻率分布表為

降雨量70110140160200220

頻率134732

202020202020

⑵由已知可得丫更+425,

故P(“發(fā)電量低于490萬(wàn)千瓦時(shí)或超過(guò)530萬(wàn)千瓦時(shí)”)=P(Y<490或

Y>530)=P(X<130或X>210)

=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)

亠三+二旦

20202010

.考點(diǎn)三互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算‘簽落

-5-

考什么：(1)考查隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系

命

(2)考查互斥事件、對(duì)立事件的概念與概率計(jì)算問(wèn)題

題

怎么考:重點(diǎn)考查互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算，多數(shù)是以選擇題、

精

填空題或解答題的一個(gè)小題的形式考查

解

新趨勢(shì)：結(jié)合新背景,考查互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算,或者與統(tǒng)計(jì)

讀

知識(shí)交匯考查隨機(jī)事件的概率計(jì)算

1.互斥事件、對(duì)立事件的概率問(wèn)題的解決步驟

學(xué)

(1)明確區(qū)分互斥事件、對(duì)立事件.

霸

(2)應(yīng)用概率加法公式,或概率的一般加法公式求概率.

好

2.交匯問(wèn)題

方

解決與統(tǒng)計(jì)知識(shí)交匯考查隨機(jī)事件的概率計(jì)算問(wèn)題時(shí),先用統(tǒng)計(jì)知識(shí)

法

求頻數(shù),頻率,再求概率.

命題角度1夕互斥事件的概率

【典例】(2019?天津模擬)經(jīng)統(tǒng)計(jì),在銀行一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口每天上午9點(diǎn)鐘排隊(duì)等

候的人數(shù)及相應(yīng)概率如表:

排隊(duì)人數(shù)0123425

概率0.10.160.30.30.10.04

則該營(yíng)業(yè)窗口上午9點(diǎn)鐘時(shí),至少有1人排隊(duì)的概率是.

【解析】由表格可得至少有1人排隊(duì)的概率P=0.16+0.3+0.3+0.1+0.04=0.9.

答案：0.9

I秒殺絕招間接法：因?yàn)樵摖I(yíng)業(yè)窗口上午9點(diǎn)鐘時(shí),沒有人排隊(duì)的概率是0.1,

所以至少有1人排隊(duì)的概率是1-0.1=0.9.

-6-

答案：0.9

匸解后反思］|

如何求互斥事件的概率？

把要求概率的事件恰當(dāng)?shù)夭鸱譃槿舾蓚€(gè)互斥事件的和事件,再用互斥事件的概

率加法公式計(jì)算所求概率.

命題角度2,對(duì)立事件的概率

【典例】某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù)：

日銷售量（件）0123

頻數(shù)1685

試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開始營(yíng)業(yè)時(shí)有該

商品3件,當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件,則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3

件,否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.

（1）設(shè)每銷售一件該商品獲利1000元，某天銷售該商品獲利情況如表，完成下表,

并求試銷期間日平均獲利錢數(shù)；

日獲利（元）0100020003000

頻率

⑵求第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)為3件的概率.

【解析】（1）日獲利分別為0元，1000元,2000元,3000元的頻率分別為

丄，丄,2,丄;試銷期間日平均獲利數(shù)為0XJ-+1000X-L+2000X2+3000X1=1850

201049010c；4

元.

-7-

⑵由題意事件“第一天的銷售量為1件”是對(duì)立事件，所以P（“第二天開始營(yíng)

業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)為3件"）=1-P（“第一天的銷售量為1件"）=1-且='.

2010

口解后反思H

如何求對(duì)立事件的概率？

恰當(dāng)?shù)貙⑺笫录母怕兽D(zhuǎn)化為求對(duì)立事件的概率.

