2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練專題21圓

備考2024年中考數(shù)學(xué)探究性訓(xùn)練專題21圓一、選擇題1．“萊洛三角形”是機(jī)械學(xué)家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)的設(shè)計(jì)就是利用了萊洛三角形．它是分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長為半徑作弧形成的圖形，如圖2所示．若正三角形的邊長為3，則該“萊洛三角形”的面積為（）A．9π2?932 B．9π42．如圖，是古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的月牙問題，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為Rt△ABC的三條邊，若BC=12，∠ACB=30°，則陰影部分的面積為（）A．183?π B．183 C．3．如圖1，是清代數(shù)學(xué)家李之鉉在他的著作《幾何易簡集》中研究過的一個(gè)圖形，小圓同學(xué)在研究該圖形后設(shè)計(jì)了圖2，延長正方形ABCD的邊BC至點(diǎn)M，作矩形ABMN，以BM為直徑作半圓O交CD于點(diǎn)E，以CE為邊做正方形CEFG，G在BC上，記正方形ABCD，正方形CEFG，矩形CMND的面積分別為S1，S2，S3A．3+54 B．1+52 C．4．弧三角形，又叫萊洛三角形，是機(jī)械字家萊洛首先進(jìn)行研究的.弧三角形是這樣畫的：先畫正三角形，然后分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，（曉觀數(shù)學(xué)）其邊長為半徑畫弧得到的三角形.在大片的麥田或農(nóng)田中，由農(nóng)作物倒?fàn)钚纬傻膸缀螆D案被稱為“麥田怪圈”.圖1中的麥田怪圈主要由圓和弧三角形構(gòu)成，某研究小組根據(jù)照片嘗試在操場上繪制類似的圖形.如圖2，成員甲先借繩子繞行一周畫出⊙O，再將⊙O三等分，得到A，B，C三點(diǎn).接著，成員乙分別以A，B，C為圓心畫出圖中的弧三角形.研究小組在A，B，C，O四點(diǎn)中的某一點(diǎn)放置了檢測儀器，記成員甲所在的位置為P，成員乙所在的位置為Q，若將射線OB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過甲或乙的旋轉(zhuǎn)角記為自變量x（單位：°，0≤x<360），甲、乙兩人到檢測儀器的距離分別記為y1和y2（單位：結(jié)合以上信息判斷，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．⊙O的半徑為6m B．圖3中a的值為270C．當(dāng)x=60時(shí)，y1取得最大值12 D．檢測儀器放置在點(diǎn)A處二、填空題5．（新知探究）新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B，所有滿足PAPB（問題解決）如圖，在△ABC中，CB=4，AB=2AC，則△ABC面積的最大值為.6．如圖，A，B，C為⊙O上相鄰的三個(gè)n等分點(diǎn)，AB=BC，點(diǎn)E在BC上，EF為⊙O的直徑，將⊙O沿EF折疊，使點(diǎn)A與A′重合，點(diǎn)B與B′重合，連接EB′，EC，EA′．設(shè)EB′=b，EC=c，EA′=p．現(xiàn)探究b，c，p三者的數(shù)量關(guān)系：發(fā)現(xiàn)當(dāng)n=3時(shí)，p=b+c．請繼續(xù)探究b，c，p三者的數(shù)量關(guān)系：當(dāng)n=4時(shí)，p=；當(dāng)n=12時(shí)，p=（參考數(shù)據(jù)：sin15°=cos75°=6?24三、理論探究題7．【定義新知】如圖1，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，且在直徑AB的上方，若直徑AB上存在一點(diǎn)P，連接CP、DP，滿足∠APC=∠BPD（1）【問題探究】如圖2，AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB，D是BC上的一點(diǎn)，連接DE交AB于點(diǎn)P①∠CPD是CD的“幸運(yùn)角”嗎？請說明理由；②設(shè)CD所對的圓心角為n，請用含n的式子表示CD的“幸運(yùn)角”的度數(shù)；（2）【拓展延伸】如圖3，在（1）的條件下，若直徑AB=10，CD的“幸運(yùn)角”為90°，DE=8，求CE的長．8．【問題呈現(xiàn)】小華在一次學(xué)習(xí)過程中遇到了下面的問題：

點(diǎn)A為⊙O內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，確定點(diǎn)P的位置，使線段AP最長．（1）【問題解決】以下是小華的方法：

