高中數(shù)學(xué)《3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算》課件-新人教A版選修2-2

復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法運(yùn)算1.解決復(fù)數(shù)問題的三種最基本思路是：(1)利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，即設(shè)z=a+bi(a,b∈R).(2)利用復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義.(3)利用復(fù)數(shù)模、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)等.2.記住以下結(jié)論可以提高運(yùn)算速度.(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;(1)(a+bi)2=a2+2abi-b2與(a+b)2=a2+2ab+b2的區(qū)別；(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2與(a+b)(a-b)=a2-b2的區(qū)別.防止實(shí)數(shù)中的相關(guān)公式與復(fù)數(shù)運(yùn)算混淆，造成計算錯誤.【例1】計算：(1)(1-i)2;【審題指導(dǎo)】復(fù)數(shù)的乘法直接利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則，類比多項(xiàng)式相乘進(jìn)行運(yùn)算；復(fù)數(shù)的除法一般分子分母乘以分母共軛復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算.【規(guī)范解答】(1)(1-i)2=(1-i)(1-i)=1-i-i+i2=1-i-i-1=-2i；(2)(3)方法一：方法二：【變式訓(xùn)練】1.復(fù)數(shù)的虛部是()(A)i(B)(C)-i(D)-【解析】選B.故選B.2.計算：【解析】共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用1.共軛復(fù)數(shù)的主要性質(zhì):(1)若z∈R則,反之亦然；(4)z是純虛數(shù)2.掌握共軛復(fù)數(shù)的概念注意兩點(diǎn)：(1)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：實(shí)部相等、虛部互為相反數(shù)；(2)幾何意義：在復(fù)平面內(nèi)，兩個共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱.虛部為零的兩個復(fù)數(shù)也叫共軛復(fù)數(shù).即【例2】設(shè)z1,z2∈C,問A與B是否可以比較大??？為什么？【審題指導(dǎo)】要想確定A,B是否可以比較大小，首先要確定A,B是不是實(shí)數(shù)，若都是實(shí)數(shù)則可以比較大小，若不全是實(shí)數(shù)則不能比較大小.常用的解決的辦法是設(shè)出代數(shù)形式進(jìn)行判斷.【規(guī)范解答】可以比較大小,原因如下：設(shè)z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R)則=a-bi，=c-di,∴A=z1·+z2·=(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi)=ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2=2ac+2bd∈R,B=z1·+z2·=|z1|2+｜z2｜2=a2+b2+c2+d2∈R.由于A,B都是實(shí)數(shù)，則可以比較大小.【互動探究】其他條件不變，能否用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)證明本題中A∈R？【解題提示】利用來證明z∈R.【解析】∵【例】設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z·+(1-2i)z+(1+2i)=3，求｜z｜的最值.【審題指導(dǎo)】利用等式的性質(zhì)，等式兩邊恰當(dāng)添(減)項(xiàng)，整體配項(xiàng)，巧妙求解，這種“配積”的技巧常常能使解題的過程簡捷.【規(guī)范解答】在z·+(1-2i)z+(1+2i)=3等式兩邊分別加上又∵∴z·+(1-2i)z+(1+2i)+()(1+2i)=8，∴(z+1+2i)(+)=8，∴(z+1+2i)()=8，即｜z+1+2i｜2=8，∴｜z+1+2i｜=,即｜z-(-1-2i)｜=，它在復(fù)平面內(nèi)表示以點(diǎn)(-1,-2)為圓心，以為半徑的圓.又｜-1-2i｜=，∴｜z｜的最大值是，最小值是【變式備選】已知z∈C，解方程z·-3i=1+3i.【解題提示】方法一：設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，代入原方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為方程組求解；方法二：取共軛復(fù)數(shù)，則解法更加簡捷.【解析】方法一：設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，代入原方程得(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i，∴x2+y2-3y-3xi=1+3i，∴解得或，∴z=-1或z=-1+3i.方法二：將z·-3i=1+3i①兩邊取共軛復(fù)數(shù)，得·z+3iz=1-3i，②②-①得=-2-z,代入①得z2+(2-3i)z+1-3i=0,即(z+1)(z+1-3i)=0,∴z=-1或z=-1+3i.虛數(shù)單位i的冪的周期性虛數(shù)單位i的周期性：(1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N*).(2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N).n也可以推廣到整數(shù)集.【例3】計算i1+i2+i3+…+i2012.【審題指導(dǎo)】本題中需求多個in和的值，求解時可考慮利用等比數(shù)列求和公式及in的周期性化簡；也可利用in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N)化簡.【規(guī)范解答】方法一：原式方法二：∵i1+i2+i3+i4=0,∴in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N),∴i1+i2+i3+…+i2012，=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2009+i2