命題角度3夕互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算問(wèn)題與統(tǒng)計(jì)等交匯

【典例】A地到火車站共有兩條路徑L和L,現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到火車站

12

的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：

所用時(shí)間（分鐘）10?2020?3030?4040~5050?60

選擇L

1612181212

的人數(shù)

選擇L

2

0416164

的人數(shù)

⑴試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；

⑵分別求通過(guò)路徑L和L所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；

12

（3）現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站,為了盡可能在

允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.

【解析】（1）由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有

12+12+16+4=44人，

所以用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.44.

（2）選擇L的有60人,選擇L的有40人，

12

-8-

故由調(diào)查結(jié)果得頻率為:

所用時(shí)間(分

10~2020?3030~4040?5050~60

鐘)

L的頻率0.10.20.30.20.2

1

L的頻率00.10.40.40.1

2

(3)A,A分別表示甲選擇L和L時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；

1212

B,B分別表示乙選擇L和L時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站.

1212

由⑵知P(A)=0.1+0.2+0.3=0.6,

1

P(A)=0.1+0.4=0.5,

2

P(A)>P(A),所以甲應(yīng)選擇L,

121

P(B)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,

1

P(B)=0.1+0.4+0.4=0.9,

2

P(B)>P(B),所以乙應(yīng)選擇L.

212

口解后反思||

解決與統(tǒng)計(jì)知識(shí)交匯問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意什么？

提示：(1)準(zhǔn)確讀取題目中的有用信息，正確運(yùn)用到解題中.

⑵正確理解頻率與概率的關(guān)系，會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用它.

<?題組通關(guān)?>

變式鞏固?依

1.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果.《周髀算經(jīng)》《九章算術(shù)》《海島算經(jīng)》

《孫子算經(jīng)》《緝古算經(jīng)》等10部專著,有著十分豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國(guó)

古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期.某中學(xué)擬從

-9-

這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著

中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著的概率為（）

A.—B.—C.-D.1

【解析】選A.設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著為事件A,則

所選2部專著中沒有一部是魏晉南北朝時(shí)期專著為事件配

所以P（Z）二豆二土，因此P（A）=1-P（m=1-±=￡.

C電1A1AIA

2.（2019?景德鎮(zhèn)模擬）空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）是衡量空氣質(zhì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn),下表是

我國(guó)南方某市氣象環(huán)保部門從去年的每天空氣質(zhì)量檢測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取的40

天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：

空氣質(zhì)量指數(shù)

國(guó)家環(huán)保標(biāo)準(zhǔn)頻數(shù)（天）頻率

（AQI）

[0,50]一級(jí)（優(yōu)）4

(50,100]二級(jí)（良）20

(100,150]三級(jí)（輕度污染）8

(150,200]四級(jí)（中度污染）4

(200,300]五級(jí)（重度污染）3

(300,+8)六級(jí)（嚴(yán)重污染）1

（1）若以這40天的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì),一年中（365天）該市有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)

到優(yōu)良？

-10-

（2）若將頻率視為概率,某中學(xué)擬在今年五月份某連續(xù)的三天召開運(yùn)動(dòng)會(huì)，以上

表的數(shù)據(jù)為依據(jù)，問(wèn):①這三天空氣質(zhì)量都達(dá)標(biāo)（空氣質(zhì)量屬一、二、三級(jí)內(nèi)）的

概率；

②這三天恰好有一天空氣質(zhì)量不達(dá)標(biāo)（指四、五、六級(jí)）的概率.

【解析】設(shè)p（i=1、2、3、4、5、6）表示空氣質(zhì)量達(dá)到第i級(jí)的概率，則

i

p=0.1,p=0.5,p=0.2,p=0.1,p=—,p.

12345an6an

⑴依題意得365X（p+p）=365X0.6=219（A）.

12

（2）①P|+p+p3=0.8,p=（pi+卩2+卩3）3=0-83=0?512.

②p+p+p=—+—+—=Q.2,

456404040

P=0.2X0.8X0.8+0.8X0.2X0.8+0.8X0.8X0,2=3X0.2X0.