如圖①，連結(jié)AO并延長交⊙O于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求．

理由如下：在⊙O上取點(diǎn)P'(異于點(diǎn)P)，連結(jié)AP'、OP'．

接下來只需證明AP>AP'．

請你補(bǔ)全小華的證明過程．（2）【類比結(jié)論】點(diǎn)A為⊙O外一定點(diǎn)，點(diǎn)P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)⊙O的半徑為r，AO的長為m，則線段AP長度的最大值為，線段AP長度的最小值為.(用含r、m的代數(shù)式表示)（3）【拓展延伸】如圖②，在半圓O中，直徑AB的長為10，點(diǎn)D在半圓O上，AD=6，點(diǎn)C在BD上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)AC，H是AC上一點(diǎn)，且∠DHC=90°，連結(jié)BH.在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過程中，線段BH長度的最小值為．9．定義：當(dāng)點(diǎn)P在射線OA上時(shí)，把OPOA的值叫做點(diǎn)P在射線OA上的射影值；當(dāng)點(diǎn)P不在射線OA上時(shí)，把射線OA上與點(diǎn)P最近點(diǎn)的射影值，叫做點(diǎn)P在射線OA例如：如圖1，△OAB三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，BP是OA邊上的高，則點(diǎn)P和點(diǎn)B在射線OA上的射影值均為OPOA（1）在△OAB中，①點(diǎn)B在射線OA上的射影值小于1時(shí)，則△OAB是銳角三角形；②點(diǎn)B在射線OA上的射影值等于1時(shí)，則△OAB是直角三角形；③點(diǎn)B在射線OA上的射影值大于1時(shí)，則△OAB是鈍角三角形．其中真命題有▲．A．①②B．①③C．②③D．①②③（2）已知：點(diǎn)C是射線OA上一點(diǎn)，CA＝OA＝1，以〇為圓心，OA為半徑畫圓，點(diǎn)B是⊙O上任意點(diǎn)．①如圖2，若點(diǎn)B在射線OA上的射影值為12．求證：直線BC是⊙O②如圖3，已知D為線段BC的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D在射線OA上的射影值為x，點(diǎn)D在射線OB上的射影值為y，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．10．（1）知識重現(xiàn)：如圖1，我們已經(jīng)分三種情況探究了一條弧所對的圓周角∠BAC和它所對的圓心角∠BOC的數(shù)量關(guān)系．圖1①直接寫出∠BAC和∠BOC的數(shù)量關(guān)系▲．②任選一種情況進(jìn)行證明．（2）遷移應(yīng)用：如圖2，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，直線DE是⊙O圖211．綜合探究（一）新知學(xué)習(xí)：人教版數(shù)學(xué)九年級上教材第119頁《探究四點(diǎn)共圓的條件》發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊新內(nèi)接于圓（即如果四邊形EFGH的對角互補(bǔ)，那么四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)E、F、G、H都在同個(gè)圓上）．（二）問題解決：已知⊙O的半徑為2，AB，CD是⊙O的直徑，P是BC上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AB，（1）若直徑AB⊥CD（如圖1），在點(diǎn)P（不與B、C重合）從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，MN的長是否為定值，若是，請并求出其定值；若不是，請說明理由．（2）若直徑AB與CD相交成120°角，當(dāng)點(diǎn)P（不與B、C重合）從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C的過程中（如圖2），證明MN的長為定值．（3）試問當(dāng)直徑AB與CD相交成多少度角時(shí)，MN的長取最大值，并寫出其最大值．12．（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在同一直線上，若∠A=∠B=∠EFC，求證：△AFE（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，AB是半圓⊙O的直徑，弦長AC=BC=4，E，F(xiàn)分別是AC，AB上的一點(diǎn)，∠CFE=45°（3）【拓展提高】已知D是等邊△ABC邊AB上的一點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC和BC上.如圖3，如果13．先閱讀材料，再解答問題：小明同學(xué)在學(xué)習(xí)與圓有關(guān)的角時(shí)了解到：在同圓或等圓中，同弧（或等?。┧鶎Φ膱A周角相等．如圖1，點(diǎn)A，B，C，D均為⊙O上的點(diǎn)，則有∠C=∠D．小明還發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn)E在⊙O外，且與點(diǎn)D在直線AB同側(cè)，則有請你參考小明得出的結(jié)論，解答下列問題：問題：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，10)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0（1）在圖2中作出△ABC的外接圓（保留必要的作圖痕跡，不寫作法），并求出此圓與x（2）點(diǎn)P為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，當(dāng)∠APB達(dá)到最大時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)P14．有關(guān)阿基米德折弦定理的探討與應(yīng)用（1）[問題呈現(xiàn)]阿基術(shù)德折弦定理：如圖①，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線AB-BC是圓的一條折弦），BC>AB，點(diǎn)M是ABC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC作垂線，垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=DB+BA．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=DB+BA的部分證明過程.證明：如圖②，在CD上截取CE=AB，連接MA、MB、MC和ME.∵M(jìn)是ABC的中點(diǎn)，∴MA=MC.……請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分.