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第一節(jié)數(shù)列(shùliè)的概念第一頁(yè),共50頁(yè)。第一節(jié)數(shù)列(shùliè)的概念第一頁(yè),共50頁(yè)。內(nèi)容要求A

B

C

數(shù)列的概念√…………三年1考高考(ɡāokǎo)指數(shù):★★第二頁(yè),共50頁(yè)。要求ABC數(shù)列的概念√…………三年1考高考1.數(shù)列(shùliè)的定義、分類與通項(xiàng)公式(1)數(shù)列(shùliè)的定義①按照__________排列的一列數(shù)稱為數(shù)列(shùliè),數(shù)列(shùliè)中的每個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列(shùliè)的____.②數(shù)列(shùliè)是特殊的函數(shù),它的特殊性主要體現(xiàn)在定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2,…,k}k∈N*).一定(yīdìng)次序項(xiàng)第三頁(yè),共50頁(yè)。1.數(shù)列(shùliè)的定義、分類與通項(xiàng)公式一定(yīdì(2)數(shù)列的分類根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以(kěyǐ)將數(shù)列分為兩類:有窮數(shù)列——項(xiàng)數(shù)______的數(shù)列;無(wú)窮數(shù)列——項(xiàng)數(shù)______的數(shù)列.有限(yǒuxiàn)無(wú)限(wúxiàn)第四頁(yè),共50頁(yè)。(2)數(shù)列的分類有限(yǒuxiàn)無(wú)限(wúxiàn)第(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式①如果數(shù)列{an}的_______與______之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做(jiàozuò)這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.②數(shù)列的表示方法第n項(xiàng)序號(hào)n通項(xiàng)公式(gōngshì)法列表(lièbiǎo)法圖象法第五頁(yè),共50頁(yè)。(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式第n項(xiàng)序號(hào)n通項(xiàng)公式(gōngshì)法(1)思考:數(shù)列的通項(xiàng)公式是惟一(wéiyī)的嗎?是否每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式?提示:不惟一(wéiyī),如數(shù)列-1,1,-1,1,…的通項(xiàng)公式可以是an=(-1)n(n∈N*),也可以是有的數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式.【即時(shí)(jíshí)應(yīng)用】第六頁(yè),共50頁(yè)。(1)思考:數(shù)列的通項(xiàng)公式是惟一(wéiyī)的嗎?是否每個(gè)(2)判斷下列說(shuō)法是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫“√”或“×”)①數(shù)列(shùliè)1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}.()②數(shù)列(shùliè)1,0,-1,-2與數(shù)列(shùliè)-2,-1,0,1是相同的數(shù)列(shùliè).()③數(shù)列(shùliè)的第k項(xiàng)為()④數(shù)列(shùliè)0,2,4,6,…可記為{2n}.()第七頁(yè),共50頁(yè)。(2)判斷下列說(shuō)法是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫“√”或“×”)【解析】由數(shù)列的定義(dìngyì)可知①、②錯(cuò)誤;數(shù)列的第k項(xiàng)為故③正確;數(shù)列0,2,4,6,…的通項(xiàng)公式為an=2n-2,故④錯(cuò).綜上知,③正確;①,②,④錯(cuò)誤.答案:①×②×③√④×第八頁(yè),共50頁(yè)?!窘馕觥坑蓴?shù)列的定義(dìngyì)可知①、②錯(cuò)誤;數(shù)列(3)數(shù)列9,99,999,…的通項(xiàng)公式an=____.【解析(jiěxī)】9=10-1,99=102-1,999=103-1,…,∴an=10n-1.答案:10n-1第九頁(yè),共50頁(yè)。(3)數(shù)列9,99,999,…的通項(xiàng)公式an=____.第九2.數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任何一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示,即an=f(an-1)或an=f(an-1,an-2),那么(nàme)這個(gè)式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式.第十頁(yè),共50頁(yè)。2.數(shù)列的遞推公式第十頁(yè),共50頁(yè)。(1)已知數(shù)列(shùliè){an}中,a1=1,則a5=_____.(2)數(shù)列(shùliè){an}滿足a1=0,an+1=an+2n,則{an}的通項(xiàng)公式an=_____.【即時(shí)(jíshí)應(yīng)用】第十一頁(yè),共50頁(yè)。(1)已知數(shù)列(shùliè){an}中,a1=1,【解析(jiěxī)】(1)a1=1,(2)由已知,an+1-an=2n,故an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=0+2+4+…+2(n-1)=n(n-1).答案:(1)(2)n(n-1)第十二頁(yè),共50頁(yè)?!