2023年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題（線段問題）

2023年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練:旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題(線段問題)

1.如圖，等腰直角三角形/8C中，AB=BC,ZABC=90o,點(diǎn)。是A3邊上的中點(diǎn)，

點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接。E,將?！?將OE繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到。連

接∕?,FE,BE.

Sl

(1)如圖1,若點(diǎn)E在線段AC上，AE=3EC,AB=4,求Z)EF的面積；

(2)如圖2,若E點(diǎn)在直線BC下方，點(diǎn)G是AC中點(diǎn)，連接。G,EG,EC,若

NCEF=ZAFD,求猜想線段AF,BE,CE的長度關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,在(2)的條件下，作點(diǎn)E分別關(guān)于直線BC和AB的對(duì)稱點(diǎn)M、N,連接MN,

EF

MD,ND,當(dāng)S△皿N=2SASEC時(shí)，直接寫出丁的值.

AF

2.如圖，將ABC的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AD,連接30.

(1)如圖1,連接co,若/340=90°,ZADC+ZABC=?80o,AC=7√2-BC=A,

求CO的長；

(2)如圖2,點(diǎn)E在BD上,且滿足BC=OE,連接AE,點(diǎn)尸為A3上一點(diǎn)，連接。尸

交AE于點(diǎn)〃，若NBOP=NBC4,ZADB+ZABC=180°,求證ΛM=EM;

2

(3)如圖3,若/840=120。，NAC8=60。，A8=9,點(diǎn)尸在直線AC上且滿足AP=]8C,

將_鉆尸沿虛線GH折疊使得點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在AB上，連接PP'與折痕GH交于點(diǎn)。,

請(qǐng)直接寫出BP最小時(shí)，點(diǎn)。到AB的距離.

3.如圖，已知一ABC中，AB=AC,NBAC=90。，點(diǎn)。是一ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連

接AD,BD,CD.

(2)如圖2,點(diǎn)。為,√1BC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，將線段8。繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BF,

連接CF,點(diǎn)G是線段C。的中點(diǎn)，連接AG,猜想線段AG,CF之間存在的位置關(guān)系

和數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,點(diǎn)C關(guān)于直線A3的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C',連接AC',BC',點(diǎn)。為AABC內(nèi)部

一動(dòng)點(diǎn)，連接C'C?若∕BDC=9θo,且8C=8,當(dāng)線段C'。最短時(shí)，直接寫出qAS的

面積.

4.綜合與探究

在一ΛBC中，AB=AC,/C4B的角度記為α.

②

試卷第2頁，共10頁

(1)操作與證明；如圖，點(diǎn)D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AO,將線段Ao繞點(diǎn)A逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)角度α至AE位置，連接。E,CE.求證：BD=CE;

(2)探究與發(fā)現(xiàn)：如圖□,若c=90。，點(diǎn)。變?yōu)锽C延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD將線段AO

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α至AE位置，連接OE,CE.可以發(fā)現(xiàn)：線段BO和CE的數(shù)

量關(guān)系是;

(3)判斷與思考；判斷(2)中線段8。和CE的位置關(guān)系，并說明理由.

5.已知四邊形ABCD中，ABYAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=nθ",

NMBN=60",NMBN繞B點(diǎn)、旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交4),DC(或它們的延長線)于E、

F.

(1)當(dāng)NMBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)(如圖1),求證：AE+CF=EF.

(2)當(dāng)NMBN繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AEHe尸時(shí)，在圖2種情況下，求證：AE+CF=EF.

(3)當(dāng)/M8N繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AfNC尸時(shí)，在圖3種情況下上述結(jié)論是否成立？若成立,

請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想,

不需證明.

6.在“ABC中，NBAC=90。，AB=AC,點(diǎn)。為8C邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AO,將AZ)繞

著D點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到DE,連接AE.

AP

圖3

(1)如圖1,A"L8C,點(diǎn)。恰好為CH中點(diǎn)，AE與BC交于點(diǎn)G,若AB=4,求AE的

長度；

(2)如圖2,DE與AB交于點(diǎn)F,連接BE,在BA延長線上有一點(diǎn)P,NPCA=NEAB,

求證：AB=AP+五BD;

(3)如圖3,DE與AB交于點(diǎn)F,且A3平分NE4D,點(diǎn)A/為線段AF上一點(diǎn)，點(diǎn)N為線

段AD上一點(diǎn)，連接DM,MV,點(diǎn)K為DM延長線上一點(diǎn)，將沿直線8K翻折

至..8E)K所在平面內(nèi)得到ABQK,連接。Q,在Λ/,N運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)QM+MN取得

最小值，且N。KQ=45"時(shí)，請(qǐng)直接寫出空的值.