（2）[理解運(yùn)用]如圖③，△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長DO交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F.若AC=10，BC=4，則CF的長為（3）[實(shí)踐應(yīng)用]如圖④，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，且∠ABD=45°，連接CD.若AB=2，則△BDC的周長為15．定義：兩個(gè)角對應(yīng)互余，且這兩個(gè)角的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形叫做“青竹三角形”.如圖甲所示，在△ABC和△DEF中，若∠A+∠E=∠B+∠D=90°，且（1）下列四邊形中，一定能被一條對角線分成兩個(gè)“青竹三角形”的是.(填序號)①平行四邊形②矩形③菱形④正方形（2）如圖乙所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)（3）如圖丙所示，⊙O的半徑為4，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且△ABC①求AD②若∠BAC=∠ACD，∠ABC=75°，求16．若凸四邊形的兩條對角線所夾銳角為60°，我們稱這樣的凸四邊形為“美麗四邊形”．（1）①在“平行四邊形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美麗四邊形”的有；②若矩形ABCD是“美麗四邊形”，且AB=1，則BC=；（2）如圖1，“美麗四邊形”ABCD內(nèi)接于⊙O，AC與BD相交于點(diǎn)P，且對角線AC，為直徑，AP=2，PC=8，求另一條對角線BD（3）如圖2，平面直角坐標(biāo)系中，已知“美麗四邊形”ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A(?2，0)，C(1，0)，B在第三象限，D在第一象限，AC與BD交于點(diǎn)O，且四邊形ABCD的面積為6317．（1）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，則銳角∠APB的大小為（2）【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P在AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)PA、PB、PC．求證：PB=PA+PC．小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連結(jié)BE，通過證明△PBC≌△下面是小明的部分證明過程：證明：延長PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連結(jié)BE，∵四邊形ABCP是⊙O∴∠BAP+∠BCP=180°．∵∠BAP+∠BAE=180°∴∠BCP=∠BAE．∵△ABC∴BA=BC，∴請你補(bǔ)全余下的證明過程．（3）【應(yīng)用】如圖③，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)P在⊙O上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在AC的兩側(cè)，連結(jié)PA、PB、PC．若PB=218．（1）【證明體驗(yàn)】如圖1，⊙O是等腰△ABC的外接圓，AB＝AC，在AC上取一點(diǎn)P，連結(jié)AP，BP，CP．求證：∠APB＝∠PAC+∠PCA；（2）【思考探究】如圖2，在（1）條件下，若點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，AB＝6，PB＝5，求PA的值；（3）【拓展延伸】如圖3，⊙O的半徑為5，弦BC＝6，弦CP＝5，延長AP交BC的延長線于點(diǎn)E，且∠ABP＝∠E，求AP?PE的值．19．如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D、M均為格點(diǎn).（1）【操作探究】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，佳佳同學(xué)在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段AB、CD，相交于點(diǎn)P并給出部分說理過程，請你補(bǔ)充完整：解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)E，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，分別是△ABC和△CDE.在Rt△ABC中，tan在Rt△CDE中，，所以tan∠所以∠BAC=∠DCE.因?yàn)椤螦CP+∠DCE=∠ACB=90°，所以∠ACP+∠BAC=90°，所以∠APC=90°，即AB⊥CD.（2）【拓展應(yīng)用】如圖②是以格點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在BM上找出一點(diǎn)P，使PM=（3）【拓展應(yīng)用】如圖③是以格點(diǎn)O為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦AB上找出一點(diǎn)P.使AM2=AP·20．【問題提出】如圖1，⊙O與直線a相離，過圓心O作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙O于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間）．我們把點(diǎn)P稱為⊙O關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把PQ?PH的值稱為⊙（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，4)，過點(diǎn)E畫垂直于y軸的直線m，則半徑為1的⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”坐標(biāo)是，直線m（2）在（1）的條件下求⊙O關(guān)于直線m（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)M(65，0)，與y軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)F坐標(biāo)為(1，2)，以F為圓心，OF為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，O是21．