窘馕?jiěxī)】(1)a1=1,第十二頁(yè),共50頁(yè)。3.an與Sn的關(guān)系(guānxì)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則第十三頁(yè),共50頁(yè)。3.an與Sn的關(guān)系(guānxì)第十三頁(yè),共50頁(yè)。(1)數(shù)列(shùliè){an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+1,則an=_____.(2)數(shù)列(shùliè){an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,Sn=nan,則an=_____.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=n2-(n-1)2=2n-1,將n=1代入an=2n-1得a1=1≠2.【即時(shí)(jíshí)應(yīng)用】第十四頁(yè),共50頁(yè)。(1)數(shù)列(shùliè){an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+1,(2)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1,∴an=an-1(n≥2),又a1=1,∴an=1.答案(dáàn):(2)1第十五頁(yè),共50頁(yè)。(2)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)a已知數(shù)列(shùliè)的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列(shùliè)的通項(xiàng)公式【方法(fāngfǎ)點(diǎn)睛】求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí),要抓住以下幾個(gè)特征(1)分式中分子、分母的特征;(2)相鄰項(xiàng)的變化特征;(3)拆項(xiàng)后的特征;(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等,并對(duì)此進(jìn)行(jìnxíng)歸納、聯(lián)想.第十六頁(yè),共50頁(yè)。已知數(shù)列(shùliè)【例1】根據(jù)(gēnjù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)-1,7,-13,19,…(2)0.8,0.88,0.888,…(3)第十七頁(yè),共50頁(yè)。【例1】根據(jù)(gēnjù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出下列各數(shù)列的一個(gè)【解題(jiětí)指南】(1)從各項(xiàng)符號(hào)和各項(xiàng)絕對(duì)值的關(guān)系兩方面考慮.(2)從考慮數(shù)列0.8,0.88,0.888,…和數(shù)列0.9,0.99,0.999,…的關(guān)系著手.(3)分子規(guī)律不明顯,從考慮分子與分母的關(guān)系著手.第十八頁(yè),共50頁(yè)?!窘忸}(jiětí)指南】(1)從各項(xiàng)符號(hào)和各項(xiàng)絕對(duì)值的關(guān)【規(guī)范解答】(1)符號(hào)可通過(guò)(-1)n表示,后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面的數(shù)的絕對(duì)值大6,故其一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n(6n-5).(2)數(shù)列變?yōu)?3)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24,…,易看出(kànchū)第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)樵瓟?shù)列化為第十九頁(yè),共50頁(yè)?!疽?guī)范解答】(1)符號(hào)可通過(guò)(-1)n表示,后面的數(shù)的絕對(duì)值【反思·感悟】1.解答本題(3)時(shí)有兩個(gè)困惑:一是首項(xiàng)的符號(hào),二是各項(xiàng)分子規(guī)律不明顯(míngxiǎn).從分子與分母的關(guān)系入手,是解題的關(guān)鍵.2.歸納通項(xiàng)公式應(yīng)從以下四個(gè)方面著手:(1)觀察項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系;(2)符號(hào)與絕對(duì)值分別考慮;(3)分開(kāi)看分子、分母,再綜合看分子、分母的關(guān)系;(4)規(guī)律不明顯(míngxiǎn),適當(dāng)變形.第二十頁(yè),共50頁(yè)?!痉此肌じ形颉?.解答本題(3)時(shí)有兩個(gè)困惑:一是首項(xiàng)的符號(hào)【變式訓(xùn)練】根據(jù)數(shù)列(shùliè)的前幾項(xiàng),寫出各數(shù)列(shùliè)的一個(gè)通項(xiàng)公式.(1)3,5,7,9,….(2)(3)第二十一頁(yè),共50頁(yè)?!咀兪接?xùn)練】根據(jù)數(shù)列(shùliè)的前幾項(xiàng),寫出各數(shù)列(s【解析】(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù),∴an=2n+1.(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1,而分母組成(zǔchénɡ)數(shù)列21,22,23,24,….(3)各項(xiàng)負(fù)正相間,故通項(xiàng)公式中含有因式(-1)n,各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成(zǔchénɡ)數(shù)列{n},分子組成(zǔchénɡ)的數(shù)列中,奇數(shù)項(xiàng)為1,偶數(shù)項(xiàng)為3.即奇數(shù)項(xiàng)為2-1,偶數(shù)項(xiàng)為2+1.