7.在AABE和aCf>E中，ZABE=ZDCE=90o,AB=BE,CD=CE.

(1)連接A。、BC,點(diǎn)、M、N分別為A。、BC的中點(diǎn)，連接MN,

口如圖1,當(dāng)&E、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，MN與BC數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系是.

口如圖2,當(dāng)?shù)妊肅DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，口中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證

明你的結(jié)論；如果不成立，請(qǐng)說明理由.

(2)如圖3,當(dāng)?shù)妊黂La)E繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，連接AC、BD,點(diǎn)、P、Q分別為

BD,AC的中點(diǎn)，連接PQ,若AB=I3,8=5,則P。的最大值是.

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8.如圖，等邊□∕8C與等腰三角形匚Ef)C有公共頂點(diǎn)C,其中口ECC=120°,AB=CE

=2限,連接BE,尸為BE的中點(diǎn)，連接P。、AD

圖3

(1)為了研究線段“。與PO的數(shù)量關(guān)系,將圖1中的EoC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一個(gè)適當(dāng)?shù)慕嵌?

使CE與。重合，如圖2,請(qǐng)直接寫出/。與尸。的數(shù)量關(guān)系;

(2)如圖1,(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由;

(3)如圖3,若148=45。，求Z1R4。的面積.

OO

9.在ElZBC中，90<□JS∕1C<120,將線段繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到線段/，

連接CD

(1)如圖1,若“8=8,□4BC=45o,BA?ΔCD,延長84CD交于點(diǎn)K,求四邊形/BCZ)

的面積；

(2)如圖2,點(diǎn)E是CZ延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)G是ZE的中點(diǎn)，連接BE,8G,點(diǎn)廠在線段

NC上，點(diǎn)〃在線段BG上，連接，/，若BG=GF,HF=BE,GA=GH,IHACB=

QEBG+UABC,求證：BC+CD=?βAC;

(3)如圖3,在(1)的條件下，點(diǎn)P是線段2C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP,將線段。尸繞

點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到線段DP,連接/P,5P,點(diǎn)M是H48P內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)ρ在

運(yùn)動(dòng)過程中，/M+8M+PM是否存在最小值；若存在，請(qǐng)直接寫出：+8M+PM的最

小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

10.如圖1,在等腰三角形ABC中，ZA=120o,AB=AC,AD=AE,連接8E,點(diǎn)M、

N、P分別為￡>E、BE、BC的中點(diǎn).

⑴觀察猜想：圖1中，點(diǎn)。、E分別在邊A8、ACl.,線段M0、NP的數(shù)量關(guān)系是

ZMNP的大小為

(2)探究證明：把VAOE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置,連接MP、BD、CE,

圖1中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

11.【問題情境】如圖1,點(diǎn)E為正方形ABa)內(nèi)一點(diǎn)，AE=2,BE=4,NAE8=90。，

將直角三角形4組繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度(0≤α≤18()o),點(diǎn)8、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別

為點(diǎn)8'、E1.

圖1圖2圖3

(1)【問題解決】如圖2,在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)9落在了AC上，求此時(shí)CB'的長；

(2)【問題解決】若。=90。，如圖3,得到AWE(此時(shí)8'與。重合)，延長BE交B1E'

于點(diǎn)F,

口試判斷四邊形AEEE'的形狀，并說明理由；

口連接CE,求CE的長；

(3)【問題解決】在直角三角形ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，求線段CE長度的取

值范圍.

12.如圖1,在RtABC中，ZC=90o,AC=BC=8,點(diǎn)。、E分別在邊/C、ABh,

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AD^DE^-AB,連接DE.將V4)E繞點(diǎn)/順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為凡

圖1圖2備用圖

BF

⑴晌題發(fā)現(xiàn)「當(dāng)。=0°時(shí)，—

BE

□當(dāng)6=180°時(shí)，—=

BE

(2)［拓展研究］試判斷：當(dāng)0?！?lt;360。時(shí)，節(jié)的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給

出證明;

(3)［問題解決］當(dāng)VAZ)E旋轉(zhuǎn)至8、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，線段CZ)的長為

13.【發(fā)現(xiàn)奧秘】

備用圖2

⑴如圖1,在等邊三角形ABC中，A5=2,點(diǎn)E是AfiC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE,EC,BE,

分別將AC,EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到。CFC,連接AaoF,EF.當(dāng)B,E,F,D

四個(gè)點(diǎn)滿足.時(shí)，3E+AE+CE的值最小，最小值為.