閱讀資料：如圖1，在平面之間坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由勾股定理得AB2=|x2?x1問題拓展：如果圓心坐標(biāo)為P(a，b)，半徑為r綜合應(yīng)用：如圖3，⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O，P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，6)，A是⊙P上一點(diǎn)，連接OA，使tan∠POA=34，作PD⊥OA，垂足為D（1）求證AB是⊙P（2）是否存在到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等的點(diǎn)Q？若存在，求Q點(diǎn)坐標(biāo)，并寫出以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙O22．如圖（1）【根底鞏固】如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD=∠（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DC上的點(diǎn)，且△EAF=12△BAD，射線AE交DC的延長線與點(diǎn)M，射線AF求：①CM的長；②FN的長.（3）【拓展進(jìn)步】如圖3，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，以點(diǎn)B23．閱讀材料，某個(gè)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)：在等腰△ABC中，AD平分∠BAC，∵AB=AC，BD=CD，∴ABAC【證明猜想】如圖1所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，求證：丹丹認(rèn)為，可以通過構(gòu)造相似三角形的方法來證明；思思認(rèn)為，可以通過比較△ABD和△（1）請你從上面的方法中選擇一種進(jìn)行證明.（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，⊙O是Rt△ABC的外接圓，點(diǎn)E是⊙O上一點(diǎn)（與B不重合，且AB=AE，連結(jié)AE（3）【拓展提高】如圖3，在（2）的條件下，延長BH交⊙O于點(diǎn)F，若BE=EF，GH=x，求⊙24．請閱讀材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).在數(shù)學(xué)探究課上，同學(xué)們在探索與圓有關(guān)的角的過程中發(fā)現(xiàn)這些角的兩邊都與圓相交，不斷改變頂點(diǎn)的位置，可形成無數(shù)個(gè)角，而根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系可將這些角分為三類，分別是頂點(diǎn)在圓上、圓外和圓內(nèi)的角結(jié)合教學(xué)課上學(xué)習(xí)的圓周角的概念，對頂點(diǎn)在圓外和圓內(nèi)的角進(jìn)行定義：頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交的角叫做圓外角.頂點(diǎn)在圓內(nèi)，兩邊都與圓相交的角叫做圓內(nèi)角，如圖1，∠AP1B和∠A如圖2，點(diǎn)A，B在⊙O上，∠APB為AB所對的一個(gè)圓外角.AP，BP分別交⊙O于點(diǎn)C，解：如圖2，連接AD，∵∠ADB是AB所對的圓周角，且∠AOB=120°∴∠ADB=1…任務(wù)：（1）如圖1，在探究與圓有關(guān)的角時(shí)，運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法是：____；A．公理化思想 B．分類討論 C．?dāng)?shù)形結(jié)合（2）將勤奮小組的解題過程補(bǔ)充完整；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)，∠APB是AB所對的一個(gè)圓內(nèi)角，延長AP交⊙O于點(diǎn)C，延長BP交⊙O于點(diǎn)D，若設(shè)∠AOB=m°，CD所對的圓心角為四、實(shí)踐探究題25．小學(xué)階段，我們了解到圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有的點(diǎn)組成的圖形叫做圓。在一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師手拿著三個(gè)正方形硬紙板和幾個(gè)不同的圓形的盤子，他向同學(xué)們提出了這樣一個(gè)問題：已知手中圓盤的直徑為13cm，手中的三個(gè)正方形硬紙板的邊長均為5cm，若將三個(gè)正方形紙板不重疊地放在桌面上，能否用這個(gè)圓盤將其蓋??？問題提出后，同學(xué)們七嘴八舌，經(jīng)過討論，大家得出了一致性的結(jié)論是：本題實(shí)際上是求在不同情況下將三個(gè)正方形硬紙板無重疊地適當(dāng)放置，圓盤能蓋住時(shí)的最小直徑.然后將各種情形下的直徑值與13cm（1）通過計(jì)算，在圖1中圓盤剛好能蓋住正方形紙板的最小直徑應(yīng)為cm.（填準(zhǔn)確數(shù)（2）圖2能蓋住三個(gè)正方形硬紙板所需的圓盤最小直徑為cm，圖3能蓋住三個(gè)正方形硬紙板所需的圓盤最小直徑為cm.（填準(zhǔn)確數(shù)）（3）拓展：按圖4中的放置，三個(gè)正方形放置后為軸對稱圖形，當(dāng)圓心O落在GH邊上時(shí)，圓的直徑是多少，請你寫出該種情況下求圓盤最小直徑的過程，并判斷是否能蓋住.（計(jì)算中可能用到的數(shù)據(jù)，為了計(jì)算方便，本問在計(jì)算過程中，根據(jù)實(shí)際情況最后的結(jié)果可對個(gè)別數(shù)據(jù)取整數(shù)）26．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問題：如圖，已知三只螞蟻A、B、C在半徑為1的⊙O上靜止不動(dòng)，第四只螞蟻P在⊙O上的移動(dòng)，并始終保持（1）請判斷△ABC的形狀；“數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請你回答這個(gè)結(jié)論：△ABC是（2）“數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵丳在⊙O上的移動(dòng)時(shí)，線段PA、PB、PC三者之間存在一種數(shù)量關(guān)系：請你寫出這種數(shù)量關(guān)系：▲（3）“數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻M同時(shí)隨著螞蟻P的移動(dòng)而移動(dòng)，且始終位于線段PC的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段BM的長度一定存在最小值，請你求出線段BM的最小值是（不寫解答過程，直接寫出結(jié)果）．27．【定義】從一個(gè)已知圖形的外一點(diǎn)引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點(diǎn)，則這兩條射線所成的最大角稱為該點(diǎn)對已知圖形的視角，如圖①，∠APB是點(diǎn)P對線段AB（1）【應(yīng)用】