010+i2

011+i2

012)=0.【變式訓(xùn)練】計算1+2i+3i2+…+2012i2

011.【解題提示】利用數(shù)列中的錯位相減法化簡求和.【解析】設(shè)S=1+2i+3i2+…+2012i2

011①①兩邊同乘以i得iS=i+2i2+3i3+…+2012i2

012，②①-②得(1-i)S=1+i+i2+i3+…+i2

011-2012i2

012復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合應(yīng)用1.注意復(fù)數(shù)與三角知識的綜合復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題最基本的也是最重要的思想方法，在解復(fù)數(shù)與三角知識綜合的有關(guān)問題時，也要注意實(shí)數(shù)化解決方法.2.復(fù)數(shù)模的主要性質(zhì):｜z｜=｜｜;｜zn｜=｜z｜n｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜+｜z2｜.【例】已知復(fù)數(shù)z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ，｜z1-z2｜=,求cos(α-β)的值.【審題指導(dǎo)】首先表示出｜z1-z2｜，其中就含有cos(α-β).【規(guī)范解答】∵z1-z2=(cosα+isinα)-(cosβ+isinβ)，=(cosα-cosβ)+i(sinα-sinβ)，【變式備選】已知復(fù)數(shù)z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+isinθ，其中0≤θ≤π，當(dāng)θ為何值時z1與z2共軛？【解題提示】復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)=a-bi.實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù).【解析】由z1與z2共軛知解sin2θ=cosθ得cosθ=0或sinθ=,∵0≤θ≤π,∴θ=或或.解cosθ=-sinθ得tanθ=,又∵0≤θ≤π,∴θ=,綜上所述，當(dāng)θ=時，z1與z2共軛.【典例】(12分)已知z是復(fù)數(shù)，z+2i,均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)(z+ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【審題指導(dǎo)】設(shè)出z的代數(shù)形式，利用已知條件求出z，再由(z+ai)2的對應(yīng)點(diǎn)在第一象限求出a的范圍.【規(guī)范解答】設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，則z+2i=x+yi+2i=x+(2+y)i由于z+2i是實(shí)數(shù)，則2+y=0，解得y=-2，…2分…………3分由于是實(shí)數(shù)，則，解得x=4，…………………5分∴z=4-2i，…………………6分∴(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i，…………8分由(z+ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限可得…………9分解得2＜a＜6，…………11分∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6).………12分【誤區(qū)警示】對解答本題時易犯的錯誤具體分析如下：【即時訓(xùn)練】(2011·贛州模擬)定義運(yùn)算則滿足的復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)在()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【解析】選D.z(1+i)-(1+2i)(1-i)=0即故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.1.i是虛數(shù)單位，1+i3等于()(A)i(B)-i(C)1+i(D)1-i【解析】選D.∵i3=i2·i=-i,∴1+i3=1-i.2.若復(fù)數(shù)z=1+i,i為虛數(shù)單位，則(1+z)·z=()(A)1+3i(B)3+3i(C)3-i(D)3【解析】選A.(1+z)z=(2+i)(1+i)=2+i2+3i=1+3i.3.已知a∈R，若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù)，則a的值為()(A)-(B)(C)-(D)【解析】選A.∵(1-ai)(3+2i)=(3+2a)+(2-3a)i為純虛數(shù).∴解得a=-.4.復(fù)數(shù)z滿足｜z-2｜+｜z+i｜=，那么｜z｜的取值范圍是_____________.【解析】已知條件的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是以(2,0)(0,-1)為