【解法探索】

⑵如圖2,在ABC中，NACB=90。,4C=8C,點(diǎn)尸是ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接尸AP8,PC,

請(qǐng)求出當(dāng)PA+PB+PC的值最小時(shí)ZBCP的度數(shù)，并直接寫出此時(shí)24:PB:PC的

值.(提示：分別將PC,AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到。CEC,連接尸E>,DE,AE)

【拓展應(yīng)用】

⑶在一ASC中，NACB=90o,NBAC=30o,BC=2,點(diǎn)、P是.ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PA,PB,PC,

直接寫出當(dāng)E4+PB+PC的值最小時(shí)，PA-PB.PC的值.

14.綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師向大家展示了一個(gè)圖形變換的問題.如圖1?將正方形

紙片428折疊，使邊42,4。都落在對(duì)角線NC上，展開得折痕∕E,AF,連接Ef試

判斷AAE尸的形狀.

獨(dú)立思考：

(1)請(qǐng)解答問題情境提出的問題，并寫出證明過程.

實(shí)踐探究：

(2)如圖2.將圖1中的2E4尸繞點(diǎn)Z旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊8C,CO于點(diǎn)P,Q,

連接尸0.請(qǐng)猜想線段5P,PQ,。。之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

問題解決：

(3)如圖3.連接正方形對(duì)角線80，若圖2中的NPA。的邊/P,2。分別交對(duì)角線8。

于點(diǎn)M,N,將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線8。剪開,如圖4所示.若BM=7,DN=24,

求的長.

15.學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題：

“如圖1,在正方形NBC。中，□E4F=45o,求證：EF=BE+DF.,,

小明同學(xué)的思路：四邊形/8CZ)是正方形，□4B=4D,L8=U/OC=90。.

把「H8E繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到“OE的位置，然后證明AAFE=AAFEf,從而可得

EF=EF.

EF=ED+DF=BE+DF,從而使問題得證.

圖1圖2圖3圖4

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(1)【探究】請(qǐng)你參考小明的解題思路解決下面問題：

如圖2,在四邊形/88中，AB=AD,QB=DD=90o,ZEAF=^ZBAD,直接寫出ER

BE,Z)F之間的數(shù)量關(guān)系.

(2)【應(yīng)用】如圖3,在四邊形/8CD中，AB=AD,□5+□Z)=180o,ZEAF=^BAD,

求證：EF=BE+DF.

(3)【知識(shí)遷移】如圖4,四邊形/8PC是、。的內(nèi)接四邊形，BC是直徑，AB=AC,請(qǐng)

直接寫出P5+PC與/P的關(guān)系.

16.如圖1,將等腰直角三角形/E尸繞著正方形/88的頂點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，已知正方

形的邊長為石，AE=^Aβ.

(1)如圖2,連接。E,BF,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段8廠與。E的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)

系是.

(2)如圖3,連接CF,在旋轉(zhuǎn)過程中，求CF的最大值和最小值；

(3)如圖4,延長BF交。E于點(diǎn)G,連接CG,若Z)G:GB=I:3,求GC的長.

17.將正方形NBCD繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋ɑ到正方形G.

G

G

D

DD

H

H'H

EE

B

B

B

圖3

Sl

圖2

(1)如圖1,當(dāng)0°<α<90。時(shí)，瓦`與8相交與點(diǎn)從求證：DH=EH-,

(2)如圖2,當(dāng)0。<&<90。，點(diǎn)尸、D、8正好共線時(shí),

口求口/必度數(shù);

□若正方形488的邊長為1,求CH的長:

(3)連接。E,EC,FC.如圖3,正方形ZEFG在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在實(shí)數(shù)機(jī)使/0

=DE2+mFC2-EC2總成立?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.在AABC與AADE中，連接。C,點(diǎn)M、N分別為OE和3C的中點(diǎn)，MN與BD所

在直線交于點(diǎn)P.

備用圖

(1)【觀察猜想】

如圖口,若AB=AC,AD=AE,ABAC=ΛDAE=ωo,MN與的數(shù)量關(guān)系是

，ZBPM=

(2)【類比探究】

如圖□,若AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,請(qǐng)寫出MN與BD的數(shù)量關(guān)系

與NWW的度數(shù)，并就圖［的情形說明理由;

(3)【解決問題】

如圖□,ZBAC=ZDAE=90°,ZACB=ZAED=30o,3AD=AB=6,將MDE繞點(diǎn)A

進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)。落在AABC的邊所在直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN的長.

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