如圖②，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，3)，B(2（2）如圖③，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O，半徑為2畫圓O1，以原點(diǎn)O，半徑為4畫圓O2，證明：圓O2（3）【拓展應(yīng)用】

很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標(biāo)志性建筑拍照，如圖④．現(xiàn)在有一條筆直的天橋，標(biāo)志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍攝．現(xiàn)以建筑的中心為原點(diǎn)建立如圖⑤的坐標(biāo)系，此時(shí)天橋所在的直線的表達(dá)式為x=?5，正方形建筑的邊長為4，請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標(biāo)．28．小輝同學(xué)觀看2022卡塔爾世界杯時(shí)發(fā)現(xiàn)，優(yōu)秀的球員通常都能選擇最優(yōu)的點(diǎn)射門（僅從射門角度大小考慮）．這引起了小輝同學(xué)的興趣，于是他展開了一次有趣的數(shù)學(xué)探究．【提出問題】如圖所示．球員帶球沿直線BC奔向球門PQ，探究：是否存在一個(gè)位置，使得射門角度最大．【分析問題】因?yàn)榫€段PQ長度不變，我們聯(lián)想到圓中的弦和圓周角．如圖1，射線BC與⊙O相交，點(diǎn)M，點(diǎn)A，點(diǎn)N分別在圓外、圓上、圓內(nèi)，連接NP【解決問題】（1）如圖1，比較∠PMQ、∠PAQ、（2）如圖2，點(diǎn)A是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A不與點(diǎn)B重合）．證明：當(dāng)△APQ的外接圓⊙O與射線BC相切時(shí)，（3）【延伸拓展】在（2）的條件下，如果PQ=4，PB=5，tanB=2．當(dāng)29．【閱讀理解】：如圖，在Rt△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，∠C=90°，其外接圓半徑為R．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：sinA=ac，sin（1）【探究活動(dòng)】：如圖，在銳角△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，其外接圓半徑為R，那么：asinA（2）【初步應(yīng)用】：事實(shí)上，以上結(jié)論適用于任意三角形．在∠ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．已知∠B=30°，∠C=45°，（3）【綜合應(yīng)用】：如圖，在某次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小瑩同學(xué)測量一棟樓AB的高度，在A處用測角儀測得地面點(diǎn)C處的俯角為45°，點(diǎn)D處的俯角為15°，B，C，D在一條直線上，且C，D兩點(diǎn)的距離為100m，求樓AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.730．【問題探究】（1）如圖1，在菱形ABCD中，AB=3，AF⊥BC于點(diǎn)F，F(xiàn)C=2，AF與DB交于點(diǎn)N，則FN的長為（2）如圖2，點(diǎn)M是正方形ABCD對角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接BM，AH⊥BM于點(diǎn)H，連接CH．若AB=2，在M點(diǎn)從C到A的運(yùn)動(dòng)過程中，求（3）【問題解決】

如圖3，某市欲規(guī)劃一塊形如矩形ABCD的休閑旅游觀光區(qū)，其中AB=800米，BC=600米，點(diǎn)E、F是觀光區(qū)的兩個(gè)入口（點(diǎn)E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)），P，Q分別在線段AE，CF上，設(shè)計(jì)者欲從P到Q修建綠化帶PQ，從B到H修建綠化帶BH，綠化帶寬度忽略不計(jì)，且滿足FQ=2PE，點(diǎn)H在PQ上，BH⊥PQ．為了方便市民游覽，計(jì)劃從D到H修建觀光通道

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】166．【答案】c+2b；c+6+7．【答案】（1）解：①∠CPD是CD的“幸運(yùn)角”．理由：∵AB是⊙O的直徑，弦∴EF=CF，∴∠CPA=∠EPA．∵∠DPB=∠EPA∴∠DPB=∠CPA，∴∠CPD是CD的“幸運(yùn)角”．②∵CD所對的圓心角為n∴∠CED=n∵PC=PE∴∠CED=∠ECP=n∴∠CPD=∠CED+∠ECP=n，∴CD的“幸運(yùn)角”的度數(shù)為n（2）解：連接CO，∵CD的“幸運(yùn)角”為90°∴∠CPD=∠CPE=90°．由（1）知PE=PC，∴∠CED=45°，則∠COD=90°．∵AB=10∴OC=OD=5，∴CD=5設(shè)PE=PC=x，則PD=8?x，∴x解得：x1∴CE=12+8．【答案】（1）解：如圖①，連結(jié)AO并延長交⊙O于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求．