第二十二頁(yè),共50頁(yè)。【解析】(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù),∴an=2n+1.第二十【變式備選】根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng),寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(gōngshì).(1)2,5,8,11;(2)1,4,9,16.【解析】(1)由2=3×1-1;5=3×2-1;8=3×3-1;11=3×4-1;可推測(cè)an=3×n-1,即an=3n-1.(2)∵1=12,4=22,9=32,16=42,∴an=n2.第二十三頁(yè),共50頁(yè)?!咀兪絺溥x】根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng),寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式(gōn1.“累加法”求an已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即an-an-1=f(n),an-1-an-2=f(n-1),…,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2).所有等式左右兩邊(liǎngbiān)分別相加,代入a1得an.由遞推公式(gōngshì)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(gōngshì)【方法(fāngfǎ)點(diǎn)睛】第二十四頁(yè),共50頁(yè)。1.“累加法”求an由遞推公式(gōngshì)求數(shù)列的通項(xiàng)2.“累乘法”求an已知a1且可以用“累乘法”,即所有等式左右兩邊分別相乘,代入a1得an.【提醒】在求解(qiújiě)出通項(xiàng)公式后,記得驗(yàn)證a1是否滿足公式.第二十五頁(yè),共50頁(yè)。2.“累乘法”求an第二十五頁(yè),共50頁(yè)?!纠?】根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(1)a1=2,(2)a1=1,nan+1=(n+1)an.【解題指南】(1)求an-an-1,累加求和(qiúhé)并驗(yàn)證n=1的情形.(2)求累乘求積并驗(yàn)證n=1的情形.第二十六頁(yè),共50頁(yè)?!纠?】根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.第二十六頁(yè)【規(guī)范(guīfàn)解答】(1)∵∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1又a1=2適合上式,故an=2+lnn(n∈N*).第二十七頁(yè),共50頁(yè)?!疽?guī)范(guīfàn)解答】(1)∵第二十七頁(yè),共50頁(yè)。(2)∵a1=1,nan+1=(n+1)an,又a1=1適合(shìhé)上式,故an=n(n∈N*).第二十八頁(yè),共50頁(yè)。(2)∵a1=1,nan+1=(n+1)an,第二十八頁(yè),共【互動(dòng)探究】將本例(1)中改為其他(qítā)條件不變,如何求解?【解析】第二十九頁(yè),共50頁(yè)。【互動(dòng)探究】將本例(1)中∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1當(dāng)n=1時(shí),a1=2也適合(shìhé)上式,故第三十頁(yè),共50頁(yè)。∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a【反思·感悟】解答(jiědá)此類題目應(yīng)注意兩個(gè)方面的問(wèn)題:一是何時(shí)應(yīng)用“累加”或“累乘”法,可從所給遞推公式的結(jié)構(gòu)上分析.二是如何“累加”或“累乘”,這是求通項(xiàng)公式an的關(guān)鍵,應(yīng)注意對(duì)“累加”式或“累乘”式的變形.第三十一頁(yè),共50頁(yè)?!痉此肌じ形颉拷獯?jiědá)此類題目應(yīng)注意兩個(gè)方面的問(wèn)題【變式備選(bèixuǎn)】求出滿足條件a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*)的數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】由題意得,an-an-1=2n-3(n≥2),∴an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=0+1+3+…+(2n-5)+(2n-3)=(n-1)2,又a1=0適合上式,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=(n-1)2.第三十二頁(yè),共50頁(yè)?!咀兪絺溥x(bèixuǎn)】求出滿足條件a1=0,an+已知{an}的前n項(xiàng)和Sn,求an時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(wèntí)(1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用,分n=1和n≥2兩種情況討論;特別注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.(2)由Sn-Sn-1=an推得的an,當(dāng)n=1時(shí),a1也適合“an式”,則需統(tǒng)一“合寫”.已知Sn求an