理由如下：在⊙O上取點(diǎn)P'(異于點(diǎn)P)，連結(jié)AP'、OP'．

在△AOP'AOP中，OA+OP'>APAP'，

∵OP=OP'，

∴OA+OP>AP'，

即AP>AP'；（2）m+r；m-r（3）739．【答案】（1）C（2）解：①如圖2，作BH⊥OC于點(diǎn)H，

∵點(diǎn)B在射線OA上的射影值為12，

∴OHOC=12，OBOC=12，CA＝OA＝OB＝1，

∴OHOB=OBOC，

又∵∠BOH＝∠COB，

∴△BOH∽△COB，

∴∠BHO＝∠CBO＝90°，

∴BC⊥OB，

∴直線BC是⊙O的切線；

10．【答案】（1）解：①猜想：∠BAC=1②證明：情況1，作直徑AD，∵OA=OB，∴∠1=∠3，∴∠BOD=∠1+∠3=2∠1，同理∠COD=2∠2，∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAC，∴∠BAC=1（情況1）（情況2）（情況3）情況2，當(dāng)點(diǎn)O在∠BAC的一邊時(shí)，∵OA=OC，∴∠1=∠2，由外角可得，∠BOC=∠1+∠2，∴∠BOC=2∠1，∴∠1=12∠BOC情況3，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠BOD=∠OAB+∠OBA=2∠OAB，同理∠COD=2∠DAC，∴∠BOC=∠COD?∠BOD=2∠DAC?2∠OAB=2∠BAC，∴∠BAC=三種情況任選一種（2）解：作直徑AF，交⊙O∵DE為⊙O的切線，∴OA⊥DE，∴∠CAE+∠FAC=90°∵AF為⊙O的直徑，∴∠ACF=90°，∴∠AFC+∠FAC=90°∴∠AFC=∠CAE，∵∠CBA=∠AFC，∴∠CAE=∠ABC11．【答案】（1）如圖1，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四邊形PMON是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的長為定值，該定值為2；（2）設(shè)四邊形PMON的外接圓為⊙O'，連接交⊙O'于點(diǎn)Q，連接則有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∴MN=QN·sin∴MN=OP·sin∴MN是定值．（3）由（2）得MN=OP·sin當(dāng)直徑AB與CD相交成90°角時(shí)，∠MQN=180°?90°=90°，MN取得最大值2．12．【答案】（1）證明：∵∠A=∠EFC，∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB∴∠E=∠CFB∵∴（2）解：∵AB是⊙O∴∠ACB=9∴AB=∵∴∠A=∠B=4∴∠A=∠B=∠CFE=4由（1）可得△AFE∽△BCF，∴即y△AFE∽△BCF，∴y=?（3）解：連接DE，DF，∵△EFC與△∴∠EDF=∠ECF=60∵∵∴∠BDF=∠DEA∴設(shè)AD=x，∵∴DB=nx∴AB=(∴AE=nx?a，∵△∴∴a由前兩項(xiàng)得，nax=b[(n+1由后兩項(xiàng)得，[(n+1∴(∴(解得，a=n由①得ab=∴CE13．【答案】（1）解：△ABC的外接圓如下圖所示，過圓心G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，連接GB、GC由作圖可知GN垂直平分AB，∴∠GNO=∠GHO=∠NOH=90°，∴四邊形GHON為矩形，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，10)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為∴OB=4，OA=10，OC=2，∵GN垂直平分AB，∴BN=1∴ON=OB+BN=7，∵四邊形GHON為矩形，∴OH=GN，GH=ON=7，在Rt△GNB中，G在Rt△GHC中，G∵GB=GC，∴BN設(shè)CH長為x，則32解得x=9，∴CH=9，∴CK=2CH=18，∴OK=OC+CK=20，∴K(即此圓與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(20（2）解：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(214．【答案】（1）解：∵∠A=∠C，MB=CE，

∴△MAB≌△MCE，

∴MB=ME，

∵M(jìn)D⊥BC，

∴BD=DE，

∴CE+DE=AB+BD，

∴CD=DB+BA.（2）3（3）215．【答案】（1）②④（2）解：△ACD與△BCD是“青竹三角形”，c2=a2+b22，理由如下：

過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠B=90°，又CD=CD，

∴△ACD與△BCD是“青竹三角形”；

∵AD=a，BD=b，∴AB=AD+BD=a+b，

∵∠ACB=90°，AC=BC，CH⊥AB，

∴AH=BH=12AB=12（a+b）=CH，

∴DH=BD-BH=b-a+b2=b-a2，

在Rt△CDH中，∵DH（3）解：①連接DO并延長交圓O于點(diǎn)E，連接AE、CE，

∵△ABC與△ADC是“青竹三角形”，

∴∠ACD+∠BAC=90°，

∵DE是圓O的直徑，

∴∠EAD=90°，

∴∠AED+∠ADE=90°，

又∵弧AE=弧AE，弧AD=弧AD，

∴∠ADE=∠ACE，∠AED=∠ACD，

∴∠AED+∠BAC=∠ACD+∠BAC=90°，∠AED+∠ACE=∠AED+∠ADE=90°，

∴∠BAC=∠ACE，

又∵弧AC=弧AC，

∴∠AEC=∠ABC，

在△AEC與△CBA中，

∵∠AEC=∠ABC，∠BAC=∠ACE，AC=CA，

∴△AEC≌△CBA（AAS），

∴AE=BC，

在Rt△EAD中，AD2+AE2=DE2=82=64，

∴AD2+BC2=AD2+AE2=64，

即AD2+BC2的值為64；

②連接DO并延長交圓O于點(diǎn)E，連接AE、CE，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，

∵∠BAC=∠ACD，

∴AD=BC，

由①知∠BAC=∠ACE，

∴∠ACE=∠ACD=12∠ECD=45°，

∴∠BAC=45°，

∵∠ABC=75°，

∴∠ACB=60°，

∵△ABC與△ADC是“青竹三角形”，

∴∠CAD=90°-∠ACB=30°，

∵弧CD=弧CD，

∴∠DEC=30°，

∴CD=12DE=4，

∵弧AE=弧AE，

∴∠ADE=∠ACE=45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AD=DE2=42，

∴BC=AD=42，

在Rt△BCF中，BF=BC·sin∠ACB=42×sin16．【答案】（1）菱形、正方形；3或3（2）解：過O點(diǎn)作OH⊥BD，連接OD，∴∠OHP=∠OHD=90°，BH=DH=1∵AP=2，PC=8∴⊙O直徑∴OA=OC=OD=5，∴OP=OA?AP=5?2=3，∵四邊形ABCD是“美麗四邊形”，∴∠OPH=60°，在Rt△OPH中，∴OH=3在Rt△ODH中，∴BD=2DH=73（3）解：過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，∴∠BMO=∠DNO=90°，∵四邊形ABCD是“美麗四邊形”，∴∠BOM=∠DON=60°，∴tan即yD∴直線BD解析式為y=3∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)A(?2，即與x軸交點(diǎn)為A、C，∴用交點(diǎn)式設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(∵y=a(x+2∴xB+∴(∵S∴3∴x∴(解得：a1=?∴a的值為：?17．【答案】（1）45（2）解：延長PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連結(jié)BE，∵四邊形ABCP是⊙O∴∠BAP+∠BCP=180°．∵∠BAP+∠BAE=180°∴∠BCP=∠BAE．∵△ABC∴BA=BC，∴△∴PB=EB，∠PBC=∠EBA，∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△∴PB=PE，∴PB=PE=PA+AE=PA+PC，即PB=PA+PC；（3）218．【答案】（1）證明：∵AB＝AC，∴AB=∴∠APB＝∠ABC．∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABP＝∠ACP，∠CBP＝∠PAC，∴∠ABC＝∠PAC+∠PCA．∴∠APB＝∠PAC+∠PCA．（2）解：延長BP至點(diǎn)D，使PD＝PC，連接AD，如圖，∵點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，∴PA=∴PA＝PC，∠ABP＝∠CBP．∴PA＝PD．∴∠D＝∠PAD．∴∠APB＝∠PAD+∠D＝2∠PAD．∵AB＝AC，∴AB=∴∠APB＝∠ABC．∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP＝2∠ABP，∴∠PAD＝∠ABP．∵∠D＝∠D，∴△DAP∽△DBA，∴PDAD∵∠D＝∠PAD，∠PAD＝∠ABP，∴∠D＝∠ABP．∴AD＝AB＝6．設(shè)PA＝x，則PD＝x，BD＝5+x，∴x6∴x2+5x﹣36＝0．解得：x＝4或﹣9（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）．∴PA＝4；（3）解：連接OP，OC，過點(diǎn)C作CH⊥BP于點(diǎn)H，如圖，∵⊙O的半徑為5，CP＝5，∴OP＝OC＝PC＝5，∴△OPC為等邊三角形．∴∠POC＝60°．∴∠PBC＝12在Rt△BCH中，BH＝BC?cos30°＝6×32＝33CH＝12在Rt△PCH中，PH＝PC∴PB＝PH+BH＝4+33．∵四邊形ABCP是圓的內(nèi)接四邊形，∴∠PCE＝∠BAP．∵∠E＝∠ABP，∴△EPC∽△BPA．∴PEBP∴AP?PE＝PC?BP＝5（4+33）＝20+153．19．【答案】（1）tan∠DCE=1（2）解：如圖中，點(diǎn)P即為所求，