【方法(fāngfǎ)點(diǎn)睛】第三十三頁(yè),共50頁(yè)。已知{an}的前n項(xiàng)和Sn,求an時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(wèntí(3)由Sn-Sn-1=an推得的an,當(dāng)n=1時(shí),a1不適合“an式”,則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段(fēnduàn)表示(“分寫”),即第三十四頁(yè),共50頁(yè)。(3)由Sn-Sn-1=an推得的an,當(dāng)n=1時(shí),a1不適【例3】已知數(shù)列(shùliè){an}的前n項(xiàng)和Sn,分別求它們的通項(xiàng)公式an.(1)Sn=2n2+3n;(2)Sn=3n+1.【解題指南】解決本題的關(guān)鍵是明確通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系,利用進(jìn)行求解.第三十五頁(yè),共50頁(yè)。【例3】已知數(shù)列(shùliè){an}的前n項(xiàng)和Sn,分別【規(guī)范(guīfàn)解答】(1)由題可知,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2×12+3×1=5,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1.當(dāng)n=1時(shí),4×1+1=5=a1,∴an=4n+1.(2)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=3+1=4,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.當(dāng)n=1時(shí),2×31-1=2≠a1,第三十六頁(yè),共50頁(yè)。【規(guī)范(guīfàn)解答】(1)由題可知,當(dāng)n=1時(shí),a1【反思·感悟】解答此類題目易犯的錯(cuò)誤是沒(méi)有分n=1和n≥2兩種情況(qíngkuàng)求解,而是直接根據(jù)an=Sn-Sn-1求得an.第三十七頁(yè),共50頁(yè)?!痉此肌じ形颉拷獯鸫祟愵}目易犯的錯(cuò)誤是沒(méi)有分n=1和n≥2兩【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,求下列(xiàliè)條件下數(shù)列的通項(xiàng)公式.(1)Sn=2·5n-2;(2)Sn=2×3n-1-1.第三十八頁(yè),共50頁(yè)?!咀兪接?xùn)練】已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,求下列(xiàl【解析(jiěxī)】(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2×5-2=8.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2·5n-2-2·5n-1+2=8·5n-1.∴當(dāng)n=1時(shí),8×51-1=8=a1,故an=8·5n-1.第三十九頁(yè),共50頁(yè)?!窘馕?jiěxī)】(1)當(dāng)n=1時(shí),第三十九頁(yè),共50(2)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2·3n-1-1-(2·3n-2-1)=2·3n-1-2·3n-2=2·3n-2·(3-1)=4·3n-2.當(dāng)n=1時(shí),故數(shù)列(shùliè){an}的通項(xiàng)公式為:第四十頁(yè),共50頁(yè)。(2)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,第四十頁(yè),共50頁(yè)?!疽族e(cuò)誤區(qū)】忽視(hūshì)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的范圍致誤【典例】(2011·大連模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=33,an+1-an=2n,則的最小值為_(kāi)____.【解題指南】先用“累加法”求出an,再根據(jù)的單調(diào)性求最小值.第四十一頁(yè),共50頁(yè)?!疽族e(cuò)誤區(qū)】忽視(hūshì)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n的范圍致誤第四十一【規(guī)范(guīfàn)解答】∵an+1-an=2n,∴an-an-1=2(n-1),∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(2n-2)+(2n-4)+…+2+33=n2-n+33(n≥2),又a1=33適合上式,∴an=n2-n+33,第四十二頁(yè),共50頁(yè)。【規(guī)范(guīfàn)解答】∵an+1-an=2n,∴an-令f′(x)=0得∴當(dāng)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)時(shí),f′(x)>0,即f(x)在區(qū)間(qūjiān)上遞減;在區(qū)間(qūjiān)上遞增.∴當(dāng)n=6時(shí),有最小值答案:第四十三頁(yè),共50頁(yè)。令f′(x)=0得第四十三頁(yè),共50頁(yè)?!鹃喚砣它c(diǎn)撥】通過(guò)閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié),我們可以得到(dédào)以下誤區(qū)警示和備考建議:誤區(qū)警示在解答本題時(shí),以下幾點(diǎn)容易出錯(cuò):(1)an求錯(cuò);(2)求的最小值時(shí),直接使用基本不等式,忽視了等號(hào)成立的條件;(3)求的最小值時(shí),誤認(rèn)為是n=5時(shí)的值最小.第四十四頁(yè),共50頁(yè)?!鹃喚砣它c(diǎn)撥】通過(guò)閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié),我們可以得到(déd備考建議解決此類數(shù)列問(wèn)題時(shí),還有以下幾點(diǎn)容易造成失分,在備考時(shí)要高度關(guān)注:(1)用“累加法”求an時(shí),不要忘記加上a1.(2)在用基本不等式求的最小值時(shí),由于等號(hào)成立的條件不滿足,故不能使用基本不等式求最小值,而應(yīng)借助函數(shù)的單調(diào)性求解.第四十五頁(yè),共50頁(yè)。解決此類數(shù)列問(wèn)題時(shí),還有以下幾點(diǎn)容易造成失

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