作法：取個(gè)點(diǎn)T，連接AT交⊙O于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；

證明：由作圖可知，OM⊥AP，OM是半徑，

∴PM=AM（3）解：如圖中，點(diǎn)P即為所求，

作法：取各店J、K，連接JK交AB于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求。20．【答案】（1）（0，-1）；3或5（2）解：∵A(0∴AE=5，AB=2，∴⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)望數(shù)”=AE?AB=2×5=10（3）解：如圖，過F作FG⊥x軸，垂足為點(diǎn)G，連接OF并延長交直線l于P，交⊙F于點(diǎn)Q由題意得：OP⊥l．∵F坐標(biāo)為(1∴OF=5∴OQ=25∵O是OF關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，∴OP?OQ=125∴OP=6．∵∠FGO=∠OPN=90°，F(xiàn)G∥∴∠NOP=∠GFO，∴△OFG∴ONOF∴ON=35∴N設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，把N(0，35得b=35解得k=?1∴直線l的解析式為y=?121．【答案】（1）證明：∵PO和PA都是⊙P∴PO=PA．∴△POA是等腰三角形．∵PD⊥OA，∴∠OPD=∠APD．∵BP是△POB和△PAB的公共邊，∴△∴∠POB=∠PAB．∵⊙P與x軸相切于原點(diǎn)O∴∠POB=90°．∴∠PAB=90°．∴AB是⊙P（2）解：存在，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等．如下圖所示，連接QO，QA，過點(diǎn)Q作QH⊥OB于H．∵Q是線段BP的中點(diǎn)，∠POB=∠PAB=90°，∴QO=QP=QA=QB．∴當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q到四點(diǎn)O，P，A，B距離都相等．∵∠POB=90°，PD⊥OA∴∠DPO+∠OBP=90°，∠POA+∠DPO=90°．∴∠OBP=∠POA．∵tan∠POA=∴tan∵P點(diǎn)坐標(biāo)為(∴OP=6．∴OB=OP∵點(diǎn)Q是線段BP的中點(diǎn)，∴BQBP∵∠POB=90°，QH⊥OB，∴QH∥∴△∴HQ∴HQ=12OP=3∴OH=OB?HB=4．∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4∴OQ=O∴以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的⊙P的方程為(22．【答案】（1）證明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，

∴△ADC∽△ACB，

∴ADAC=ACAB，

（2）解：①如圖，連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，∠BAC=12∠BAD，

∴∠BAE=∠CME，

又∵∠EAF=12∠BAD，

∴∠CME=∠CAF，

又∵∠CFA=∠AFM，

∴△CFA∽△AFM，

∴AFCF=MFAF，

∴AF2=CF·MF，

∵AF=4，CF=2，

∴MF=8，

∴CM=MF-CF=8-2=6；

②由△CFA∽△AFM，可得ACAM=AFMF，即AC10=48，解得AC=5，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，∠BCA=∠DCA，

∴∠BAE=∠CME，∠MCA=∠ACN，

又由①可知：∠CME=∠CAF，

∴△MCA∽△ACN，

∴MCAC=AM（3）解：解：如圖，連接PB，在BC上截取BE，使得BE=12BP=32，并連接PE，

∵菱形ABCD，AB=6，圓B的半徑為3，

∴BP=12BC=3，

又∵∠PBE=∠CBP，

∴△PBE∽△CBP，

∴PE=12PC，

∴PD+12PC=PD+PE，

∴當(dāng)P、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，PD+PE最小，最小為ED，

∴PD+12PC的最小值為ED的長，

連接DE，過點(diǎn)D作DF⊥BC的延長線于點(diǎn)F，

∵∠ABC=60°，

∴∠DCF=60°，

∴CF=3，DF=33，

∴EF=EC+CF=6-32+3=152，

∴ED=EF2+DF23．【答案】（1）解：選丹丹方法，丹丹認(rèn)為，可以通過構(gòu)造相似三角形的方法來證明；證明：延長AD交過點(diǎn)C與AB平行的直線交于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵CE∥AB，∴∠BAD=∠CED=∠CAD，∴AC=EC，∵AB∥CE，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC∴ABAC選擇思思方法：思思認(rèn)為，可以通過比較△ABD和△證明：過點(diǎn)D作PD⊥AB，DQ⊥AC于點(diǎn)P，Q，∵AD平分∠BAC，PD⊥AB，DQ⊥AC∴PD=DQ，∴S△又∵S△∴ABAC（2）解：連接CE，∵⊙O是Rt△∴AC為⊙O∴∠AEC=90°，在Rt△ABC和Rt△AEC中，AB=AEAB=AB∴Rt△ABC≌Rt△AEC（HL），∴∠BAC=∠EAC，即AC為∠BAE∴HGGB又∵H為AE的中點(diǎn)，∴AH=12∴AHAB（3）解：作BN⊥AE交AE于點(diǎn)N，設(shè)BE交AC于M，∵BE=EF，∴∠F=∠EBH，∵∠BAE=∠BFE，∴∠HBE=∠BAE，∵∠HEB=∠BEA，∴△HBE∴ABBH∵AB=AE，∴BH=BE，又∵GH=x，由（2）知BG=2GH=2x，∴BH=BE=3x，∴HEBE∴2HE3x∴HE=3∴AB=AE=2HE=32∵BN⊥AD，BH=BE，∴HN=NE=12HE=3∴BN=BE在Rt△BEN中，在Rt△ABD中，即⊙O的直徑為1224．【答案】（1）B（2）解：如圖2，連接AD∵∠ADB是A